代數(shù)方程-2023年中考數(shù)學一輪復習

專題06代數(shù)方程

區(qū)命理趨勢

代數(shù)方程是本市中考特色考點，中考中多以選擇題、填空題、簡單的解一元二次方程及其應用題和滲

透在大題中的形式計算問題出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學思想方法.掌握代數(shù)方程

的分類，會解代數(shù)方程，及解代數(shù)方程過程中的形式變換，掌握有關的實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來解決，

難度系數(shù)中等。。

在知巧導圖

在重點考向

一、分式的概念

概念：一般地，如果A,B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子凱U做分式，A為分子，B為分母。

【注意】判斷式子是不是分式是從原始形式上去看，而不是從化簡后的結(jié)果上去看。

與分式有關的條件：

要求表示

分式有意義分母W0"0

分式無意義分母=0

13=0

分式值為0分子為0且分母不為0A=O,BW0

分式值為正或大于0分子分母同號①A>0,B>0

②A<0,B<0

分式值為負或小于0分子分母異號①A〉0,B<0

②A<0,B>0

分式值為1分子分母值相等A二B

分式值為1分子分母值互為相反數(shù)A+BR

二、分式的運算

基本性質(zhì)（基礎）:分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：合嗅A_A-rC

~B-B+d

其中A、B、C是整式，C#0o

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即

A-A-AA

B-BB-B

注意：在應用分式的基本性質(zhì)時，要注意CWO這個限制條件和隱含條件BWO。

分式的約分

約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去。

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式。

分式約分步驟：

1）提分子、分母公因式

2）約去公因式

3）觀察結(jié)果，是否是最簡分式或整式。

注意：

1.約分前后分式的值要相等.

2.約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式.

3.約分是對分子、分母的整體進行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式

分式的通分

通分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做

分式的通分。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

分式通分的關鍵：確定最簡公分母

確定分式的最簡公分母的方法

1.因式分解

2.系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

3.字母：各分母的所有字母的最高次幕

4.多項式：各分母所有多項式因式的最高次塞

5.積

分式混合運算的運算

運算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運算；

2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；

3.確定分式的符號，然后約分；

4.結(jié)果應是最簡分式.

三、整數(shù)指數(shù)嘉

成.a"=濯+n

=夕夕

a!"-ran=薩n(aW0)

an二」(3H0)

a11

f=Z（aN0）（任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

科學記數(shù)法

有了負整數(shù)指數(shù)幕后，小于1的正數(shù)也可以用科學記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為

aXl。的形式.（1WIa|<10,n是正整數(shù)）

注意：

1）1W|a|<10

2）n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。（包括小數(shù)點前面的0）

四、分式方程及其應用

解分式方程的基本

1）去分母（兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程）。

2）解整式方程（去括號移項/合并同類項系數(shù)化為Do

3）檢驗（把整式方程的解代入最簡公分母，

若最簡公分母為0,則x=a不是分式方程的解

若最簡公分母不為0,則x=a是分式方程的解

4）寫出答案

分式方程解決實際問題的步驟：

L根據(jù)題意找等量關系

2.設未知數(shù)

3.列出方程

4.解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）

5.寫答案

一、單選題

1下列各式①V；②濘;③④小畛…分式有（3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

A

【分析】根據(jù)分式的定義：一般地，如果42（2*0）表示兩個整式，且3中含有字母，那么式子"就叫做

分式，其中/稱為分子，2稱為分母；據(jù)此判斷即可.

_X—V

【解析】解：①一分母中含有字母，是分式；

xy

②―，分母中沒有字母，不是分式；

③色二式，分母中含有字母，是分式；

m

④上望，乃是常數(shù)不是未知數(shù)，分母中沒有字母，不是分式；

兀

1丫2

⑤分母中含有字母，是分式；

是分式的有①③⑤共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了分式的定義，熟記定義是解本題的關鍵，注意判斷是不是分式是在化簡前判斷.

2.下列運算結(jié)果為xl的是（）

A11R工2-1XX+l.1+2x+1

A.1--D.--------C.----：----

XXX+l%x-1x+1

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)和運算法則分別計算即可判斷.

1丫二一1

【解析】A.1--=-_1,故此選項錯誤；

XX

B.原式=（x+D（l）二一xf故此選項g正確；

XX+1

c.原式=±L（x-i）=』，故此選項錯誤；

XX

D.原式=也包=x+l,故此選項錯誤.

X+1

故答案選B.

【點睛】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握分式的運算順序和運算法則是解題的關鍵.

3.下列分式中，最簡分式是（）

22

*X2一J?C工22盯+/x+y

D.———

15>x+y“x-yx-y

【答案】D

【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可求出答案.

【解析】解：(A)原式=」，故A不是最簡分式；

5y

(B)原式=a+J')(xr)=xy,故B不是最簡分式；

x+y

(C)原式=空式=xy,故C不是最簡分式；

x-y

22

(D)匚^的分子分母都不能再進行因式分解、也沒有公因式.

x-y

故選D.

【點睛】本題考查最簡分式，解題關鍵是正確理解最簡分式的定義，本題屬于基礎題型.

4.若分式二三的值為0,則x的值為()

X+X

A.1B.0C.1D.0或2

【答案】A

【分析】根據(jù)分式等于零的條件“分子為零，分母不為零”，進行計算即可.

2

【解析】???『v_1■=(),

X+X

x2-1=0,

解得：x=±l,

又：當x=-1時，x2+x=0,

；.x=l.

故選A.

【點睛】本題考查分式的值為零需要滿足的條件：(1)分子的值為零；(2)分母的值不為零；兩個條件必

須同時具備，缺T不可.

5.下列計算正確的是()

A.a'+a2=a3B.a5-a2=a10C.(2a4)4=16a8D.(a')2=a2

【答案】D

【分析】根據(jù)嘉的混合運算法則進行判斷即可.

【解析】A.a4a2力a3,故本選項錯誤；

B.a5-a2=a_7,故本選項錯誤；

C.(2a4)4=16a16,故本選項錯誤；

D.(a，2=a2,正確.

故選D.

【點睛】本題主要考查幕的混合運算，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.

a?-4a2-4a+42

6.計算丁的結(jié)果為（）

a~+2a+1(a+1)2

a+2a-4

A.B.-----D.a

a-2a-2a-2

【答案】C

【分析】由分式的加減乘除的運算法則進行計算，即可求出答案.

—44〃+42

【解析】解:___________!__________________

Q?+2a+1(Q+1)?Q—2

+2)((2—2)(a—2y2

一(4+1)2—=(a+1)2~~a^2

(a+2)(4—2)(“+1)2__2_

(a+l)2-X(a-2y~~a^2

a+22

ci—2ci—2

a

a—2

故選：c

【點睛】本題考查了分式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進行化簡.

7.已知關于1的方程--二=0有增根，則加的值是（）

x-44-x

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】D

【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到廠4=0,據(jù)此求出x的值,

代入整式方程求出m的值即可.

【解析】解：原方程去分母，得：2m+8-x=0,

x=2"?+8,

由分式方程有增根，得到X-4=0,即x=4,

把x=4代入整式方程，可得：加=2.

故選D.

【點睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）

把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

8.關于x的分式方程上二%=3的解是正數(shù)，則字母加的取值范圍是（）.

X+1

A.m>3B.m>-3C.m<3D.m<-3

【答案】D

【解析】試題分析：分式方程去分母得：2x—皿=3x+3,

解得：x——m—3,

由分式方程的解為正數(shù)，得到一加一3＞0,且一加一3r—1,

解得：機＜—3,

故選D.

點睛：此題考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不為0這個條件.

二、填空題

9.新型冠狀病毒（2019--C。/）的平均直徑是100納米.1米=109納米，100納米可以表示為米.（用

科學記數(shù)法表示）

【答案】1X107

【分析】小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為"10”，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其

所使用的是負指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【解析】VI米=109納米,

A100納米=100109米=1X107米,

故答案為：1X107

【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為“10",其中上回＜10,〃為由原數(shù)左邊起第一

個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

4的21〃2bc2x2y

10-計算：花.后~~2F-*22

x-yy-x

_._Lx-2-y-2

2X2—x=-x-i-y~

624-3xx+y

【答案】

5abx+y2-xxy

【分析】①根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可;

②根據(jù)分式的加法運算法則和平方差公式計算即可;

③根據(jù)分式的四則混合運算法則計算即可;

④根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可.

AT,21a2bc

【解析】解：?71--ZTT

bc35a

_21x2xabc

35XQ262c

6

5ab

2x-2y

x*2-y2

2(x-j)

(x+y)(x-7)

2

x+J.

③2-x---

2-x

2(2-x)-x

2—x

_4-3x

2-x

y—x

肛

二(U+x)(yx)

(y-x)砂

_x+y

xy.

【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的四則混合運算，平方差公式，負整數(shù)指數(shù)幕等知識.解題的關鍵

在于正確的化簡計算.

11.已知方程=1,如果設*=那么原方程可以變形為關于y的整式方程為

3xx2+lx-+l

【答案】3/+3尸1=0

【分析】先把方程變形為含V的分式方程，再去分母得整式方程.

【解析】解：方程?一七八可變形為:1X2+1X

-x-------------?-----

3xx2+1

2

若設三n,x+l1

=y,貝！J--------=—

Xy

111

所以原方程可變形為:7x—y=1

3y

兩邊都乘以3y,得3y?+3歹—1=0.

故答案為：3/+3^-1=0

【點睛】本題考查了分式方程的換元法.題目難度不大，注意式子的變形.

12.某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm.提速后比提速前多行駛50km.設提

速前列車的平均速度是xkm/h.根據(jù)題意分別列出下列四個方程；①上二匕型；②上=上四；

Xx+VX+VX

XVV50

③上二―;；@-=—.則其中正確的方程有_________.

x+v5+50vv

【答案】①③

【分析】設提速前列車平均速度是xkm/h,則提速后列車平均速度是(x+v)km/h,根據(jù)時間=路程+速度及

相同時間里面路程比等于速度比，即可得出關于x的分式方程，再對比四個選項后即可得出結(jié)論.

【解析】解：設提速前列車平均速度是xkm/h,則提速后列車平均速度是(x+v)km/h,

4s+50s?s50

依題意得：①一=-----；③——=——；④—=一.

xx+vx+vs+50xv

故其中正確的方程有①③.

故答案為：①③.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

22

s平.X一一6x-15ymi|4x-5xy+6y

22

?3y2x-5yx，、x-2xy+3y-

【答案】；9

2

【分析】根據(jù)彳=丁彳，得出尤=3九x=~y；根據(jù)『=竺匚生，得出x=3y,x=15y；故有尤=3y,

3y2x-jy23yx

代入所求分式化簡即可.

XV

【解析】尚軍：由丁=?得2/一5k一39=0,

3y2x-5y

解得％=3y，x=~^y；

由/=如--21,得/-18盯+45/=0,

解得x=3y,x=l5y.

故有x=3y,

.4x2-5xy+6y2_36v2-\5y2+6y2_9

x2-2xy+3y29y2-6y2+3y22'

9

故答案是：j.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值.解題的關鍵是根據(jù)已知等式求出使所有等式成立的條件.

1111

"異：x(x+l)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+2018)(x+2019)

2019

［答案］x(x+2019)

【分析】利用裂項法先將每個分式化簡，再將結(jié)果相加即可.

1

［解析1,?*,n""7；，

x(x+l)Xx+1

1_1_____1

(x+l)(x+2)x+lx+2

1_11

(x+2)(x+3)x+2x+3

________1____________1________］

(x+2018)(x+2019)-x+2018-x+2019

???原式=d--—)+(―--------—)+(―-------—)+-??+(--------------------—)

xx+1x+1x+2x+2x+3x+2018x+2019

_11

xx+2019

2019

x(x+2019),

【點睛】此題考察分式的混合運算，運用裂項法將每個分式化簡是解題的關鍵.

三、解答題

15.計算:

/?,、/4%、21-1、-4z3z、3

（1）-（一赤）zZ）,（一方了

Gi+7%_8/_4

')4x-x33x+24

1

小a-bab~a

a2b2-a45

/、2a+l1

(4)~5-------------------.

a+a—2Q+2

“、16x-1

(5)-----------3----------------

x-2x2-44-2x

Xx-1

(6)-------------j-

——公+4x—2x—2

iiv2+4

(7)(—-)^(1-^—)

x24x

x2+3xy-4y2x2+3x-3y-y2

⑻一,2+------------------------------------

x2+8xy+1ir6y2x2-16y2

bb3ab+b2

(9)—_____

ci-ba，—+ab~a“一b~

【答案】⑴矗;

/、1—x

⑵IT；

(3)Q—b；

1

⑷h

/、%+5

(5)-----

'2x+4

(6)T

x-2

2

⑺

x-2

x-4y

(8)

x+y+3'

b

(9)-

a

【分析】(1)根據(jù)積的乘方法則、負整數(shù)指數(shù)幕的運算法則把原式變形，再根據(jù)分式的乘除法法則計算,

得到答案；

(2)先因式分解再根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可；

(3)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用分式乘法法則進行計算即可；

(4)先尋找2個分式分母的最小公倍式，將最小公倍式作為的公分母；然后在進行減法計算，最后進行化

簡；

(5)找出最簡公分母，先通分，再相加減，最后化簡即可；

(6)有分式的加減乘除運算進行化簡，即可得到答案；

(7)先通分，然后根據(jù)分式除法的運算法則計算即可；

(8)先分別對所有分子、分母因式分解，然后再化除為乘，最后約分計算即可；

(9)先將減號后面兩個分式的分子和分母因式分解，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算乘法，繼而通分、計

算減法即可.

(1)

24

_1_6_x__/_*__z__x(，____2_7_1.

8116/8xV

z

24x

(2)

(x+8)(x-l)(x-2)(x+2)

原式=

x(4-x2)3(x+8)

(x+8)(x—l)(x—2)(x+2)

x(2—x)(2+x)3(%+8)

x-1

3x

1-x

3T；

(3)

a—bdb2—/

原式=----x------------

a+abab-a

a—ba2(b2—a2)

------------x-----------------

a{a+b)a(b-a)

a-b*Q2(6-Q)(6+〃)

a{a+b)a(b-a)

-a-b\

(4)

序式:2〃+lL

(Q+2)(Q—1)Q+2

2。+1a—1

(q+2)(Q—1)(q+2)(q—1)

2a+1—a+1

(q+2)(a—1)

a+2

(6Z+2)(Q_1)

1

_力；

(5)

16x-1

x—2-44-2x

2(x+2)12(x—l)(x+2)

=----------------------1-----------

2(x+2)(x-2)2(x+2)(x-2)2a+2)(x-2)

2x+4-12++x-2

2(x+2)(x-2)

x2+3x—10

-2(x+2)(x-2)

(x+5)(x-2)

2(x+2)(x-2)

x+5

2x+4

xx—2x—1

-------------------

(x-2)2xx-2

x-1

x—2x—2

x-x+1

x-2

x—2

x+4

2-x4x—X2—4

2x4x

—_2__-_x_x_______4_x______

2x-12一4x+4)，

~_2__-_xx____4_x____

-2x-(2-x)2，

_2

~~2-x9

2

x-2，

(8)

(、—y)(x+4y).0一歹)('+歹+3)

o---:------------------

錄式=---a--+--4--"(%—4y)(x+4y)

(x-j)(x+4y)^(x_4y)(x+4y)

(x+4y)2(1_y)(x+y+3)

x-4y

x+y+3'

(9)

干比二_b______/Q+b)(a-b)

、工a-ba(a-b)2b(a+b)

bb2

a-ba(a-b)’

abb2

a(a-b)a(a-b)

ab-b2

a(a-b)

b(a-b)

a(a-b)

_b_

a

【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，屬于基礎題型，掌握分式的混合運算法則以及因式分解的知識

是解答本題的關鍵.

16-計算：〔占+匕2~)

口(a+6)(。-6)2

【分析】根據(jù)負指數(shù)幕意義變形，再根據(jù)分式加減乘除法則進行計算.

a-ba+bii

【解析】解：原式=[(T)s+6)+(”如，+/

____2^____b—a

(a-Z?)(a+b)ab

2aab

—(a—/?)

2a2b

(a+b)(a-Z7)2

【點睛】本題考查分式運算，掌握基本運算法則,特別是理解負指數(shù)幕意義是關鍵.

17.解方程:

34

(1)-1

x—22-x

4+1=2

⑵2

XX+X

xx+6x-3

-----1——2----------

x-3x-3xx

/八13x-x2

(4)——+1一=-1

1-XX2-1

【答案】(1)尸5

(2)x=l

(4)原方程無解

【分析】(1)方程兩邊同時乘以％2,化分式方程為整式方程求解，最后進行檢驗即可；

(2)方程兩邊同時乘以x(x+l),將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進行求解，再將所求整式方程的解代入公分母

進行檢驗即可;

(3)方程兩邊同時乘以x(x-3),將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進行求解，最后將所求整式方程的解代入公

分母進行檢驗即可；

(4)方程兩邊同乘以(x+l)(x-l)將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后求解，最后檢驗即可.

【解析】(1)解：-^3-=-——41,

x-22-x

去分母得：3=4(x2),

去括號得：3=4x+2,

移項合并同類項得x=5,

檢驗：把x=5代入x2得：-5-2=-7片0,

原方程的解為x=5.

1_X2

(2)解：—+1=^^

XX+X

去分母得，(lx)(1+x)+x2+x=2,

去括號得，1/+/+產(chǎn)2,

解得：x=\,

檢驗：把x=l代入x(x+l)得：lx(l+l)=2w0,

???原分式方程的解為：x=l.

/、exx+6x-3

(3)解：--+^—=——

x-3x-3xx

去分母得：x2+x+6=(x-3)2,

去括號得：f+%+6=f-6工+9,

移項合并得：7x=3,

3

系數(shù)化為1得：x=~,

，

檢驗：把％3代入x(x-3)得：y3xl3--3\l=-5-4^0,

3

???分式方程的解是%=

(4)解：，+受二=—1,

1-xx2-l

方程的兩邊同乘(x+1)(x-1),得：

—(X+1)+3x—X2——(x+l)(x-1),

去括號得：-x-l+3x—x2=—x2+1?

移項合并同類項得：2x=2,

解得：x=l,

檢驗：把X=1代入(x+1)(xT)得：(1+1)。-1)=0,

是原方程的增根，

原方程無解.

【點睛】本題主要考查了解分式方程，注意解分式方程時，最后要對方程的解進行檢驗.

18.某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，全區(qū)3600名學生的成績數(shù)據(jù)分別由李某、

王某兩位同志進行操作，兩人各自獨立地輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知李某的

輸入速度是王某的2倍，結(jié)果李某比王某少用2小時輸完.問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學

生的成績？

【答案】李某每分鐘能輸入30名學生的成績，王某每分鐘能輸入15名學生的成績.

【分析】有工作總量3600,求的是工作效率，那么一定是根據(jù)工作時間來列等量關系的.關鍵描述語是：“李

某比王某少用2小時輸完”，等量關系為：王某用的時間-2=李某用的時間，據(jù)此列出方程并解方程即可.

【解析】解：設王某每分鐘能輸入x名學生的成績，則李某每分鐘能輸入2x名學生的成績，

根據(jù)題意得：^一=-----2x60,

2xx

解得x=15,

經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，且符合題意，

所以2x=30,

答：李某每分鐘能輸入30名學生的成績，王某每分鐘能輸入15名學生的成績.

【點睛】本題主要考查分式方程，應用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據(jù)另一

量來列等量關系的，注意：解分式方程一定要檢驗且要符合題意.找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

19.疫情防控形勢下，人們在外出時都應戴上口罩以保護自己免受新型冠狀病毒感染.某藥店用4000元購

進若干包次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進第二批這種口罩，所進的包數(shù)比第一批多50%,

每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元，請解答下列問題：

(1)求購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包？

(2)政府采取措施，在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中，售價保持了一致，若售完這兩批口罩的總利潤不高于3500

元錢，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價是多少元？

【答案】(1)購進的第一批醫(yī)用口罩有2000包

(2)藥店銷售該口罩每包的最高售價是3元

【分析】（1）設購進的第一批醫(yī)用口罩有X包，根據(jù)“每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元”列

出方程并解答.

（2）設藥店銷售該口罩每包的售價是了元，根據(jù)“售完這兩批口罩的總利潤不高于3500元錢”列出不等式.

【解析】（1）解：設購進的第一批醫(yī)用口罩有x包，則

4000_7500_0§

x-（l+50%）x--

解得：x=2000.

經(jīng)檢驗x=2000是原方程的根并符合實際意義.

答：購進的第一批醫(yī)用口罩有2000包；

（2）解：設藥店銷售該口罩每包的售價是y元，則由題意得：

[2000+2000（1+50%）]了-4000-7500<3500.

解得：然3.

答：藥店銷售該口罩每包的最高售價是3元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式.

在重導考向

一、基本概念

一元整式方程：方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關于未知數(shù)的整式。

二項方程：一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊為零的方程。其一般式為

Ax人n+b=0（其中a和,b^0,n為正整數(shù)）.

雙二次方程:只含有偶數(shù)次項的一元四次方程.其一般形式為:axA4+bx人2+c=0（a和）

無理方程：方程中含有根式，并且被開方數(shù)含有未知數(shù)的代數(shù)式.

二元二次方程組:僅含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程.

二、整式方程的解法

1.一元一次方程和一元二次方程的解法

2.含字母系數(shù)的整式方程的解法

3.特殊的高次方程的解法

⑴二項方程+D吐0）的解法

二項方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另外一邊是零，那么這

樣的方程叫做二項方程。關于X的一元n次二項方程的一般形式是ax”+是正整數(shù)）二

項方程的解法及根的情況:

b

Xn——_

一般地，二項方程0*"+0=°(0羊0,。學°)可變形為Q可見，解一元n次二項方程，可以轉(zhuǎn)化

為求一個已知數(shù)的n次方根，運用開方運算可以求出這個方程的根。

二項方程的根的情況：

對于二項方程+"二°("°，",

當n為奇數(shù)時，方程只有且只有一個實數(shù)根。

當n為偶數(shù)時，如果那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根互為相反數(shù)；如果。匕＞°,那么

方程沒有實數(shù)根。

(2)雙二次方程的解法

雙二次方程的定義：

只含有偶數(shù)次項的一元四次方程，叫做雙二次方程。

關于x的雙二次方程的一般形式是ax4+fcx2+c=0(o=#0)雙二次方程的解法：

可以用“換元法”解形如。乂4+匕*2+。=()(。學0/=#0,。羊0)的雙二次方程。就是用y代替方程中

的X,同時用y代替x,將方程轉(zhuǎn)化為關于y的一元二次方程ay+by+c=Oo解這個關于y的一元二次方程即

可。

(3)因式分解法解高次方程

解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。

三、可化為一元二次方程的分式方程的解

1.適宜用“去分母”的方法的分式方程

解分式方程，通常是通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程來解。解

分式方程要注意驗根！

2.適宜用“換元法”的分式方程

適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項與一次項相同的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的

未知項呈倒數(shù)關系的，可采取倒數(shù)換元法

四、無理方程的解法

解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有些特殊的無理方程,

可以用“換元法”解。

解無理方程一定要驗根！

在初中階段，我們主要學習下面兩種無理方程的解法。

1.只有一個含未知數(shù)根式的無理方程

當方程中只有一個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使這個二次根式單獨在一邊；然后方程的兩

邊同時平方，將這個方程化為有理方程。

2.有兩個含未知數(shù)根式的無理方程

當方程中有兩個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使乙個二次根式單獨在一邊，另外一個二次根

式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。

3.適宜用換元法解的無理方程

如果無理方程中，二次根式里面的未知項和二次根式外面的未知項相同，可以使用換元法來解。

真例引順

1__________>__________________I

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.f+y=也是二元二次方程B.12_%=0是二項方程

D.巨三=血是無理方程

C.=2是分式方程

3X

【答案】A

【分析】利用無理方程、高次方程、分式方程、二項方程的定義分別進行判斷即可得到答案.

【解析】解：A、含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,故是二元二次方程，故正確；

B、/_》=0是二次方程，故錯誤；

C、分母里不含未知數(shù)，不是分式方程，故錯誤；

D、被開方數(shù)不含未知數(shù)，不是無理方程，故錯誤，

故選：A.

【點睛】本題考查了無理方程、高次方程、分式方程、二項方程的定義，解題的關鍵是熟悉這些方程的定

義.

2.下列方程組是二元二次方程組的是（）

xy+x=20

3y=2

B.〈1c

x1+xy—x—2XH——=3

y

x+5=y

D.

3無一y=-1

【答案】A

【分析】根據(jù)二元二次方程組的定義，逐個判斷得結(jié)論.

【解析】解：選項A符合二元二次方程組的概念；

選項8含分式方程，

選項。含無理方程，

故B、C都不是二元二次方程組；

選項C是二元一次方程組.

故選：A.

【點睛】本題考查了二元二次方程組的定義，掌握二元二次方程組的概念是解決本題的關鍵.

3.下列方程中，二項方程是（）

A.x2+2x+1=0B.%5+x2=0

1

C.X-=1D.—Fx=1

x

【答案】C

【分析】如果一元〃（"是正整數(shù)）次方程的一邊只含有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是0,這

樣的方程就叫做二項方程，根據(jù)定義判斷即可.

【解析】解：A.，+2x+l=0有三項，不符合二項方程定義，故選項不合題意；

B./+x2=0不是二項方程，故選項不符合題意；

C./=1可變?yōu)?-1=0,符合二項方程定義.故選項符合題意；

D.，+x=l是分式方程，故選項不符合題意.

X

故選：C.

【點睛】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的定義是求解本題的關鍵.

4.已知下列關于x、y的方程，說法正確的是（）

A.2好+人=0是二項方程

x+12x

B.丁-3=一是分式方程

2P

C.26x+5=x是無理方程

Ix-y=l

D.1是二元二次方程組

2[x+xy+y2=1

【答案】D

【分析】方程2x，+b=0的左邊是二次多項式，即可判斷選項A；根據(jù)分式方程的定義即可判斷選項B；根據(jù)

無理方程的定義即可判斷選項C；根據(jù)二元二次方程組的定義即可判斷選項D.

【解析】A.方程2/+b=0的左邊的常數(shù)項不一定不等于0,不能說是二項方程，故本選項不符合題意；

B.方程的分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故本選項不符合題意；

C.方程中根號內(nèi)不含未知數(shù)，不是無理方程，故本選項不符合題意；

D.是二元二次方程組，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了高次方程組的定義，分式方程的定義，無理方程的定義等知識點，①分母中含有未知

數(shù)的方程，叫分式方程，②根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程，叫無理方程.

5.下列方程有實數(shù)解的是（）

A.Jx-l+1=0B.—~~-=0C.x2-x+1=0D.x+2y=l

-1

【答案】D

【分析】根據(jù)無理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意義的條件，逐項分析解答即可

【解析】A.KN+l=0,即5斤=-1,該方程無意義，即方程沒有實數(shù)解，故不符合題意;

B.M=0,即X+1=0,且0,解得尤=-1且xw±l,方程沒有實數(shù)解，故不符合題意;

x-1

C.x2-x+1=0,A=l-4=-3<0,方程沒有實數(shù)解，故不符合題意；

D/+2y=1是二元一次方程，有無數(shù)組實數(shù)解，故符合題意

故選：D

【點睛】本題考查了無理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意義的條件，熟練掌握各

種方程的性質(zhì)是解決問題的關鍵

231G

xy2

小明在解方程組的過程中，以下說法錯誤的是（

6.7i)

4+上x+i)=i②

xy

A.②-①可得y=2x-4,再用代入消元法解

B.令'=%~=b,可用換元法將原方程組化為關于。、b的二元一次方程組

xy

C.由①得了=*,再代入②，可得一個關于X的分式方程，亦可求解

x-4

|x=8

D.經(jīng)檢驗：c是方程組的一組解

3=12

【答案】B

131

【分析】②-①得出V+D-1匕，整理后得出昨2…，即可判斷選項A；換元后得出方程組

2a++3b--,即可判斷選項；由①求出>=三，代入②后即可判斷選項；把x=8

2BC口代入方程組

2a+6（x+l）=lx-4y=12

中的兩個方程，看看方程的兩邊是否都相等，即可判斷選項D.

一2十―3=一1G①

Xy2

【解析】解:

-+-(x+l)=l?

xy

131

A.②一①，^#-(x+l)--=l--,

yy2

整理得：y=2x-4,再用代入消元法解，故本選項不符合題意;

B.令工=4,-=b,則原方程組化為：

xy

2a+3b=-

,2

2a+/,(-+1)=1

、a

不能得出關于。、b的二元一次方程組，故本選項符合題意；

6x

C.由①得尸三

6x

把尸代入②得:

1^4

|+-^r(x+1)=1,得出一個關于關的分式方程，即可求解，故本選項不符合題意;

fx=8

D.把口代入①，得

U=12

左邊二言+三=；+；=：，右邊=；,左邊=右邊,

o124422

fx=8

把°代入②，得

IV=12

7113

(8+1)=—+—=1,右邊=1,左邊=右邊,

81244

陞=8

所以，。是方程組的解，故本選項不符合題意；

1尸12

故選：B.

【點睛】本題考查了解分式方程組和方程組的解，能把分式方程組轉(zhuǎn)化成方程和理解方程組的解的定義是

解此題的關鍵.

7.下列方程中，有實數(shù)解的是()

X1

A.Jx+2+1=0B.

X?-1x-1

C.Jx-l+yJl-X-1D.J——3=2

【答案】D

【分析】移項后得出向1=-1,根據(jù)算術(shù)平方根的非負性即可判斷選項A；方程兩邊都乘V-1得出x=l,

再進行檢驗即可判斷選項B；根據(jù)二次根式有意義的條件得出x-120且1一尤20,求出x,再進行檢驗即可

判斷選項C；方程兩邊平方得出一一3=4,求出方程的解，再進行檢驗即可判斷選項D.

【解析】解：A：4^+2+1=0,

Jx+2=-1,

?.?不論X為何值，y/x+2>0,不能為負數(shù)，

，此方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

方程兩邊都乘x?-l,得x=l,

檢驗：當X=1時，是增根，

即原分式方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

C：?x-1+J]-x=1，

要使序!+4二:有意義，必須X-120且1一XW0,

解得：尤=1,

經(jīng)檢驗x=l不是原方程的解，

即原方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

D：y/x2-3=2>

方程兩邊平方，得--3=4,

解得：X=±y/l,

經(jīng)檢驗尤=土近都是原方程的解，

即原方程的解是玉=行，赴=-療，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了解無理方程，解分式方程和二次根式有意義的條件等知識點，能把解無理方程轉(zhuǎn)化成

有理方程和能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關鍵.

8.二元二次方程組'八,2的解的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】先由方程①求出X,>的值，代入②，求解，即可得出結(jié)論.

[x+l)(y—2)=0①

【解析】解:

[y=/②

由①得x=-1或歹=2,

當x=-1時，代入②得：y=1,

當y=2時，代入②得：x=上叵，

所以方程組的解F:或卜=亞或卜=一也

[了=1[尸2[y=2

故選：C.

【點睛】本題主要考查解方程的能力，體現(xiàn)數(shù)學中化歸思想，消元和降次是解此類問題的關鍵.

二、填空題

9.方程Jx+3=x+1的根是______.

【答案】1

【分析】首先把方程兩邊同時平方，去掉根號，然后解一元二次方程，最后檢驗即