第14講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）（含答案解析）

第14講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【人教A版2019】模塊一模塊一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象(1)正弦函數(shù)的圖象①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.

②五點(diǎn)法觀察圖，在函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點(diǎn)：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形狀時起關(guān)鍵作用.描出這五個點(diǎn)，函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(diǎn)(畫圖)法”.(2)余弦函數(shù)的圖象

①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象

由誘導(dǎo)公式六，我們知道，而函數(shù),x∈R的圖象可以通過正弦函數(shù)y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.②五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象

類似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數(shù)y=在[0,2]上的圖象，起關(guān)鍵作用的五個點(diǎn)是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點(diǎn)，然后把這五個點(diǎn)用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象.(3)正弦曲線、余弦曲線

正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)周期函數(shù)①定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：函數(shù)y=sinxy=cosx圖象定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間最值圖象對稱性對稱中心：

對稱軸方程：對稱中心：

對稱軸方程：3．正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)和的性質(zhì)函數(shù)定義域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]單調(diào)性當(dāng)A>0,ω>0時，將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間求解；當(dāng)A<0或ω<0時，注意單調(diào)區(qū)間的變化.奇偶性當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)，

當(dāng)時為偶函數(shù).當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)，

當(dāng)時為奇函數(shù).周期性圖象

對稱性將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應(yīng)的對稱軸方程或?qū)ΨQ中心的橫坐標(biāo)滿足的方程求解.【題型1正、余弦函數(shù)圖象及應(yīng)用】【例1.1】（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）當(dāng)x∈?3π,3π時，曲線y=cosA．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)五點(diǎn)法作圖，分別作出兩函數(shù)圖像，即可得解.【解答過程】令13x+π3=0令13x+π3=令13x+π3=令13x+π3=令13x+π3=2結(jié)合函數(shù)的周期性，作出兩函數(shù)圖像，如圖所示，可知兩函數(shù)共6個交點(diǎn)，故選：C.【例1.2】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（A．fx=2C．fx=2【解題思路】通過函數(shù)奇偶性的，再取圖象上的特殊點(diǎn)進(jìn)行排除即可.【解答過程】由圖象可知fx為奇函數(shù)，且f對于A：fx=2對于C：fx=2對于D:fx=4對于B:fx=2且當(dāng)x∈0,π時，2sin而ex+e?x≥2故選:B.【變式1.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)y=sin(2)y=3sin【解題思路】（1）（2）根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表、描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)圖象；【解答過程】（1）解：因?yàn)閥=sinx?π5411x+0ππ32y010?10描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示：（2）因?yàn)閥=3sinxπ5π2π11π72x?0ππ32y030?30描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示：【變式1.2】（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)在下列網(wǎng)格紙中利用“五點(diǎn)作圖法”作出函數(shù)fx(2)若方程fx=a在x∈0,【解題思路】（1）利用五點(diǎn)作圖法即可得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為fx與y=a的圖象有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得解.【解答過程】（1）因?yàn)閒則列表如下：x?2π5π8π1130ππ3π2f(x)020?20所以f(x)的圖象如圖，（2）因?yàn)閤∈0,π，所以又sinπ6=12因?yàn)榉匠蘤x=a在所以fx與y=a的圖象有兩個交點(diǎn)，故1≤a<2或?2<a≤?【題型2正、余弦函數(shù)的定義域、值域與最值】【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函數(shù)y=sin2x+π30≤x≤π2的值域?yàn)椋?/p>

）A．[0,1] B．【解題思路】根據(jù)0≤x≤π2，可得【解答過程】由0≤x≤π2，得則y=sin故選：C.【例2.2】（23-24高一下·山東日照·期中）函數(shù)y=2sinx?1A．π3,5π6 B．π3【解題思路】由題意可得sinx≥12【解答過程】由題意可得2sinx?1≥0，即又0≤x≤2π，故x∈π6故選：C.【變式2.1】（24-25高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2cos(2ωx+π(1)求ω的值，并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求f(x)的對稱軸；(3)求f(x)在[0,π【解題思路】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)周期公式及余弦型函數(shù)單調(diào)性求解即可.（2）利用余弦函數(shù)的對稱性求出對稱軸.（3）根據(jù)自變量范圍，利用整體替換思想結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求解.【解答過程】（1）由函數(shù)f(x)=2cos(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為π即f(x)=2cos(2x+π3)所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[?π（2）由2x+π3=k所以f(x)圖象的對稱軸為x=?π（3）由0≤x≤π2，得π3≤2x+π3≤4π3，則?1≤【變式2.2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)f(x)=2sinωx?π(1)求f(x)的對稱軸方程．(2)求f(x)在0,π2上的最值及其對應(yīng)的【解題思路】（1）由最小正周期可得ω=2，以2x?π（2）以2x?π【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期是π，且ω>0，則ω=2ππ令2x?π6=k所以f(x)的對稱軸方程為x=k（2）由（1）可知：f(x)=2sin因?yàn)閤∈0,π2可得sin2x?π當(dāng)2x?π6=?π6，即x=0當(dāng)2x?π6=π2【題型3正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例3.1】（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)x∈0,5π【解題思路】（1）利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)，解不等式2kπ?π（2）由x∈0,5π8【解答過程】（1）令2kπ?π≤2x+π4≤2kπ（2）令t=2x+π4，則由x∈0所以當(dāng)t=π，即x=3π當(dāng)t=π4時，即x=0時，即當(dāng)x=3π8時，函數(shù)fx取最小值?6；x=0【例3.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin2x+a(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；【解題思路】（1）代入a=1后配方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)的值域求解即可；（2）配方后再根據(jù)對稱軸的情況分類討論即可；【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，f(x)=sin因?yàn)?1≤cos所以當(dāng)cosx=?1時，函數(shù)有最小值，最小值為f（2）因?yàn)閒(x)=sin當(dāng)?1≤a2≤1則當(dāng)cosx=a2解得a=1+7>2（舍去），或當(dāng)a2>1即a>2時，則當(dāng)cosx=1時，函數(shù)有最大值，即1=?1+a?當(dāng)a2<?1時，即a<?2時，則當(dāng)即1=?1?a?a+12，解得綜上，a=1?7【變式3.1】（24-25高一上·上海·單元測試）已知函數(shù)f(x)=2sin(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的嚴(yán)格減區(qū)間；(3)若x∈0,π2時，f(x)【解題思路】（1）直接利用周期公式求解；（2）對函數(shù)變形后，由2kπ（3）由x∈0,π2求出2x+【解答過程】（1）函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2（2）f(x)=2sin由2kπ+π得kπ?π所以f(x)的嚴(yán)格減區(qū)間為kπ?π（3）由0≤x≤π2，得所以sin3π所以?1≤sin所以?2+a≤2sin所以f(x)的最小值為?2+a=?2，所以a=0.【變式3.2】（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知fx(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx的單調(diào)減區(qū)間；(3)x∈?3【解題思路】（1）由圖象可知A=2,T2=3π8??π（2）由π2（3）由x∈?3π【解答過程】（1）由圖象可知A=2,T2=所以2πω=所以fx因?yàn)閒x的圖象過點(diǎn)?所以2sin?π得φ=3π因?yàn)棣?lt;π，所以所以fx（2）由π2?π所以?π所以fx的遞減區(qū)間為k（3）由x∈?3π所以2x+3所以sin5π4所以?2所以fx的值域?yàn)?2,2.【題型4【例4.1】（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間0,A．23,+∞ B．23,4【解題思路】由條件求出ωx+π【解答過程】因?yàn)?≤x<π2，所以π6由已知，3ω+1π所以ω>8所以ω的取值范圍是83故選：C.【例4.2】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=?π4A．18 B．17 C．14 D．13【解題思路】由已知可得T=2π2k+1k∈Z，結(jié)合T=2πω，得到ω=2k+1（k∈Z），再由π9,π【解答過程】由題意，得14+k又T=2πω，∴ω=2k+1∵π9,π6是fx的一個單調(diào)區(qū)間，∴∵T=2π2k+1，∴2k+1≤18①當(dāng)k=8，即ω=17時，?174π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此時∴ω=17不符合題意；②當(dāng)k=7，即ω=15時，?154π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=?π4，此時∴ω=15不符合題意；③當(dāng)k=6，即ω=13時，?134π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此時∴ω=13符合題意，故選：D.【變式4.1】（24-25高三上·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6（ω>0）在區(qū)間A．1315,16C．715,2【解題思路】首先求出函數(shù)fx【解答過程】由函數(shù)fx=sin令ωx+π6=因?yàn)閒x=sinωx+π顯然當(dāng)k=0時，x=π3ω為故π3ω+2即ω的取值范圍是715故選：C.【變式4.2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=cosωx?π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．【解題思路】先求出ωπ2+π3<ωx+π【解答過程】函數(shù)fx=cos當(dāng)x∈π2,由題設(shè)可得存在整數(shù)k，使得ωπ解得?2而ω>0，故k≥0且k≤43，故當(dāng)k=0時，?23≤ω≤23結(jié)合ω>0可得ω的取值范圍為0,2故選：D．模塊模塊二正切函數(shù)1．正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象(1)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)定義域周期性由誘導(dǎo)公式可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.奇偶性由誘導(dǎo)公式可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).圖象單調(diào)性正切函數(shù)在每一個區(qū)間上都單調(diào)遞增值域正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R對稱中心(2)三點(diǎn)兩線法作正切曲線的簡圖類比于正、余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)法，我們可以采用三點(diǎn)兩線法作正切函數(shù)的簡圖.“三點(diǎn)”是指點(diǎn)(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點(diǎn)、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數(shù)在區(qū)間(-,)上的簡圖.【題型5正切函數(shù)的定義域、值域與最值】【例5.1】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）函數(shù)fx=?3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)特征，得到不等式，求出定義域.【解答過程】由正切函數(shù)的定義域，令x2+π所以函數(shù)fx=?3tan故選：C.【例5.2】（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)fx=3tan2x+πA．33,33 B．33,3【解題思路】先求出2x+π6的范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)求出【解答過程】∵x∈[0,故選：C.【變式5.1】（24-25高一上·上海·課堂例題）求函數(shù)y=tan2x?tanx+1tan2【解答過程】解：令u=tanx（x≠kπ+π當(dāng)u=0時，y=1；當(dāng)u>0時，u+1u≥2，當(dāng)且僅當(dāng)u=所以y=1?2u+1u+1當(dāng)u<0時，所以?u>0，u+1u=?即u=?1時，所以y=1?2u+1u+1所以，y的最小值為13，此時x=kπ+π4，k∈Z；y所以當(dāng)tanx=0時，y=1當(dāng)tanx=1時，函數(shù)取得最小值，自變量x的集合為x當(dāng)tanx=?1時，函數(shù)取得最大值，自變量x的集合為x【變式5.2】（23-24高一下·上海·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：（1）y=1+（2）y=tan【解題思路】（1）由定義域可得tanx∈?∞,0，令t=tanx則（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【解答過程】解：（1）因?yàn)閥=1+tan令t=tanx所以y=因?yàn)閠∈?∞,0，所以t?1∈?∞,?1，1t?1?1+?2t?1（2）因?yàn)閥=所以tanx∈?3,1所以y=f所以fm在?32f?32=?所以f即函數(shù)的值域?yàn)?13【題型6正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例6.1】（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=tan①f0②fx在5③2π3,0為④fx最小正周期為A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】直接求函數(shù)值判斷命題①；由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸公式、周期公式進(jìn)行求解分別判斷命題②③④.【解答過程】命題①，已知函數(shù)fx=tan命題②，?π2+kπ<2x?π3當(dāng)k=1時，5π12<x<11π命題③，把x=2π3帶代入f則2π3,0命題④，函數(shù)fx=tan正確命題有2個.故選：C.【例6.2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)fx=tanA．π2是函數(shù)fx的一個周期 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖像關(guān)于點(diǎn)2024π,0對稱 【解題思路】先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【解答過程】由題可得：fx=tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，fx=?tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，fx=?tanx的圖像關(guān)于點(diǎn)kπ2,0對稱(k∈fx故選：C.【變式6.1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)試比較fπ與f【解題思路】（1）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡再應(yīng)用正切函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）先求函數(shù)值再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【解答過程】（1）fx由kπ?π因?yàn)閥=3tanx4所以fx=?3tan故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為4kπ（2）fπ=3tanf3π2因?yàn)?<π12<5π24<π2，且【變式6.2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設(shè)函數(shù)f(x)=tan(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式?1≤f(x)≤3(3)作出函數(shù)y=f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖.【解題思路】（1）由整體代換即可求出正切函數(shù)的定義域，由周期公式可得最小正周期，由單調(diào)性解不等式可得單調(diào)增區(qū)間.（2）由（1）中的單調(diào)性解不等式，可得其解集.（3）利用五點(diǎn)作圖法即可得一個周期內(nèi)的簡圖.【解答過程】（1）由x2得x≠5π3∴fx的定義域是x∵ω=1∴最小正周期T=π由?π2+kπ<x2∴函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間是?π3所以函數(shù)fx定義域是xx≠5π3+2kπ,k∈Z（2）由?1≤tanx2?π解得π6+2kπ∴不等式?1≤fx≤3（3）令x2?π令x2?π令x2?π3=?π2，則x=?π3.∴函數(shù)f從而得函數(shù)y=fx在一個周期?【題型7正切函數(shù)的含參問題】【例7.1】（24-25高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=1?tanωx?π4ω≠0A．?π2,0C．0,π4 【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到?ω>0，且?ω+π【解答過程】由函數(shù)fx=1+tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得?ω>0，當(dāng)x∈0,1時，可得?ωx+π4∈π故選：D.【例7.2】（23-24高一上·廣東·期末）若函數(shù)y=tan(x?φ)(φ≥0)的圖象與直線x=π沒有交點(diǎn)，則φA．0 B．π4 C．π2 【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入求值.【解答過程】函數(shù)y=tanx的圖象與直線若函數(shù)y=tan(x?φ)(φ≥0)的圖象與直線x=π沒有交點(diǎn)，則π?φ=π2+k則φ的最小值為π2故選：C.【變式7.1】（2024·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)fx=tanωx+φ（ω>0，φ<π2）的圖象經(jīng)過點(diǎn)0,3，若函數(shù)A．23,5C．53,8【解題思路】首先求φ，再根據(jù)x∈0,π,求ωx+π【解答過程】由條件可知f0=tanφ=3fx=tanωx+π若函數(shù)在區(qū)間0,π上恰有2個零點(diǎn)，則2解得53故選：D.【變式7.2】（23-24高三上·河南南陽·期末）已知?14,m,14,m,3A．π B．2π C．π2 【解題思路】由題意可得y=|tanωx|ω>0的最小正周期為1，根據(jù)y=|【解答過程】作出函數(shù)y=|tan不妨設(shè)A?1可知y=|tanωx|ω>0y=|tanωx|ω>0所以πω=1，解得故選:A.【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例8.1】（24-25高二上·浙江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)fx=2sinωx+φ?1(ω>0)，若對于任意實(shí)數(shù)φ,fxA．83,5 B．4,5 C．4,20【解題思路】原問題轉(zhuǎn)化為y=sint在區(qū)間π4ω+φ,3π4ω+φ上至少2個，至多有3個t【解答過程】令fx=0，則sinωx+φ=2則原問題轉(zhuǎn)化為y=sint在區(qū)間π4ω+φ,3π4ω+φ作出y=sint與

由圖知，滿足條件的最短區(qū)間長度為9π4?π∴2π≤3π故選：B．【例8.2】（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）函數(shù)fx=sinx?cosA．π B．2π C．3π D．4【解題思路】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與其對應(yīng)方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)y=cos【解答過程】由f(x)=0得sinxcosx函數(shù)fx的零點(diǎn)即方程tan作出函數(shù)y=cos5x2由圖可知兩個圖均關(guān)于π2,0中心對稱且在故函數(shù)fx在區(qū)間?π,2故選：B．【變式8.1】（23-24高一下·陜西西安·期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在區(qū)間0,2π【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解（2）將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成f(x)=0方程的根，解方程得根即可求解．【解答過程】（1）解：由?π解得?2π∴函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?（2）解：由fx=sin則x+π6=∴x=2kπk∈Z又x∈0,2π，∴x=0或x=2π3或x=2π.即函數(shù)fx在區(qū)間0,2π上的所有零點(diǎn)為0，故零點(diǎn)之和為0+2π【變式8.2】（23-24高一下·山東日照·期中）已知函數(shù)fx=?2sin(1)當(dāng)t=23，x∈π2,(2)設(shè)函數(shù)fx在?π,?①求t的取值范圍；②證明：m+n>?3【解題思路】（1）將t代入后可得fx，結(jié)合x（2）①借助換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；②由韋達(dá)定理可得cosm+cosn=?1，cosm?cosn=3t?2【解答過程】（1）由t=23，則當(dāng)x∈π2,3π故cosx=?1或cosx=0（舍），故（2）①令k=cosx，因?yàn)閤∈?π,?則fx由y=cosx在故關(guān)于k的方程2k2+2k+3t?2=0即有3t?2>02×解得23<t<56，即②令k1=cos則k1，k2為關(guān)于k的方程則有k1+k所以cosm+cosn=?1，cosm?即cos2即有cos2m?sin2故cos2m<sin2n由于?π<n<?π2，則又y=cosx在?π即m+n>?3【題型9與三角函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)】【例9.1】（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值時x的集合：(1)y=3cos2x(2)y=cosx?sin【解題思路】（1）先根據(jù)三角函數(shù)求最值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解自變量；（2）先應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系換元，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出最值.【解答過程】（1）因?yàn)閥=3cos又因?yàn)?1≤cos2x≤1,所以當(dāng)t=cos2x=1,即x=kπ,當(dāng)t=cos2x=?1,即x=π（2）因?yàn)閥=cos令cosy=t2+t?1,t∈當(dāng)t=?12=cosx當(dāng)t=1=cosx，即x=2kπ,【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函數(shù)f(x)=sin2x+a(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；(3)對于任意x∈0,π3，不等式f(x)≥【解題思路】（1）代入a=1后配方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)的值域求解即可；（2）配方后再根據(jù)對稱軸的情況分類討論即可；（3）令t=cos【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，f(x)=sin因?yàn)?1≤cos所以當(dāng)cosx=?1時，函數(shù)有最小值，最小值為f（2）因?yàn)閒(x)=sin當(dāng)?1≤a2≤1則當(dāng)cosx=a2解得a=1+7>2（舍去），或當(dāng)a2>1即a>2時，則當(dāng)cosx=1時，函數(shù)有最大值，即1=?1+a?當(dāng)a2<?1時，即a<?2時，則當(dāng)即1=?1?a?a+12，解得綜上，a=1?7（3）因?yàn)閒x令t=cosx，由x∈0,則ft因?yàn)閒(x)≥1所以f(t)≥1所以?t2+at?姐a≥t+1t在設(shè)gt=t+1t，由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知函數(shù)所以gt所以a≥5【變式9.1】（24-25高一上·上海·單元測試）求下列函數(shù)的值域.(1)f(x)=tan(2)f(x)=|sinx|+2cos(3)f(x)=sin【解題思路】（1）令t=tanx，用換元法得到（2）將原式化為fx=?2sin（3）令sinx+cosx=t【解答過程】（1）設(shè)t=tanx，則y=t當(dāng)t=?2時，y取最小值?5，無最大值，（2）fx=sinx+2由f?x=fx當(dāng)x∈0,π2令t=sinx∈0,1當(dāng)t=14時，y取最大值為當(dāng)t=1時，y取最小值為?2+1+1=0.故值域?yàn)?,9（3）令sinx+cosx=t因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?+sinx+cos所以t∈?2,?1∪?1,2由t∈?2,?1所以函數(shù)值域?yàn)?2【變式9.2】（24-25高二上·山東日照·開學(xué)考試）設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=?2sin(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(3)當(dāng)?1≤a≤1時，設(shè)n為正整數(shù)，f(x)在區(qū)間(0,nπ)上恰有2024個零點(diǎn)，求所有可能的正整數(shù)【解題思路】（1）利用換元法結(jié)合三角函數(shù)值域，由二次函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)f(x)的值域；（2）根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)可得函數(shù)g(t)=?2t2?at+1在0,1（3）由二次函數(shù)根的個數(shù)及其符號并對參數(shù)a的取值范圍分類討論，利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得不同區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，即可得出結(jié)果.【解答過程】（1）由題意f(x)=?2sin令t=sinx,t∈[?1,1]，則當(dāng)a=1時，g(t)=?2t所以當(dāng)t=?14時，g(t)取最大值當(dāng)t=1時，g(t)取最小值?2，所以f(x)的值域?yàn)?2,9（2）由題意函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π即函數(shù)g(t)=?2t2?at+1在0,1由零點(diǎn)存在性定理，只需g(1)=?a?1<0，得a>?1；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為?1,+∞（3）因?yàn)棣?a2+8>0，所以g(t)=?2又t1?當(dāng)a=1時，得t1=?1,t2=由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知f(x)在(0,2kπ)（k為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)個數(shù)為3k，在(0,(2k+1)π)內(nèi)零點(diǎn)個數(shù)為3k+2，因?yàn)楫?dāng)a=?1時，t1=?12,t2在(0,(2k+1)π)內(nèi)零點(diǎn)個數(shù)為3k+1，若3k+1=2024，此時不存在當(dāng)?1<a<1時，則?1<t1<0,0<t2<1，f(x)在因?yàn)?024=2×1012，所以n=k=1012；綜上n的所有可能值為1012，1349．一、單選題1．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）當(dāng)x∈0,2π時，曲線y=cosx與A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】作出函數(shù)y=cosx與【解答過程】作出函數(shù)y=cosx與觀察在0,2π故選：C.2．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）函數(shù)y=tan(?3x+πA．[kπ?π3,kπ+π3C．[kπ3?π9,kπ【解題思路】由正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式變形后結(jié)合單調(diào)性即可求出；【解答過程】y=tan令kπ?12π<3x?所以函數(shù)y=tan(?3x+π6)故選：D.3．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）函數(shù)fx=AcosA．fx=2cosC．fx=2cos【解題思路】結(jié)合圖象可知f0【解答過程】結(jié)合題意以及各選項(xiàng)可知A可為2，結(jié)合圖象可知f0則對于B，f0對于C，f0對于D，f?對于A，由于T4>π由2cosφ=?1，則φ=±2π3此時fx故選：A.4．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）已知x∈?π2,π4，則函數(shù)fx=13tanx的值域是（

【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定tanx∈?∞【解答過程】令t=tanx，則因?yàn)閠=tanx在x∈?π2又y=13t在?∞,1即fx的值域是1故選：C.5．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2cosA．ω=2B．函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=C．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)πD．函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為【解題思路】選項(xiàng)A，根據(jù)圖象可得T=π，可得ω=2，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；利用y=cosx【解答過程】對于選項(xiàng)A，由圖知34T=π3??5π12=3π4，得到T=2πω對于選項(xiàng)C，由2x+π3=π2+kπ對于選項(xiàng)D，由2kπ≤2x+π所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為k故選：D.6．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期為2π3A．?32 B．?12 【解題思路】先根據(jù)f(x)的最小正周期為2π3，求出【解答過程】因?yàn)閒(x)=sin3ωx+所以f(x)的最小正周期T=2π3ω所以f(x)=sinx∈?π所以sin3x+當(dāng)x=?π18時，取所以f(x)在?π18,故選：C.7．（24-25高一上·河北衡水·期中）設(shè)函數(shù)fx=cosωx?π3ω>0A．176,23C．173,23【解題思路】求出ωx?π【解答過程】∵x∈0,π,∴ωx?π3∈∴7π故選：B.8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期為3πC．若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個最值點(diǎn)，則ωD．若gπ4=【解題思路】先根據(jù)fx是偶函數(shù)求φ【解答過程】fx則π3若gx的最小正周期為3π，由g(x)=sin(ωx+φ)∵x∈(0,π),ωx+π6∈(則5π若∵g(x)=sin(ωx+π則ωπ4+π6則ω=23+8k又因?yàn)棣?gt;0，則ω的最小值為23故選:D.二、多選題9．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y=sinx,x∈π3,2π與直線y=t（t為常數(shù)）公共點(diǎn)個數(shù)可能是（

）A．0 B．1【解題思路】結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析求解.【解答過程】作出y=sin所以函數(shù)y=sinx,x∈π3,2故選：ABC.10．（24-25高二上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=cosx，A．函數(shù)mx=fxB．函數(shù)mx=fC．函數(shù)nx=fD．函數(shù)nx=f【解題思路】根據(jù)三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、值域、對稱性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過程】A選項(xiàng)，當(dāng)x∈π2,π時，此時2x∈π,2π，而y=B選項(xiàng)，函數(shù)mx+2而m=1所以mx的最小正周期為2C選項(xiàng)，當(dāng)x∈2kπ,2ksinx+π4∈當(dāng)x∈2kπ+cosx+所以nx綜上，函數(shù)nx=fxD選項(xiàng)，因?yàn)?2×?n3π4=cos故選：BC.11．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,A．若fx的最小正周期是π，則B．若fx的圖象關(guān)于直線x=πC．若fx在0,π2上單調(diào)遞增，則D．若23≤ω<53，則【解題思路】先根據(jù)函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)0,3求出【解答過程】因?yàn)閒x的圖象經(jīng)過點(diǎn)0,3，所以f0又φ<π2，所以φ=對于A，因?yàn)閒x的最小正周期是π，所以T=2π對于B，因?yàn)閒x的圖象關(guān)于直線x=π6又ω>0，所以ω=1+6kk∈N對于C，由x∈0,π2因?yàn)閒x在0,π2上單調(diào)遞增，所以π3,π2ω+π3對于D，因?yàn)閤∈0,π，所以因?yàn)?3≤ω<5所以fx在0,故選：ACD.三、填空題12．（23-24高一下·上海徐匯·期中）函數(shù)y=2sin2x+π6的單調(diào)增區(qū)間為【解題思路】以2x+π【解答過程】令2kπ?π所以函數(shù)y=2sin2x+π故答案為：kπ13．（23-24高一下·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=sin(2x?π6)?m在[0,π2【解題思路】根據(jù)給定條件，探討函