專題06 平面向量和復(fù)數(shù)（知識梳理+考點精講精練+實戰(zhàn)訓(xùn)練）（含答案解析）

專題06平面向量和復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 2點精講講練 7考點一：平面向量的概念 7考點二：平面向量的運算 10考點三：平面向量基本定理 14考點四：平面向量坐標(biāo)運算 18考點五：平面向量數(shù)量積 21考點六：余弦定理 26考點七：正弦定理 31考點八：余弦定理、正弦定理綜合應(yīng)用 35考點九：復(fù)數(shù)的概念及四則運算 39實戰(zhàn)能力訓(xùn)練 42明晰學(xué)考要求1、理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義；2、理解平面向量的幾何表示和基本要素；3、掌握平面向量加、減運算規(guī)則，理解其幾何意義；4、了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義；5、理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積；6、了解平面向量投影的概念和意義；7、會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系；8、理解平面向量基本定理及其意義；9、掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；10、會用坐標(biāo)表示平面向量加、減運算，數(shù)乘運算；11、能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并求兩個向量的夾角；12、能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件；13、掌握余弦定理、正弦定理，并能解決簡單的實際問題；14、理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義；15、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運算，了解復(fù)數(shù)加法、減法運算的幾何意義?；A(chǔ)知識梳理1、向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；?；?（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運算（1）向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.（2）向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.（3）向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數(shù)，.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．4、向量的夾角已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時，兩向量，共線且同向；當(dāng)時，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時，兩向量，共線但反向．5、數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.6、平面向量的基本定理（1）定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.（2）基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).7、平面向量的坐標(biāo)運算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）任一向量：設(shè)，則.8、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為9、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：（1）數(shù)量積（2）模：（3）夾角：（4）非零向量的充要條件：10、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）11、余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；12、三角形常用面積公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).13、復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實部與虛部.14、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個數(shù)，，（），我們規(guī)定.15、復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時,它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時,它是實數(shù)0；當(dāng)時,它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時,它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:16、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量17、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離；特別的，時，復(fù)數(shù)是一個實數(shù)，它的模就等于(的絕對值).18、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.19、復(fù)數(shù)的四則運算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作（3）復(fù)數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為，即（4）復(fù)數(shù)的除法法則（）點精講講練考點一：平面向量的概念【典型例題】例題1．（2023廣西）如圖，O是正六邊形的中心，下列向量中，與是平行向量的為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)平行向量的定義判斷即可.【詳解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量.由圖可知，與方向相反，因此是平行向量.故選：C.例題2．（2023黑龍江）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【知識點】平面向量的概念與表示【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B例題3．（2023北京）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】相等向量【分析】根據(jù)相等向量的定義即可得答案.【詳解】解：因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心，所以與模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；與只是模相等的向量，故B錯誤；與只是模相等的向量，故C錯誤；與只是模相等的向量，故D錯誤.故選：A.【即時演練】1．判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、判斷命題的真假【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.【詳解】對①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，故當(dāng)與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；對②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題.故選：B.2．如圖，在圓中，向量，，是（

）

A．有相同起點的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【答案】C【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、向量的?！痉治觥扛鶕?jù)向量的幾何表示，可判斷出選項A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結(jié)合圖形，即可判斷選項B和D的正誤.【詳解】對于選項A，因為向量，的起點為，而向量的起點為，所以選項A錯誤，對于選項B，因為相反向量是方向相反，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項B錯誤，對于選項C，向量，，的模長均為圓的半徑，所以選項C正確，對于選項D，因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項D錯誤，

故選：C.3．（多選）下列說法正確的是（

）A．零向量是沒有方向的向量 B．零向量的長度為0C．相等向量的方向相同 D．同向的兩個向量可以比較大小【答案】BC【知識點】零向量與單位向量、相等向量【分析】利用零向量的定義及相等向量的定義，可判斷出選項A、B和C的正誤，再由向量的定義知選項D錯誤.【詳解】對于選項A，因為零向量的方向是任意的，所以選項A錯誤，對于選項B，因為零向量是方向任意，長度為0的向量，所以選項B正確，對于選項C，因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，所以選項C正確，對于選項D，向量不能比較大小，向量的模長可以比較大小，所以選項D錯誤，故選：BC.考點二：平面向量的運算【典型例題】例題1．（2022河北）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【知識點】已知數(shù)量積求模、已知模求數(shù)量積【分析】將分別進(jìn)行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關(guān)系，從而求解.【詳解】由題知，，則，，則.故選：A例題2．（2024湖北）如圖，平行四邊形中，是邊上的一點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】向量加法的法則、向量減法的法則【分析】根據(jù)向量線性運算化簡求解即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B例題3．（2024安徽）已知向量與的夾角為，則向量與上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求投影向量、用定義求向量的數(shù)量積【分析】應(yīng)用投影向量公式結(jié)合數(shù)量積公式計算即可.【詳解】向量與上的投影向量為.故選：B.例題4．（2024北京）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則；.

【答案】2【知識點】向量的模、用定義求向量的數(shù)量積【分析】向量的模長即向量起點至終點的距離，由圖可知結(jié)果；向量的數(shù)量積等于向量的模乘以另一個向量在這個向量上的投影，由圖可知結(jié)果.【詳解】由圖可知，，其中為在上的投影，由圖可知投影長度為1，且方向與相反，故.故答案為：2；.【即時演練】1．已知向量，滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算【分析】掌握平面向量的數(shù)量積.【詳解】,,,又,,即,,,.故選：A.2．（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】平面向量的混合運算、空間向量加減運算的幾何表示【分析】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.【詳解】.故選：C.3．在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】向量加法的法則【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.【詳解】在中，，則.故選：C4．已知平面向量，滿足且向量，的夾角為則在方向上的投影數(shù)量為.【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】利用數(shù)量積來計算投影數(shù)量即可.【詳解】因為且向量，的夾角為所以，則在方向上的投影數(shù)量為：，故答案為：.考點三：平面向量基本定理【典型例題】例題1．（2020河北）在中，點是邊上一點，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】向量的線性運算的幾何應(yīng)用、平面向量共線定理的推論、利用平面向量基本定理求參數(shù)【分析】利用向量共線定理設(shè)，，通過線性運算得，結(jié)合題目條件得到方程組，解出即可.【詳解】作出如圖所示圖形：三點共線，故可設(shè)，，則，，，解得.故選：D.例題2．（2023湖北）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，且，則實數(shù)（

）

A． B．2 C． D．3【答案】B【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用、向量的線性運算的幾何應(yīng)用、向量加法法則的幾何應(yīng)用【分析】先將分別用表示，再結(jié)合題意即可得解.【詳解】，，所以，又因為，所以.故選：B.例題3．（2022浙江）在中，設(shè)，，，其中.若和的重心重合，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】設(shè)為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，分別在、中用向量、表示向量，再根據(jù)向量相等可得答案.【詳解】設(shè)為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，所以是的中點，是的中點，所以，，，可得，解得.故選：D.例題4．（2022安徽）在中，點D在邊BC上，且，若，則.【答案】2【知識點】利用平面向量基本定理求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的加減法用、表示出，求出與即可.【詳解】由，得，則在中，，因，故，因此.故答案為：2.【即時演練】1．在平行四邊形ABCD中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】用基底表示向量【分析】由平面向量的基本定理求解即可.【詳解】

如圖：.故選：C2．已知在中，M是線段BC上異于端點的任意一點．若向量，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【知識點】條件等式求最值、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)三點共線的結(jié)論可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可得答案.【詳解】由題意M是線段BC上異于端點的任意一點，向量可得，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即，時，等號成立，故的最小值為18．故選：C3．在中，點是邊上一點，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．7【答案】B【知識點】平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論求得，x>0，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】在中，點是邊上一點，，則，x>0，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B4．如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點、，若，，則.

【答案】43/【知識點】用基底表示向量、平面向量共線定理的推論【分析】根據(jù)給定條件，利用中點向量公式，結(jié)合共線向量定理的推論列式計算即得.【詳解】在中，點是的中點，則，又，，則，而點共線，因此，所以.故答案為：考點四：平面向量坐標(biāo)運算【典型例題】例題1．（2024福建）已知，若，則的值為（

）A．?2 B． C． D．【答案】D【知識點】利用向量垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，，故，所以，故選：D例題2．（2024湖北）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】運用向量的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】已知向量，則.故選：D.例題3．（多選）（2024湖北）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【知識點】由坐標(biāo)判斷向量是否共線、垂直關(guān)系的向量表示、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥扛鶕?jù)向量的坐標(biāo)可判斷A；計算向量的模判斷B；根據(jù)向量垂直以及平行的坐標(biāo)表示可判斷CD.【詳解】由于，則，A錯誤；由于，B正確，因為，故，C正確；因為，故不平行，D錯誤；故選：BC例題4．（2024新疆）已知向量.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）利用向量線性運算的坐標(biāo)表示和相等向量的定義得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）用向量線性運算的坐標(biāo)表示求得與，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，所以，解得，所以（2）因為，則，又，，所以，解得，故實數(shù)k的值為.【即時演練】1．已知向量，，，若與平行，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為，，，所以，由與平行，得，解得.故選：C.2．已知向量，．若，則．【答案】【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】先求出的坐標(biāo)，再由根據(jù)向量平行的坐標(biāo)性質(zhì)后可求出的值.【詳解】∵，，∴，由得，解得，解得.故答案為：.3．已知向量，．若，則．【答案】【知識點】向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】利用非零向量垂直時數(shù)量積為0，計算即可.【詳解】．因為，所以，解得．故答案為：.4．已知向量．(1)求向量的坐標(biāo)；(2)求+向量的模．【答案】(1)，(2)【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥浚?）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求得正確答案.（2）先求得，然后求得的模.【詳解】（1）依題意，向量，，.（2）由于，所以.考點五：平面向量數(shù)量積【典型例題】例題1．（2022河北）已知向量，則（

）A．2 B． C．10 D．【答案】A【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可求解.【詳解】由題意知，.故選：A.例題2．（2024浙江）已知的邊長均為1，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法計算數(shù)量積，結(jié)合的取值范圍，即可得解.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，所以，，所以.故選：B例題3．（2024湖南）如圖，已知點A?2,0，，點C是y軸上的動點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以.故選：D例題4．（2020山東）若向量滿足與的夾角為，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、向量模的坐標(biāo)表示【分析】求出，再根據(jù)數(shù)量積定義運算.【詳解】，，.故選：A.例題5．（2024天津）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)．【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)、已知向量垂直求參數(shù)、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）首先求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出，即可求出，再計算其模.【詳解】（1）因為，，由，可得，解得．（2）依題意，若，則有，解得，所以，．【即時演練】1．已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【知識點】已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥堪哑椒睫D(zhuǎn)化為數(shù)量積運算，結(jié)合二次函數(shù)知識得最小值．【詳解】設(shè)，又，所以，所以當(dāng)時，，故選：D．2．已知向量，且，則（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示【分析】先利用向量模的坐標(biāo)運算求得，進(jìn)而利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求得.【詳解】，則，由于，所以，所以，所以.故選：C3．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為．【答案】【知識點】求投影向量【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)求，利用投影向量公式求解即可.【詳解】∵,∴,∴，.所以向量在向量上的投影向量為：.故答案為：.4．已知，，，若，則實數(shù)．【答案】【知識點】向量夾角的計算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】由向量坐標(biāo)的運算求出向量的坐標(biāo)，再根據(jù)，利用向量夾角余弦公式列方程，求出實數(shù)的值．【詳解】由，，則，又，則，則，即，，解得，故答案為：5．已知是邊長為6的等邊三角形，M是的內(nèi)切圓上一動點，則的最小值為．【答案】【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)和三角函數(shù)的有界性計算即可求得．【詳解】以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因為等邊的邊長為6，所以的內(nèi)切圓圓心在上，半徑，則，，，，，所以，，所以，所以當(dāng)時，取得最小值．故答案為：．考點六：余弦定理【典型例題】例題1．（2024北京）在中，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【知識點】余弦定理解三角形【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】由，所以.故選：A例題2．（2024云南）在中，內(nèi)角的對邊分別是.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】余弦定理解三角形【分析】利用余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】由余弦定理得.故選：A例題3．（2023吉林）在中，分別為三個內(nèi)角所對的邊，且，，，則的面積為．【答案】【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】由余弦定理可得，因為且，，所以，解得，因此的面積為故答案為：.例題4．（2024安徽）已知.(1)求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)，(2)【知識點】余弦定理解三角形、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】（1）由正弦函數(shù)的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案.（2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）的最小正周期為，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）由，得，∵，∴，∴＝，解得.又△ABC的外接圓半徑為2，則，由余弦定理，得，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，所以△ABC面積，故△ABC面積的最大值為.例題5．（2024福建）已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）由余弦定理化角為邊，化簡即可得證；（2）由余弦定理可求得，可求的面積.【詳解】（1）因為，所以，化簡得，即，所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面積為.【即時演練】1．在△ABC中，若，，，則邊上的高為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】先利用余弦定理求得的長，再利用三角形等面積法即可求得邊上的高.【詳解】由余弦定理，得，設(shè)邊上的高為，則，解得.故選：C.2．在中，角的對邊分別為.已知，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．或【答案】C【知識點】余弦定理解三角形【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C3．在中，，，，則邊（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】余弦定理解三角形【分析】根據(jù)余弦定理可求的值.【詳解】由余弦定理可得，故故選：C.4．已知的三個角的對邊分別為，(1)已知，求邊上中線長.(2)請用表示邊的中線長，并寫出推導(dǎo)過程.【答案】(1)(2)，過程見解析【知識點】余弦定理解三角形【分析】（1）設(shè)邊上的中線記為，根據(jù)余弦定理得和，解得.（2）利用余弦定理求出邊上的中線即可．【詳解】（1）設(shè)邊上的中線記為，根據(jù)余弦定理得,所以，所以.（2）邊的中線長為,證明：設(shè)邊?BC?上的中線記為?ma?，根據(jù)余弦定理得，所以，所以.5．銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【知識點】三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又，所以.由為銳角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因為，，所以，所以的面積.考點七：正弦定理【典型例題】例題1．（2022河北）在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形【分析】根據(jù)正弦定理可求，從而可求.【詳解】由正弦定理可得，故，因為，故，故為銳角，故，故選：A.例題2．（2021新疆）在中，已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】正弦定理解三角形【分析】利用正弦定理代值計算即得.【詳解】由正弦定理，可得，故選：D.例題3．（2024江蘇）在中，且均為整數(shù)，D為AC中點，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【知識點】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、用和、差角的正切公式化簡、求值、正弦定理解三角形、數(shù)量積的運算律【分析】根據(jù)給定條件，確定角的大小，再利用和角的正切及整數(shù)條件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】在中，由，得，即，則，由為整數(shù)，得，，，整理得，而，且均為整數(shù)，則，由，解得，由，解得，由正弦定理得，則，由D為AC中點，得，則，所以.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本問題的關(guān)鍵是求出的值，再轉(zhuǎn)化為解三角形問題.例題4．（2024云南）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【知識點】正弦定理解三角形【分析】由正弦定理求解即可．【詳解】由正弦定理得，，得，得，故選：D【即時演練】1．在中，已知，，，則角的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【知識點】正弦定理解三角形【分析】利用正弦定理得到值，再根據(jù)得到，即可求解．【詳解】，，，又，且，，則角的值為．故選：B.2．中，，，，則．【答案】【知識點】正弦定理解三角形【分析】由三角形三個角的和為得出的值，利用正弦定理解出邊.【詳解】，∵，∴，∴故答案為：3．在中內(nèi)角所對的邊分別為，且，，，則．【答案】或【知識點】正弦定理解三角形【分析】根據(jù)已知條件和正弦定理可得角，從而得到的值．【詳解】在中由正弦定理可知，所以，解得，因為為的內(nèi)角，所以或，所以或，故答案為：或．4．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求角C的大小；(2)求的值．【答案】(1)(2)【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形【分析】（1）利用余弦定理計算即可；（2）利用正弦定理結(jié)合（1）的結(jié)論計算即可.【詳解】（1），，．（2），，，．考點八：余弦定理、正弦定理綜合應(yīng)用【典型例題】例題1．（2024安徽）在中，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若≥，則【答案】D【知識點】特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式五、六、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】AB選項，可舉出反例；C選項，利用誘導(dǎo)公式推出；D選項，由正弦定理和大邊對大角得到D正確.【詳解】A選項，當(dāng)時，，故，A錯誤；B選項，時，無意義，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，由正弦定理得，因為，所以，由大邊對大角得，D正確.故選：D例題2．（2024湖北）的內(nèi)角的對邊分別為，面積為.已知，再從①②兩個條件中選取一個作為已知條件，求的周長.①；②.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】若選擇①，根據(jù)面積公式求，再根據(jù)余弦定理求，即可求解周長；若選項②，根據(jù)面積公式求角以及角，再結(jié)合，即可求解周長.【詳解】若選擇①，，得，，得，所以；若選擇②，，得，因為，所以，那么，，，得，，，所以，所以的周長為.例題3．（2024浙江）已知為銳角三角形，角對應(yīng)的邊分別為，且(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】輔助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到，得到，即可求解；（2）由（1）得到外接圓的直徑，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，得化簡得到，根據(jù)銳角三角形，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，又因為，可得，可得，即因為，可得，所以，所以.（2）解：由（1）知，且，可得外接圓的直徑，又由正弦定理得，因為為銳角三角形，可得，解得，可得，所以，則，所以的取值范圍為．【即時演練】1．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【知識點】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】（1）將余弦定理代入已知式化簡即可；（2）由三角形的面積公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周長.【詳解】（1），由余弦定理得，，所以，，.又，.（2）因為的面積為，即，.由余弦定理得.解得.所以周長為.2．在△ABC中，角C為銳角且滿足．(1)求；(2)若，且的周長為，求的面積．【答案】(1)(2)【知識點】二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、已知三角函數(shù)值求角【分析】（1）由倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，化簡得，角C為銳角，有，可求角C；（2），得，余弦定理得，求出，由公式求的面積．【詳解】（1）由可得，則，得，因為角C為銳角，有，可得.（2）因為周長，，所以①，又因為，所以②，由①②得，所以.3．在中，，.(1)求A的大小；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：AC邊上的高；條件②：；條件③：.【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解.（2）選①，由直角三角形邊角關(guān)系求出，再由余弦定理求出并求出三角形面積；選②，利用正弦定理求出，再利用大角大邊確定三角形無解；選③，由余弦定理建立方程無解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，又，所以.（2）若選①，邊上的高，在中，，即，在中，由余弦定理，得，整理得，而，解得，的三邊已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，所以的面積為；若選②，，則，在中，，由正弦定理，得，根據(jù)三角形中大角對大邊可知，不存在；若選③，，由余弦定理，得，則，顯然，即方程無解，因此不存在，③不可選.考點九：復(fù)數(shù)的概念及四則運算【典型例題】1．（2024北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示【分析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為即可求解.【詳解】因為，所以對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，故選：D2．（2024湖北）歐拉恒等式（其中為虛數(shù)單位，為歐拉常數(shù)）被譽為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式之一，它是歐拉公式的特例，即當(dāng)時，，得.根據(jù)歐拉公式，表示的復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念【分析】復(fù)數(shù)，進(jìn)而得出共軛復(fù)數(shù)為z.【詳解】由題意，復(fù)數(shù).故選：A3．（2024浙江）（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求解即可.【詳解】由題意可得：.故選：D.4．（2024福建）已知是實數(shù)，且，則x+y=【答案】7【知識點】復(fù)數(shù)的相等【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)相等求出即可得解.【詳解】由是實數(shù)，且，得，所以.故答案為：75．（2022安徽）．【答案】【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即復(fù)數(shù)的模的求法計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：2.【即時演練】1．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】共軛復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求即可.【詳解】由題設(shè)，則.故選：A2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可得，進(jìn)而可得模長.【詳解】由已知，則，則，故選：C.3．若為虛數(shù)單位，則.【答案】【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求得正確答案.【詳解】.故答案為：4．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實部和虛部相等，則實數(shù)的值為【答案】【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知的實部和虛部分別為，所以.故答案為：5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第象限.【答案】三【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限【分析】經(jīng)計算結(jié)合復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式可得所在象限.【詳解】，其在復(fù)平面對應(yīng)坐標(biāo)為，故該點在第三象限.故答案為：三實戰(zhàn)能力訓(xùn)練一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【知識點】復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計算【分析】設(shè)，代入已知條件，求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，則，，所以，解得，所以.故選：B2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計算【分析】先確定復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)的模.【詳解】，所以，所以.故選：C3．在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】利用正弦定理將邊化角，整理即可求得.【詳解】，由正弦定理可得，又在中，，，，在中，，，且為的內(nèi)角，，故選：C．4．已知向量，，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【知識點】向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)平面向量垂直可得數(shù)量積為0，求解即可.【詳解】因為，所以，可得，解得.故選：A.5．已知，，，若A，B，C三點共線，則m=（

）A．11 B．9 C．7 D．6【答案】A【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由三點共線轉(zhuǎn)換為向量共線，由向量共線的充要條件即可求解.【詳解】由題意與共線，所以，解得．故選：A.6．克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點共圓時，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】余弦定理解三角形【分析】記，利用余弦定理表示出，然后根據(jù)題中結(jié)論可得.【詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，由題知，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點共圓時取等號，所以的最大值為.故選：D

二、多選題7．已知平面內(nèi)兩個單位向量的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的取值范圍為C．若，則D．在上的投影向量為【答案】AB【知識點】已知數(shù)量積求模、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示、求投影向量【分析】根據(jù)向量垂直、模、夾角、投影向量等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由于，所以，所以A選項正確.B選項，，，所以B選項正確.C選項，，解得，所以，所以C選項錯誤.D選項，在上的投影向量為，所以D選項錯誤.故選：AB8．下列命題中，正確的是（

）A．在中，若，則必是等腰直角三角形B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則D．在中，若，則必是等邊三角形【答案】BCD【知識點】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】A由正弦定理邊角關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷內(nèi)角A、B的數(shù)量關(guān)系；B由，則，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得證；C由正弦定理的邊角關(guān)系判斷；D利用余弦定理，結(jié)合已知得，進(jìn)而判斷△的形狀.【詳解】A：由題設(shè)，可得，又，則或，故為等腰或直角三角形，錯誤；B：在銳角中，，則，又在單調(diào)遞增，所以，正確；C：若，由大角對大邊