空間向量與立體幾何（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版選擇性必修第一冊(cè)）

第一章空間向量與立體幾何（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.能夠理解空間向量的概念，運(yùn)算、背景和作用；

2.能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力；

3.能夠掌握空間向量基本定理，體會(huì)其作用，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；

4.能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)用向量解決一類問題的思路.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

一、空間向量的有關(guān)概念

1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模;

如空間中的位移速度、力等.

2、幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量［長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為7的相反向量，記為-￡

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

二、空間向量的有關(guān)定理

1、共線向量定理：

對(duì)空間任意兩個(gè)向量點(diǎn)石3片。），出的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使￡=4次

（1）共線向量定理推論：如果/為經(jīng)過點(diǎn)A平行于已知非零向量￡的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)。，點(diǎn)P在

直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)￡,使而=礪+后①,若在I上取AB=a＞則①可以化作：而=函+tAB

P

B

A

O

（2）拓展（高頻考點(diǎn)）：對(duì)于直線外任意點(diǎn)。，空間中三點(diǎn)尸,A3共線的充要條件是麗=兄麗+〃通,

其中2+〃=1

2、共面向量定理

如果兩個(gè)向量2萬(wàn)不共線，那么向量方與向量2萬(wàn)共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（尤,y）,使

p=xa+yb

（1）空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（尤,y）,使Q=天通+yAC.

或者等價(jià)于：對(duì)空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)（P,A,5c四點(diǎn)共面）的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對(duì)（尤,y）,使麗=C5+X通+＞正，該式稱為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

（2）拓展

對(duì)于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)P,C,A3共面（其中C,A,3不共線）的充要條件是存=+yC5+Z萌（其

中x+y+z=l）.

3、空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量a,反c,不共面，那么對(duì)空間任意向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.

三、空間向量的數(shù)量積

1、空間兩個(gè)向量的夾角

（1）定義：已知兩個(gè)非零向量￡,九在空間任取一點(diǎn)。，作詼=￡,OB=b^則么NAO3叫做向量

的夾角，記

（2）范圍：＜。,匕＞￡[0,句.

特別地，⑴如果＜癡那么向量癡互相垂直，記作/人

（2）由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為萬(wàn)，故＜Z,B〉=0（或

＜afb＞=?）0￡//后（。,行為非零向量）.

⑶零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定o與任何向量Z都是共線的，即兩非零向量的夾角是

唯一確定的.

（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個(gè)向量[1所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為。,

__?TT

⑴向量夾角的范圍是0?凡辦><乃，異面直線的夾角。的范圍是

—?—?TT

（2）當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，0=<a,b>-,當(dāng)兩向量的夾角為3時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為

鈍角時(shí)，O=TT-<a,b>.

2、空間向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量Z，b-貝U|Z||B|cos<￡,B>叫做Z,B的數(shù)量積，記作7B；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

3、向量日的投影

3.1.如圖（1）,在空間，向量￡向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面。

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量石共線的向量入c=|a|cos<a,>>=向量2稱為向量￡在

1。1

向量B上的投影向量.類似地，可以將向量Z向直線/投影（如圖（2））.

3.2.如圖（3）,向量a向平面B投影,就是分別由向量Z的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面P的垂線，垂足分別為4,

B',得到向量稱為向量Z在平面夕上的投影向量.這時(shí)，向量z，H@的夾角就是向量￡所

在直線與平面夕所成的角.

4,空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量z，B的數(shù)量積等于Z的長(zhǎng)度與B在Z方向上的投影

Ib|cos<a,b>的乘積或等于B的長(zhǎng)度|B|與￡在B方向上的投影|a|cos<a,b>的乘積.

5、數(shù)量積的運(yùn)算：

（1）=AGT?.

（2）a.]=石.a（交換律）.

（3）a-（B+c）=a%+a-c（分配律）.

四、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)0=(6,4,%)，b=(bl,b2,bi)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示:

數(shù)量積a-b=〃也+a2b2+“3%

共線(平行)

%=Xbx

Z||灰石wC）=%=丸石=<a2=Ab2（2GR）

%=2Z?3

垂直

a-Lb<^>a-b=0<^afy+a2b2+a3b3=0均非零向量）

模1。1=aF=Jj=,a：+a2+，即1a1=J+

夾角

-_a-b01bl+a2b2+a3b3

cos<a,B"向⑹州+城+色信+屆+￡

五、直線的方向向量和平面的法向量

1、直線的方向向量

如圖①,a是直線/的方向向量,在直線/上取通=￡,設(shè)P是直線I上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線/上的充要條

件是存在實(shí)數(shù)乙使得?=扇，即Q=f通

四①

2、平面法向量的概念

如圖，若直線l1a,取直線I的方向向量Z,我們稱Z為平面e的法向量；過點(diǎn)A且以Z為法向量

的平面完全確定，可以表示為集合{P|〉ZA=0}.

3、平面的法向量的求法

求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:

設(shè)向量：設(shè)平面a的法向量為百=(羽y,z)

選向量：選取兩不共線向量AB,衣

7怎=0

列方程組：由__.列出方程組

n-AC=0

n-AB=0

解方程組：解方程組—一.

n-AC=0

賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取±1）

得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

六、空間位置關(guān)系的向量表示

設(shè)耳石分別是直線44的方向向量，晨晨分別是平面%力的法向量.

4〃，2O%//〃2o三幾￡R,使得％=彳〃2

線線平行

注：此處不考慮線線重合的情況.但用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說明兩直線不重合

線面平行4//a±=0注：證明線面平行時(shí)，必須說明直線不在平面內(nèi)；

_?__11UU

二///7?々//%32eR,使得Y\=幾巧

面面平行

注:證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平面不重合.

線線垂直/1_L，2o4_L沆2O4?%=0

線面垂直4_L。=4//“<^>32eR,使得％=力

面面垂直1力O"_L〃20勺,%=0

七、向量法求空間角

1、異面直線所成角

設(shè)異面直線4和所成角為。，其方向向量分別為1，V；則異面直線所成角向量求法：

—一U,V一一

①cos<u,v>=———;②COS0=1COS<M,V>1

\u\\v\

2、直線和平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為Z，平面a的一個(gè)法向量為7，直線/與平面a所成的角為夕，則①

——.n一一

cos<?,?>=—~—；②sin。=|cos<.

\a\\n\

3、平面與平面所成角（二面角）

（1）如圖①，AB，CD是二面角a-l-/3的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的直線,則二面角的大小0=<AB,CD>.

（2）如圖②③，%,后分別是二面角。的兩個(gè)半平面名，的法向量，則二面角的大小。滿足:

一—n.-n

①cos<n、，n,>=」二7；

卬1%1

若二面角為銳二面角（取正），貝氏05夕=|<:05<4，巧〉|；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），則cose=—|cos<4，“2〉1；

（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.）

八、向量法求距離

（1）點(diǎn)到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為〉A(chǔ)是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)尸到直線/的距離為

（2）兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線/,，"之間的距離，可在其中一條直線/上任取一點(diǎn)P,則兩條平行直線間的距離就等于P到

直線加的距離.

（3）求點(diǎn)面距

①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離.

即：點(diǎn)A到平面a的距離,其中QGa,萬(wàn)是平面a的一個(gè)法向量.

\n\\n\\n\

(4)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解

\AB-n\

直線。與平面a之間的距離：d=―ra—，其中五是平面a的一個(gè)法向量.

\n\

兩平行平面a,月之間的距離:其中Aea,BeB力是平面a的一個(gè)法向量.

重要題型

題型一空間關(guān)系的證明

【例1】如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，2AB=2AD=CD=4,ADLCD,AB!/CD,

M為CE的中點(diǎn).

E

(1)求證：3Af//平面AD￡F；

(2)求證：BC/平面BDE.

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行;

(2)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，結(jié)合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量

平行可證.

【詳解】(1)解法一：證明：取DE中點(diǎn)N,連結(jié)AN,MN,

由三角形中位線性質(zhì)可得MN"CDHMN=：CD,

又因?yàn)锳B//CD且=所以且町V=AB,

所以ABMN是平行四邊形，所以BMUAN,

又⑷Vu平面AD砂，平面AD￡F,所以3"http://平面ADEF.

解法二：證明：因?yàn)槠矫鍭D￡F_L平面ABCD,平面ADEbn平面ABCD=AD,DEJ.AD,

所以DE人平面ABCD,又OCu平面A8CD,所以DE_L￡>C.

如圖，以。為原點(diǎn)，以函，DC>DE的方向分別為x軸、，軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則

5（2,2,0）,C（0,4,0）,￡）（0,0,0）,E（0,0,2）,M（0,2,1）.

因?yàn)榧?(-2,0,1),易知牙=(0,1,0)為平面ADEF的一個(gè)法向量.

因此麗?彳=0，所以的_L7.

又創(chuàng)la平面AD￡F,所以3"http://平面ADEF.

(2)解法一：證明：因?yàn)?0=2應(yīng)，BC=2A/2,8=4,

所以加P+BC?=C￡>2,所以

因?yàn)槠矫鍭DEF_L平面ABC。，平面4)跖口平面ABCD=AD,DEJ.AD,

所以DE上平面ABC。，又3Cu平面ABC。，所以DE_LBC.

又BDcDE=D，3。,?！曦纹矫纨嫞尽?所以3c/平面3DE.

解法二：由(1)可得麗=(2,2,0),瓦=(0,0,2),BC=(-2,2,0).

設(shè)平面的一個(gè)法向量3=(x,y,z),則

n-DB=2x+2y=Q

取x=l,得y=-Lz=o,

n-l)E=2z=0

所以為=(1,-1,0)是平面瓦)E的一個(gè)法向量.

因此阮=-2兀所以3c人平面

反思總結(jié)

證明平行、垂直關(guān)系的方法可以運(yùn)用傳統(tǒng)方法也可以運(yùn)用空間向量。

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法：

(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。

(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明平面內(nèi)存在一個(gè)向量與直線的

方向向量是共線向量;③利用共面向量定理，即證明平面內(nèi)存在兩個(gè)不共線向量來(lái)線性表示直線的方向向量。

(3)證明面面平行的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問題。

(4)證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直。

(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。

(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題。

鞏固訓(xùn)練:

1.如圖，四棱錐尸-ABCD中，側(cè)面抬。為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為。且P。1底面A8C。,

171

AB=BC=-AD=1,ZBAD=ZABC=-,E是的中點(diǎn).證明：CE//平面

22

【答案】證明見解析

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出CE的方向向量和平面的的法向量即可證明.

TV

【詳解】因?yàn)樵诘酌鍭BCD內(nèi)，ZBAD=ZABC=-,所以8C〃AD,

連接0C,因?yàn)?。為AO的中點(diǎn)，BC=\AD,所以3c=AO,

所以四邊形A3CO是平行四邊形，所以O(shè)CV/AB,

7T

又因?yàn)镹BAO=—,所以O(shè)CLAD,

2

因?yàn)椤?1底面ABCD,OCADu底面ABCD,所以尸O,OC,POLAD,

所以以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OD,OP為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)閭?cè)面以。為等邊三角形，A8=3C=：AO=1,

所以A（O,-1,O）,8（1,-1,0）,C（l,0,0）,尸（0,0,有），￡＞（0,1,0）,

因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn),

,AP=（0,l,>/3）

設(shè)平面P4B的法向量為〃=a，y,z）,則

ABh=x=0

令Z=l,得E=（o,-國(guó)）,

APn=y+A/3Z=0

因?yàn)镃E”z=0—+=0,所以CE_Lw,

22

又因?yàn)镃EO平面R4B,所以CE//平面B4B.

2.如圖所示,正四棱ABCD-AgGR的底面邊長(zhǎng)1,側(cè)棱長(zhǎng)4,A4中點(diǎn)為E,CG中點(diǎn)為尸.求證:平面3/）E//

平面BRF.

【答案】證明見解析

【分析】以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證OE/AF司,

同理8?！ǘ?。，再結(jié)合面面平行判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則8(1,0,0),川(0,1,0),￡(0,0,2),(1,0,4).2(0,1,4),用1,1,2),

DE=FB^=(0,-l,2),.-.DE//FB,,同理4A,

?.?neo平面4。尸，尸為＜=平面4口廠，，。石〃平面與￡)￡,

平面4RF,與Ru平面4RP,.L〃平面4。1尸，

又DEcBD=D,DE,3。u平面BDE

■-?平面BDE與平面B]RF平行.

3.如圖，在正方體A8CD-AB|C]A中，M,N分別為AB,4c的中點(diǎn).證明:

（1）平面ABO〃平面2cA;

（2）〃'_1平面48。.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】⑴建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面AB。和平面與CR的法向量來(lái)證明平面4加〃平面片CQ.

（2）通過直線MN的方向向量和平面48。的法向量來(lái)證明“N_L平面43。.

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則。（0,0,0）,A（2,0,2）,5（2,2,0）,4（2,2,2）,C（0,2,0）,以0,0,2）.

設(shè)平面A3。的法向量為機(jī)=（x,y,z）,

VDAy=（2,0,2）,DB=（2,2,0）,DXBX=（2,2,0）,Z^C=（0,2,—2）,

m?D\=2x+2z=0

:?令1=-1,則%

m-DB=2x+2y=0

設(shè)平面與CQ的法向量為n=（a,b,c）,

n-。禺=2a+2b=0

?,?令a=—l,貝ij〃=（—1,1,1）,

n-DXC=2Z?-2c=0

mlIn，

???平面ABO〃平面31cA.

(2)-：M,N分別為AB,8c的中點(diǎn)，：/(2,1,0),N(l,2,l),

W=(-1,1,1),：.MN//m,

，ACVJ_平面ABD.

題型二利用空間向量求線面角

【例2】如圖，已知正三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)瓦尸分別為棱的中點(diǎn).

CP

(1)若過AE、F三點(diǎn)的平面，交棱于點(diǎn)p,求羨的值;

(2)若三棱柱所有棱長(zhǎng)均為2,求4E與平面的所成角的正弦值.

【答案】(1)2

⑵*

【分析】(1)延長(zhǎng)AF交CQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接QE交用G于點(diǎn)尸，然后結(jié)合三角形的中位線定理可求得結(jié)

果;

(2)解法一：取AC中點(diǎn)。連接02,0尸，以。為原點(diǎn)，OAO&O尸為％y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

利用空間向量求解，解法二：設(shè)點(diǎn)A到平面尸的距離為心連接87，易證與尸，平面ACGA，然后利

.h

用等體積法求出口設(shè)AE與平面但所成角為6,貝USin。=三可得答案.

AE

【詳解】(1)延長(zhǎng)針交CG延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接。石交4G于點(diǎn)p,連接尸尸，則過AE、尸三點(diǎn)的截面就是

平面四邊形AEPF,

因?yàn)槭茿G中點(diǎn)，G/〃AC且GF=gac,

所以G尸是△QAC的一條中位線，

所以。G〃BE且BE=goG，

(2)解法一：取AC中點(diǎn)。連接08,。/，因?yàn)檎庵鵄BC-44G，/為AG的中點(diǎn)，OF與三棱柱的側(cè)

棱平行，所以。4,03,0廠兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，0402,0尸為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

礪=(-1,0,2),

h-AE=Q

設(shè)平面AE尸的法向量A=(x,y,z),貝卜

n-AF=0

Bn與+z=0

即5八，

[—x+2z—0

令尤=2,則y=3^,z=l,所以〃=

3I3J

設(shè)AE與平面所成角為。，則

\E與平面AEF所成角的正弦值為巫；

10

解法二：設(shè)點(diǎn)A到平面但的距離為"連接耳尸，

因?yàn)锳耳=BiG，尸是4cl中點(diǎn)，所以

因?yàn)?4,_L平面AB?,B/u平面4月￡,所以AA_L3/,

因?yàn)锳GnAA=A，AG，招U平面ACGA，所以用尸，平面ACGA，

因?yàn)榈冗吶切?4G的邊長(zhǎng)為2,所以耳尸=6，

所以EF=J5，i=2,AE=AF=。22+仔=亞，

所以等腰三角形收的底邊所上的高為后萬(wàn)=2,

7

所以△AEF的面積為gx2x2=2,又AA41T的面積為gx2x1=1,

因?yàn)椴贰?1=3心?取"所以2〃=B得卜=與，又AE=6

設(shè)4E與平面AEF所成角為。，

故\E平面AEF所成角的正弦值為巫.

10

反思總結(jié)

根據(jù)圖形與已知條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系

設(shè)直線48與平面a所稱的角為仇需求出平面

a的法向量n和直線46的方向向量比方

cos<時(shí),〃〉1更:

\AE\'\n

利用sinj=|cos<彳才,|,直線和平面所成角的

范圍是［0,千］,即可得出直線和平面所成的角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3C。為矩形，24_1平面48。2叢=4￡>=何8,點(diǎn)河是尸。的中

點(diǎn).

(1)證明：AM±PC；

(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),且ON=Q4,求直線AN與平面ACS所成角的正

弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵等

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得AM_LPD,由面面垂直的性質(zhì)可得CDJ■平面PAD,則CD_LAM,

所以由線面垂直的判定可得AM1平面尸。，從而可得結(jié)論；

(2)以所在直線分別為羽XZ軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)證明：因?yàn)椋?&￡>,點(diǎn)加是包>的中點(diǎn)，所以4V/JLPD.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,PAu平面PAD，所以平面R4D_L平面ABCD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以COLA。，

因?yàn)槠矫鍲4￡)c平面ABCD=AD,COu平面ABC。，

所以CD,平面PAD,所以CC,

因?yàn)镻DcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以AM2平面PCD,

因?yàn)镻Cu平面PCD,所以AM_LPC.

(2)解:由題意可得AB,AD,AP兩兩垂直，

設(shè)AB=1,如圖，以AB,AP.AP所在直線分別為羽％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,后,0),D(0,s/2,0),P(0,0,北)，

V|叵

因?yàn)辄c(diǎn)M是尸。的中點(diǎn)，所以“0,~2'~2'

7

、

所以加；o,字,,AC=(1,^,0),

7

AM-n=^-y+^-z=0

設(shè)平面ACM的法向量為7=(x,y,z),貝卜22

ACh=x+-Jly=0

令y=-1可得x=&,z=l,所以平面ACM的一個(gè)法向量〃

PC=（1,A/2,-V2）,設(shè)N（XN，%,ZN）,麗=彳定=（4@,-&）（0＜彳＜1）,

即6,%,ZN-及）=（4&,-履）,所以N（4仞，及-仞）.

又。J，冬°]加=。4=￥'

（1丫（內(nèi)o

所以2—+V2A-—+（A/2-V2A）2=-,

I2）（2）4

2

化簡(jiǎn)得5%-72+2=0,解得4二二或％=1（舍去）.

所以前的平￥],

設(shè)直線AN與平面ACM所成的角為0,則

n-ANy/15

14818~W

72+1+1x------1-------1------

252525

所以直線4V與平面ACM所成角的正弦值為姮.

10

2.如圖四棱錐P-ABCD，點(diǎn)A尻C,。在圓。上，AB=AD=2,ZBAD=120。，頂點(diǎn)尸在底面的射影為圓心。,

點(diǎn)E在線段尸D上.

⑴若AB//CD,PE=2PD,當(dāng)AE〃平面P3C時(shí)，求力的值；

(2)若A3與8不平行，四棱錐尸-ABCD的體積為6,PO=0,求直線PC與平面E4B所成角的正弦值.

【答案】(l)2=g

⑵平.

【分析】(1)做輔助線構(gòu)建平面和平面P3C平行，然后結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理來(lái)解決；

(2)通過棱錐的體積得到底面積，根據(jù)底面的數(shù)據(jù)可推出BC是直徑，然后建立空間直角坐標(biāo)系處理.

【詳解】(1)過E作所〃PC交線段DC于尸，連接AF.

■■EFHPC,"0平面「3。，「。(=平面尸3(7,;.所〃平面「3(7,

又AE7/平面P3C,EFC\AE=E,￡F,AEu平面鉆/，

???平面AEV//平面PBC,

??,平面AEFc平面ABCD=AF,

平面PBCc平面ABCDuBC,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，.?.AF//BC

又,：ABIICD,四邊形ABCF是平行四邊形，

;.CF=AB=2,而ZADC=ZAFD=NBCD=180°=60°

：.DF=AF=2,CD=4,

tiCF=-CD,^PE=-PD,#2=-.

222

VP-ABCD=^-PO,(S為四邊形ABCD的面積)，得S=3g-

由S=SABD+SBCD=—x2x2xsin1200+SBCD,得SBCD=2^3,

由余弦定理，BZ)2=22+22-2X2X2XCOS1200=12,則8。=26，

根據(jù)正弦定理，設(shè)該四邊形的外接圓半徑為R,則2尺=<之=4,

sin120

作直徑5C,由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則N5CZ>=60。，

故C'￡>=2Rcos60°=2,5flC,D=gxDBxDC=26,

根據(jù)圓的對(duì)稱性，作直徑DC"，也滿足S-BCD=2A/3，但此時(shí)DC"HAB,

故CC'重合，

此時(shí)BC為直徑，直徑為4,以。為原點(diǎn)，射線08,。尸為軸，

過0垂直于8C的方向?yàn)閤軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（"1,0）,8（0,2,0）,。（0,-2,0）,尸（0,0,0），

所以西=（&,1,_0）,麗=（0,2,,無(wú)=（0,-2,-72）,

r/、\n-PA=Q,[氐+/-任=0.

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,貝IJ_即,「

n-PB=0,[2y-y/2z=0,

t—（A、

令y=i,貝Uz="x=也，所以萬(wàn)=當(dāng)」,后，

3I3J

“阿?九42君

設(shè)直線PC與平面RW所成角為6,則sin"一同用歷一丁.

*亍

直線PC與平面RW所成角的正弦值為半.

3.如圖，在四棱柱ABCD-AAGP中，平面ABC。，AB//CD,ABLAD,AD=CD=1,AAt=AB=2,

￡為AAj的中點(diǎn).

D

(1)求四棱錐的體積;

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段CE上，且直線AM與平面BCG百所成角的正弦值為:，求線段A"的長(zhǎng)度;

【答案】(1)1

(2)|W|=V2

【分析】⑴證明出AZU平面A網(wǎng)A，CD〃平面A網(wǎng)A，可知點(diǎn)C到平面A網(wǎng)A的距離等于AD=1,

再利用錐體的體積公式可求得四棱錐C-AEB出的體積；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、A4、所在直線為x軸、，軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

EM=AEQ,其中0W/W1,求出向量㈤厲的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于2的等式，結(jié)合0W2W1求

出4的值，可得出向量寂的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得線段AM的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：因?yàn)锳4tL平面ABC。，ADu平面ABC。，所以，ADIA^,

又因?yàn)锳Al^\AB=A,44]、口匚平面48月4，所以40，平面45月4.因?yàn)锳B〃CD,CD<X

平面ABgA],ABu平面所以，CD〃平面ABgA，

故點(diǎn)C到平面ABB,A的距離等于AD=1,

所以，^C-AEB,B=]-S四邊形AEB[B'=§'—x(l+2)x2xl=l.

(2)解：由A4t，平面ABC。，AD±AB,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以A￡>、AA]、A3所在直線為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),5(0,0,2),C(l,0,l),磯0,1,0),Q(1,2,1).

所以荏=(0,1,0),鬲=(1,1,1),BC=(l,0,-l),西=(0,2,0).

設(shè)平面BCQBI的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m-BC=x-z=0

則一，取X=L可得771=(1,0,1),

m-CCl=2y=0

設(shè)兩■=%居其中0W4W1,則病=荏+兩=(44+1,4),

記直線AM與平面BCQBI所成角為0,

221

V322+22+1-A/23

11___.￡4￡

整理可得15%—22-1=0,解得2=(舍)或彳=§.所以3=

3'3'3

故線段AM的長(zhǎng)度為加V2.

題型三利用空間向量求二面角

［例3］如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸3,平面ABC。，底面ABCD為直角梯形，ZBAD=ZABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,尸為PA的中點(diǎn).

(1)證明：BF1PD.

(2)求二面角P-CD-尸的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵國(guó)

42

【分析】(1)由PB_L平面ABCD,得PB_LA￡>,結(jié)合可得AD_L平面R4B,則A￡>_!_3產(chǎn)，再由等

腰三角形三線合一可得再由線面垂直的判定可得3尸，平面上4D,從而可得MLP。，

(2)由題意可證得2A,BC,8尸兩兩垂直，所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA8c,8尸所在的直線為x,y,z軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)證明：因?yàn)镻3_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以PB_L4).

又/B4D=90°,所以

由PAp|AB=A,PAABu平面PAB,得AD_L平面B4B.

因?yàn)?戶u平面Q4B,所以

因?yàn)槭瑸镽4的中點(diǎn)，PB=AB,所以上4_LB/L

由上4cA￡>=A,PAAOu平面上4D,得BF_L平面R4T).

因?yàn)槭?gt;u平面PAD,所以

(2)解：因?yàn)镻3_L平面ABCD,AB,2Cu平面ABCO,所以尸3_LAB,P3_L8C,

因?yàn)锳B13C,所以氏4,BC,BP兩兩垂直，

所以以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以2A,8C,8尸所在的直線為x,%z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,6）,網(wǎng)3,0,3）,C（0,6,0）,0（6,3,0）,

#=（3,-6,3）,麗=（6,—3,0）,齊=（0,-6,6）,

設(shè)平面CDF的法向量為加=(為,%,

m-CF=3占一6%+3Z]=0,

則令占=1，得詬=（1,2,3）.

m-CD=6%-3%=0,

設(shè)平面CDP的法向量為〃=（%,%，z?），

nCD=6x?-3y?=0,.

則一■令Xz=l,得"=1,2,2.

n-CP=一6%+6Z2=0,

/一一\m-n1111A/14

cos（m,n）=i—n"—r=—<='=------

'/仿同3疝42

由圖可知，二面角P-CD-尸為銳角,

所以二面角尸-co-尸的余弘值為丑叵.

42

反思總結(jié)

利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法。

(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，結(jié)合實(shí)際圖形通過兩個(gè)平面的法向量的夾

角得到二面角的大小。

(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這

兩個(gè)向量的夾角等于二面角的平面角。

確定二面角的平面角的大小，方法有:①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角;②依據(jù)“同進(jìn)

同出互補(bǔ),一進(jìn)一出相等”求解;③在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P做另一個(gè)半平面所在平面的垂線,

若垂足在另一個(gè)半平面內(nèi)，則所求二面角為銳二面角，若垂足在另一個(gè)半平面的反向延長(zhǎng)面上，則所求二面角

為鈍二面角。

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在三棱錐A—BCD中，2C=CD=2e,AB=AC=AD=BO=4,O為8。的中點(diǎn).

(1)證明：04,平面3CD；

(2)點(diǎn)E在棱CD上，若平面ABD與平面ABE的夾角為30。，求次的值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)在△ABD中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OB=OD=2,OA=2y/3,在△BCD中,

結(jié)合勾股定理可得BC，CD，進(jìn)而得到OC=2,在AAOC中，根據(jù)勾股定理得到從

而求證即可；

(2)以。為原點(diǎn)，以O(shè)C,0D,所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)

DE=2DC(O</<1),進(jìn)而求出平面曲與平面ABE的一個(gè)法向量，進(jìn)而列出方程求解即可.

【詳解】（1）證明：在AABD中，AB^AD=4,

因?yàn)?。?D的中點(diǎn)，

所以Q4_LBD,且OB=OD=2,OA=2A/L

在△BCD中，因?yàn)锽C2+a>2=3O2,所以3CLCD.

因?yàn)?c=CD=20,。為的中點(diǎn)，連接CO,

所以COL3D,且OC=2.

在AAOC中，因?yàn)椤?2+OC2=AC2,所以

因?yàn)?￡＞cOC=O,82OCu平面BCD,

所以O(shè)A，平面BCD

（2）以。為原點(diǎn)，以O(shè)C,OD,。4所在直線為無(wú)，,，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則A（0,0,2道），B（0,-2,。）,C（2,0,0）,。（0,2,0）,

所以或=（2,-2,0）,荏=（0,-2,-2⑹，而=（0,2,-2灼，

設(shè)詼=2成（0＜力＜1）,則朝=（22,-24,0）,AE=AD+DE=（22,2-22,-273）,

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為m=（x,y,z）,

m-AB=0”—2y—2\/3z=0

m-AE=02A%+（2—22）y-2\/3z=0

令z=拒,得y=-3,^=——3,

A

所以〃Z=［：-3,-3,

取平面ABD的一個(gè)法向量。=（1,0,0）,

又平面ABD與平面ABE的夾角為30°,

整理得=36,即2=-2或

2

因?yàn)镺v/ivl,所以4=

2.如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為P,Q,A41GC是圓柱的軸截面，正方形ABC。內(nèi)接于下底面

B

(1)當(dāng)。為何值時(shí)，點(diǎn)。在平面P2C內(nèi)的射影恰好是APBC的重心；

(2)在(1)條件下，求平面PAO與平面P3C所成二面角的余弦值.

【答案】(1)當(dāng)a=60時(shí)，。點(diǎn)在平面P3C內(nèi)的射影恰好是APBC的重心.

遲

【分析】(1)取BC的中點(diǎn)E,連接證得3cl平面尸QE,過點(diǎn)。作,得到8CLQ/，

進(jìn)而證得QF±平面PBC,得到尸是。在平面PBC內(nèi)的射影，結(jié)合尸恰好是APBC的重心，得到PE=3EF,

在直角APa中，即可求解；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面R4D和平面P3C的一個(gè)法向量為沅=(0,-3,1)

和1(0,711),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)解：取3c的中點(diǎn)E,連接QE,尸瓦加，

可得QE，3C,PE，8C,且QEcPE=E,QE,PEu平面尸。E,所以BC人平面尸。E,

過點(diǎn)。作。尸，尸石，交PE于點(diǎn)F,

因?yàn)?。尸U平面PQE,所以BCLQF,

又BCcPE=E,BC,尸Eu平面PBC,所以。尸_L平面PBC,

即F是Q在平面PBC內(nèi)的射影，

因?yàn)槭『檬茿PBC的重心，所以PE=3EF,

在直角△PQ/中，QE=：A8=ga,QE2=EF-PE=3EF2,

所以EF=@a,PE=@~a,所以尸Q=變“=9=6,解得a=6應(yīng)，

622

所以Q=60時(shí)，。點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是^PBC的重心.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在的直線為％軸，。。所在的直線為丁軸,

作DM//M，以DM所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則￡>(0,0,0),P(3A/2,30,6),A(6五,0,0),B(6直,672,0),C(0,60,0),

所以歷=(672,0,0),DP=(30,30,6),PB=(30,3A/2,-6),CB=(6^,0,0),

m-DA=6^2x=0

設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,z),

m?DP=3^2%+3也y+6z=0

取z=l,可得x=0,y=—\/2,所以m=(0,—1),

為?麗=3缶+3缶-6。=0

設(shè)平面PBC的法向量為百=(〃,b,c),貝!J<

n-CB=6y/2a=0

取C=l,可得Q=0,/?=&，所以〃=(0,&,l),

由圖象可得平面R4。與平面尸5C所成二面角的平面角為銳角,

I/一一\|布?五1-111

所以〃六麗=總加=十

即平面PAD與平面P3C所成二面角的余弦值為g.

3.如圖①所示，在RtaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,￡分別是線段AC,AB上的點(diǎn)，DEIIBC

且DE=2,將VADE沿DE折起到△A。'的位置，使4CLCD,如圖②.

E

圖①圖②

(1)若點(diǎn)N在線段上，豆2BN=N%,求證：硒〃平面AC。；

(2)若M是4。的中點(diǎn)，求平面MEB與平面DEBC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

4

【分析】(1)證明四邊形。硒F為平行四邊形，得出DF//NE,結(jié)合線面平行的判定證明即可；

(2)解法一：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；解法二：由幾何法得出/MHG為平面AffiE

與平面8CDE夾角，再結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)證明：在AAC8中，過N作NF//CB交AC于點(diǎn)孔

AN22

因?yàn)槭|=耳，所以FN=qBC,

2

在三角形ABC中，DE=-BC,DEIIBC,

所以FN//DE,FN=DE,

所以四邊形DENF為平行四邊形，

所以DF//NE.又DFu平面4。。，ENU平面A。。，

所以硒〃平面48

小

因?yàn)镈E〃2C,NC=90。，