錯(cuò)位相減求和（原卷版）

錯(cuò)位相減求和思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)1.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.2.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))掌握解題“三步驟”4.四類(lèi)特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】(2021·全國(guó)乙卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(nan,3).已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列．(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；[切入點(diǎn)：設(shè)基本量q](2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和．證明：Tn<eq\f(Sn,2).[關(guān)鍵點(diǎn)：bn＝n·]方法總結(jié)方法總結(jié)1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．2.錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前項(xiàng)和.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的補(bǔ)充在下面的橫線上，使得問(wèn)題可以解答，并寫(xiě)出完整的解答過(guò)程問(wèn)題：在各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列中，，公差為，且__________(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求，并證明：當(dāng)時(shí)，．4．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校校考一模）已知數(shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?，__________．請(qǐng)?jiān)?成等比數(shù)列;?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和?，求證：?．5．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①；②；③．從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．6．（2022·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，前n項(xiàng)的和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)如果恒成立，求最小值.7．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列.(2)若，的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù).8．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．9．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列的前