2023年高考數(shù)學(xué)考前押題沖刺測(cè)評(píng)卷05（新高考地區(qū)專(zhuān)用）

絕密★啟用前2023年高考數(shù)學(xué)考前信息測(cè)評(píng)卷05新高考地區(qū)專(zhuān)用（解析版）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】已知，解不等式，不等式等價(jià)于且，解得.所以.，故．故選：D2．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，故，故．故選：D3．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：令因此二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是：；故選：B.4．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得或，解得.由，解得，當(dāng)時(shí)，一定成立，反之，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．為了衡量星星的明暗程度，公元前二世紀(jì)古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮.1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為的星的亮度為.已知小熊座的“北極星”與大熊座的“玉衡”的星等分別為和，且當(dāng)較小時(shí)，，則“玉衡”與“北極星”的亮度之比大約為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，可得，.故選：B.6．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于函數(shù)，∵，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B、D錯(cuò)誤；又∵，且，故，C錯(cuò)誤；故選：A.7．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，，則，其中，且，所以，，所以在上單調(diào)遞減，故，即，故，設(shè)，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，因?yàn)椋?，故，?故選：A8．“阿基米德多面體”這稱(chēng)為半正多面體（semiregularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體.已知，則該半正多面體外接球的表面積為（

）A．18π B．16π C．14π D．12π【答案】A【詳解】如圖，在正方體中，取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，∴正方體的邊長(zhǎng)為，故，可得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)到該半正多面體的頂點(diǎn)的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【答案】BC【詳解】由已知可得，，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以在上的投影向量是，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，，所以在上的投影向量是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．、、兩兩互斥【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，，，，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，故，所以事件B與事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故、、兩兩互斥，D正確.故選：BD11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線(xiàn)與圓相交所得的弦長(zhǎng)為4B．的最大值為C．的面積的最大值為2D．當(dāng)最大時(shí)，的面積為1【答案】ABD【詳解】圓C：，即，所以圓C是以為圓心，以2為半徑的圓.對(duì)于A，直線(xiàn)MN的方程為，過(guò)圓心，所以直線(xiàn)MN與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為直徑4，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，，當(dāng)點(diǎn)P為MN的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)MN的距離為d，則，因?yàn)橹本€(xiàn)MN過(guò)圓心，所以當(dāng)時(shí)，最大為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)MP與圓C相切時(shí)，最大，不妨設(shè)，此時(shí)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．已知定義在上且不恒為的函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．對(duì)，有C．若，則D．若，則【答案】AD【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；由，所以B錯(cuò)誤；若，令，可得，則，可得，兩式相減得：，所以C錯(cuò)誤；令，可得，解得，令，則，所以，所以D正確．故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則______．【答案】##7.75【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得，，解方程得，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.14．某大學(xué)有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機(jī)抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生大約有_________人．【答案】【詳解】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生的人數(shù)為.故答案為：.15．晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個(gè)重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體心，且原子B與8個(gè)原子A均相切已知該晶胞的邊長(zhǎng)（圖（2）中正方體的棱長(zhǎng)）為，則當(dāng)圖（1）中所有原子（8個(gè)A原子與1個(gè)B原子）的體積之和最小時(shí)，原子A的半徑為_(kāi)___________．【答案】【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，則該正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)A原子的半徑為，B原子的半徑為，依題意，，即，于是8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和，令，求導(dǎo)得：，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和最小時(shí)，原子A的半徑為.故答案為：16．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，B重合），則下列命題中：①平面平面；②一定是銳角；③；④三棱錐的體積為定值．其中真命題的有__________．【答案】①③④【詳解】對(duì)于①，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，所以平面平面，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，易得，滿(mǎn)足，此時(shí)是直角，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，連接，如下圖所示;由正方體可知，且平面，平面，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以，即③正確；對(duì)于④，三棱錐的體積，又因?yàn)榈拿娣e是定值，平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，所以三棱錐的體積為定值,即④正確.故答案為：①③④解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知的最小正周期為．(1)求的值；(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范圍．【答案】(1)0(2)，【詳解】（1）∵，由函數(shù)的最小正周期為．即，得，∴，故；（2）∵，∴由正弦定理得，∴．∵，∴．∵，則.∵，∴，∴，∴，∴.18．在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以，，①則當(dāng)時(shí)，②①②得：，則，而當(dāng)時(shí)，，則，滿(mǎn)足上式．所以．（2）記，，.19．全國(guó)“兩會(huì)”召開(kāi)的一項(xiàng)重要意義在于將“兩會(huì)代表”從人民中得來(lái)的信息和要求進(jìn)行收集及整理，傳達(dá)給中央，“兩會(huì)代表”代表著廣大選民的利益，代表選民在“兩會(huì)”期間向政府有關(guān)部門(mén)提出選民的意見(jiàn)和要求．下表是2011年至2020年歷年全國(guó)政協(xié)提案的數(shù)量統(tǒng)計(jì)．年份2011201220132014201520162017201820192020年份代碼x12345678910提案數(shù)量y（單位：千件）5.7626.0695.6415.8755.8575.7695.215.365.4885.044(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與x之間的關(guān)系可否用線(xiàn)性回歸模型擬合？若能，求y關(guān)于x的一元線(xiàn)性回歸方程；（運(yùn)算結(jié)果精確到0.01）（若，則線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用直線(xiàn)擬合）(2)中央政府回應(yīng)2020年“兩會(huì)”的熱點(diǎn)議題“戰(zhàn)勝疫情”，以令世界驚嘆的中國(guó)速度、中國(guó)效率和中國(guó)奇跡，社會(huì)各階層、各行各業(yè)迅速投身戰(zhàn)“疫”行動(dòng)，團(tuán)結(jié)共進(jìn)、眾志成城．其中一個(gè)關(guān)鍵舉措是2021年全國(guó)各地全面展開(kāi)的疫苗接種．為方便市民合理安排疫苗接種，城市便民電子系統(tǒng)即時(shí)提供接種點(diǎn)相關(guān)信息，若某疫苗接種點(diǎn)上午和下午接種疫苗分別需要等待20分鐘和40分鐘，而甲、乙市民均在某日接種疫苗，且上午去接種疫苗的概率分別為，要使兩市民需要等待時(shí)間的總和的期望值不超過(guò)60分鐘，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．參考公式：相關(guān)系數(shù)，．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)能，(2)【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)?，根?jù)參考數(shù)據(jù)，所以相關(guān)系數(shù)，即，所以線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用直線(xiàn)擬合；由，所以，即y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸程為．（2）設(shè)甲、乙兩人需要排隊(duì)的總時(shí)間為，則的可能取值為，，，，所以的分布列為：406080P因此，可得，又，故實(shí)數(shù)p的取值范圍為．20．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)，斜率為k的直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)過(guò)定點(diǎn)，.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立整理得，則，即又，因?yàn)?，所以，所以所以，即整理得，即，此時(shí)則直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).21．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E是的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn)F．(1)求證：點(diǎn)F為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)G為棱上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)G到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：方法1：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊?所以，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).方法2：連接.因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊?所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍭CE，平面平面，所以.所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).（2）方法1：因?yàn)?，，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)，則，由，得，即，所以，則，所以點(diǎn)到平面的距離.方法2：連接，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所?在平面內(nèi)，由，可得，由勾股定理求出，，，在中由余弦定理得，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，由，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.22．已知．(1)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍，(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增