專題86空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運算2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考浙江）（講）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新高考·浙江）第八章空間向量與立體幾何專題8.6空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運算（講）【考試要求】1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3．掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示的運算.【高考預(yù)測】（1）空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.（2）運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.（3）應(yīng)用空間向量解決立體幾何問題.（4）一般不獨立命題．預(yù)測2022年高考會以簡單幾何體為載體，利用空間向量方法解決與平行、垂直有關(guān)的證明及空間角的計算問題．解題時要求有較強的運算能力.【知識與素養(yǎng)】知識點1．空間向量的線性運算1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量，其大小叫做向量的?；蜷L度．(2)幾種常用特殊向量①單位向量：長度或模為1的向量．②零向量：長度為0的向量．③相等向量：方向相同且模相等的向量.④相反向量：方向相反而模相等的向量．⑤共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量叫作共線向量或平行向量．⑥共面向量：平行于同一個平面的向量．2.空間向量的線性運算(1)空間向量的加減與數(shù)乘運算是平面向量運算的推廣．設(shè)a，b是空間任意兩向量，若，P∈OC，則，，.（2）向量加法與數(shù)乘向量運算滿足以下運算律①加法交換律：a＋b＝b+a.②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a+（b＋c）．③數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.④數(shù)乘結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a.(λ∈R，μ∈R)．【典例1】（2020·全國）如圖，在長方體中，()A． B． C． D．【答案】D【解析】在長方體中，故選D.【規(guī)律方法】用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立．知識點2．共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用(1)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a=λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一實數(shù)對x、y，使.(3)空間向量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空間的一個基底．推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z，使.其中x＋y＋z＝1.【典例2】（2021·全國）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意得出可證；（2）通過證明可得；（3）可得四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，即可證明.【詳解】（1）E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，，，，又E，F(xiàn)，G，H四點不共線，故E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，E，G分別是AB，CD的中點，.【總結(jié)提升】1.證明空間三點P，A，B共線的方法(1)eq\o(PA,\s\up16(→))＝λeq\o(PB,\s\up16(→))(λ∈R)；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→))(t∈R)；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))(x＋y＝1)．2．證明空間四點P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))＋xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OM,\s\up16(→))＋yeq\o(OA,\s\up16(→))＋zeq\o(OB,\s\up16(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up16(→))∥eq\o(AB,\s\up16(→))(或eq\o(PA,\s\up16(→))∥eq\o(MB,\s\up16(→))或eq\o(PB,\s\up16(→))∥eq\o(AM,\s\up16(→)))．知識點3．空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1．兩個向量的數(shù)量積(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).2．向量的坐標(biāo)運算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【典例3】（2021·四川省大竹中學(xué)高二月考（理））如圖，在平行六面體中，，，則（）A．1 B． C．9 D．3【答案】D【解析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，再利用求的模長.【詳解】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.【總結(jié)提升】1.空間向量數(shù)量積計算的兩種方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐標(biāo)法：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.2．空間向量數(shù)量積的三個應(yīng)用求夾角設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題知識點4．空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運算空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸，y軸，z軸．這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做坐標(biāo)原點，x軸，y軸，z軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸．由每兩個坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面．(2)右手直角坐標(biāo)系的含義：當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向，食指指出y軸的正方向時，中指指向z軸的正方向．(3)空間一點M的坐標(biāo)用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)．2．空間兩點間的距離公式設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2).【典例4】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點是，則點P到坐標(biāo)原點O的距離_____________．【答案】【解析】兩點關(guān)于y軸對稱，則兩點的橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以由點關(guān)于軸的對稱點是可得，.【規(guī)律方法】空間向量的坐標(biāo)運算（1）設(shè)i、j、k為兩兩垂直的單位向量，如果，則叫做向量的坐標(biāo)．（2）設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b?(λ∈R)，⑦a⊥b?.（3）設(shè)點M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，則【重點難點突破】考點1空間向量的線性運算【典例5】如圖，在空間四邊形中，，，．點在上，且，是的中點，則=()A.B.C.D.【答案】B【解析】由題，在空間四邊形，，，．點在上，且，是的中點，則．所以故選B．【總結(jié)提升】1.選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，求若干個向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和問題解決.【變式探究】如圖，在平行六面體中，為的交點．若，，則下列向量中與相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知，，故應(yīng)選．考點2共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用【典例6】若，，不共線，對于空間任意一點都有，則，，，四點（）A．不共面B．共面C．共線D．不共線【答案】B【解析】由已知可得，即，可得,所以，，共面但不共線，故，，，四點共面．【規(guī)律方法】1.在空間適當(dāng)選取三個不共面向量作為基向量，其它任意一向量都可用這一組基向量表示．2.中點向量公式，在解題時可以直接使用．3．證明空間任意三點共線的方法對空間三點P，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線.(1)；(2)對空間任一點O，；(3)對空間任一點O，．4．證明空間四點共面的方法對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面(1)；(2)對空間任一點O，；(3)對空間任一點O，；(4)∥(或∥或∥)．【變式探究】已知，，，，若，則________；若，，，四點共面，則__________．【答案】，．【解析】由題意得，，，∴，∴；若，，，四點共面，∴存在唯一的實數(shù)，使得，，∴，∴．考點3空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【典例7】已知半徑為的球內(nèi)切于正四面體，線段是球的一條動直徑是直徑的兩端點),點是正四面體的表面上的一個動點,則的取值范圍是______________________．【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長為，O為球心，由下圖可得在可知，，因為內(nèi)切球半徑為1，即，解得，所以而又由題意M，N是直徑的兩端點，可得,,由此可知，要求出的取值范圍，只需求出，的范圍即可．當(dāng)P位于E（切點）時，OP取得最小值1；當(dāng)P位于A處時，OP取得最大值3．綜上可得的最小值為11=0，最大值為91=8．則的取值范圍是[0，8]．再由，知取值范圍是故答案為：．【總結(jié)提升】1.當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進行應(yīng)用；2.當(dāng)異面直線所成的角為時，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來進行計算．應(yīng)該注意的是，，所以3.立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形，也可依據(jù)|a|＝eq\r(a2)轉(zhuǎn)化為向量求解．【變式探究】（2021·全國高一課時練習(xí)）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)最短時，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知平面，直線，故當(dāng)、最短時，平面，，再根據(jù)向量的關(guān)系計算即可得答案.【詳解】，，∴，，即:，；平面，直線，所以當(dāng)、最短時，平面，，為的中心，為線段的中點，如圖：又正四面體的棱長為1，，平面，，．故選：A．考點4空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運算【典例8】在空間直角坐標(biāo)系中的點，有下列敘述：①點關(guān)于橫軸(軸)的對稱點是；②點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為；③點關(guān)于縱軸(軸)的對稱點是；④點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為．其中錯誤的敘述個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】點關(guān)于橫軸的對稱點，故①錯；對于②，點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為，故②錯；對于③，點關(guān)于縱軸的對稱點是，故③錯；④正確．∴BE⊥PM，即PM⊥BE.【總結(jié)提升】1.求向量的數(shù)量積的方法：①設(shè)向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ；②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.根據(jù)已知條件，準(zhǔn)確選擇上述兩種方法，可簡化計算．2.求向量模的方法：①|(zhì)a|＝eq\r(a2)；②若a＝(x，y，z)，則|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).【變式探究】點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1DA．[-1,-14]B．[-12【答案】D【解析】以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；

則點A（1，0，0），C1∴PA?PC1=-x（1-x）-y（1-y）+0=x2-x+y2-y=(x-12)2+(y-故選D．【學(xué)科素養(yǎng)提升】轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決具體問題時，常把復(fù)雜的、生蔬的、抽象的、困難的、未知的問題化成簡單的、熟悉的、具體的、容易的、已知的問題來解決，這種數(shù)學(xué)思想叫轉(zhuǎn)化與化歸的思想．(1)“化曲為直”是解決立體幾何問題最基本和最常用的方法，解決的關(guān)鍵是在空間圖形展開后，弄清幾何體中的有關(guān)點、線在展開圖中的相應(yīng)位置關(guān)系．幾何體表面上兩點間的最小距離問題常常轉(zhuǎn)化為求其展開圖中的直線段長．(