專題01數(shù)列的概念及性質(zhì)

專題01數(shù)列的概念及性質(zhì)1．?dāng)?shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列，即an＋1>an遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列，即an＋1<an常數(shù)列各項都相等的數(shù)列，即an＋1＝an周期數(shù)列項呈現(xiàn)周期性變化擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項3．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．(1)列舉法：a1，a2，a3，…，an，…；(2)圖像法：數(shù)列可用一群孤立的點表示；(3)解析法(公式法)：通項公式或遞推公式．4．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項與它的序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an＝f(n)來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式．通項公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項)，且任意一項an與an－1(或其前面的項)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作數(shù)列的遞推公式．它是數(shù)列的一種表示法．注：并不是所有的數(shù)列都有通項公式，即使有通項公式也未必唯一．6．?dāng)?shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立．7．?dāng)?shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N＋的函數(shù)，即當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．考點一由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式【基本方法】由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．同時也可以使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的通項公式．(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征，如遞增時可考慮關(guān)于n為一次遞增或以2n，3n等形式遞增；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值的特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*來處理．【基本題型】[例1](1)數(shù)列eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)，eq\r(15)，…的一個通項公式an＝________．答案eq\r(4n－1)解析因為7－3＝11－7＝15－11＝4，即aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝4，所以aeq\o\al(2,n)＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝eq\r(4n－1)．(2)數(shù)列－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…的一個通項公式an＝________．答案(－1)neq\f(1,n(n＋1))解析這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an＝(－1)neq\f(1,n(n＋1))．(3)已知數(shù)列1，2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，則2eq\r(19)在這個數(shù)列中的項數(shù)是()A．16B．24C．26D．28答案C解析因為a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2)．令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26．(4)數(shù)列eq\f(2,3)，－eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，－eq\f(8,9)，…的第10項是()A．－eq\f(16,17)B．－eq\f(18,19)C．－eq\f(20,21)D．－eq\f(22,23)答案C解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號、分母、分子．很容易歸納出數(shù)列{an}的通項公式an＝(－1)n＋1·eq\f(2n,2n＋1)，故a10＝－eq\f(20,21)．(5)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝________．答案5n－4解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，歸納an＝5n－4．(6)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)＝________．答案61解析f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1．當(dāng)n＝6時，f(6)＝2×6×5＋1＝61．【對點精練】1．?dāng)?shù)列0，eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，…的一個通項公式為________．1．答案an＝eq\f(2(n－1),2n－1)(n∈N*)2．已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…，則數(shù)列{an}的一個通項公式是________．2．答案an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)解析各項的分母分別為21，22，23，24，…，易看出從第2項起，每一項的分子都比分母少3，且第1項可變?yōu)椋璭q\f(2－3,2)，故原數(shù)列可變?yōu)椋璭q\f(21－3,21)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，…，故其通項公式可以為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)．3．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應(yīng)取()A．19B．20C．21D．223．答案C解析a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21．故選C．4．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…，則2eq\r(5)是該數(shù)列的()A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項4．答案C解析由數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…的前三項eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)可知，數(shù)列的通項公式為an＝eq\r(2＋3(n－1))＝eq\r(3n－1)，由eq\r(3n－1)＝2eq\r(5)，可得n＝7．故選C．5．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項公式為________．5．答案an＝eq\f(nn＋1,2)解析由圖可知an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝eq\f(nn＋1,2)．6．把1，3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示)．則第7個三角形數(shù)是()A．27B．28C．29D．306．答案B解析觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的序號，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以第7個三角形數(shù)是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28．故選B．考點二數(shù)列的周期性【基本知識】周期數(shù)列：對于數(shù)列{an}，如果存在一個常數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)i恒有ai＝ai＋T成立，則稱數(shù)列{an}是周期為T的周期數(shù)列．周期數(shù)列的常見形式：(1)an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(2)an＋1＝anan＋2(n∈N*)；(3)an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)；(4)an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)；(5)三角函數(shù)型；【基本方法】解決數(shù)列周期性問題的方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項的值或者前n項的和．【基本題型】[例2](1)已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則{bn}的前2022項的和為()A．0B．1C．－5D．－1答案A解析∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1．∴{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0．∴S2022＝S337×6＝0．(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2022的值為()A．2B．1C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)答案C解析an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq\f(1,2)，由a4＝1，a5＝eq\f(1,2)，得a6＝eq\f(1,2)，由a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,2)，得a7＝1，由a6＝eq\f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得數(shù)列{an}是一個周期為6的周期數(shù)列，所以a2022＝a337×6＝a6＝eq\f(1,2)．(3)在一個數(shù)列中，如果對任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．答案28解析依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．(4)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2022＝()A．－1B．eq\f(1,2)C．1D．2答案A解析由a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，得a2＝eq\f(1,1－a1)＝2，a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1，a4＝eq\f(1,1－a3)＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(1,1－a4)＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2022＝a3×674＝a3＝－1．(5)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2022的值為()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)答案B解析因為a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，所以a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝2，故數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，故a2022＝a505×4＋2＝a2＝－3．(6)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sineq\f((n＋1)π,2)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2018＝()A．0B．2018C．1010D．1009答案C解析由a1＝1及an＋1－an＝sineq\f((n＋1)π,2)，得an＋1＝an＋sineq\f((n＋1)π,2)，所以a2＝a1＋sinπ＝1，a3＝a2＋sineq\f(3π,2)＝0，a4＝a3＋sineq\f(4π,2)＝0，a5＝a4＋sineq\f(5π,2)＝1，a6＝a5＋sineq\f(6π,2)＝1，a7＝a6＋sineq\f(7π,2)＝0，a8＝a7＋sineq\f(8π,2)＝0，…，可見數(shù)列{an}為周期數(shù)列，周期T＝4，所以S2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1010．【對點精練】1．已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，則a2021等于()A．－2B．－1C．1D．21．答案A解析由題意，數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an，且a1＝1，a2＝2，當(dāng)n＝1時，可得a3＝a2－a1＝2－1＝1；當(dāng)n＝2時，可得a4＝a3－a2＝1－2＝－1；當(dāng)n＝3時，可得a5＝a4－a3＝－1－1＝－2；當(dāng)n＝4時，可得a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1；當(dāng)n＝5時，可得a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1；當(dāng)n＝6時，可得a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2；……可得數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，所以a2021＝a336×6＋5＝a5＝－2．故選A．2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝2a1＝1，an＋1an－1＝an(n≥2)，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2020＝2B．a(chǎn)4＝a100C．S3＝eq\f(7,2)D．S30＝6S62．答案D解析因為an＋1an－1＝an(n≥2)，所以對任意的n∈N*有an＋6＝eq\f(an＋5,an＋4)＝eq\f(1,an＋3)，eq\f(1,an＋3)＝eq\f(an＋1,an＋2)＝an，所以數(shù)列{an}為周期為6的周期數(shù)列，又a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，a5＝1，a6＝eq\f(1,2)，所以a2020＝a4＝2，a100＝a4，故A，B正確；易知S3＝eq\f(1,2)＋1＋2＝eq\f(7,2)，故C正確；易知S30＝5S6，所以D不正確．選D．3．在數(shù)列{an}中，若對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100＝()A．132B．299C．68D．993．答案B解析因為對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an，所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列，且周期為3．故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a100＝299．故選B．4．已知數(shù)列a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2)．則a2022＝________．4．答案－1解析a1＝2，a2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以數(shù)列{an}滿足an＝an＋3，所以a2022＝a3＝－1．5．(2014·全國Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________．5．答案eq\f(1,2)解析將a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再將a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2)．6．已知數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，則下列各數(shù)是{an}的項的有()A．－2B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,2)D．36．答案BD解析∵a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，∴a2＝eq\f(1,1－a1)＝eq\f(2,3)；a3＝eq\f(1,1－a2)＝3；a4＝eq\f(1,1－a3)＝－eq\f(1,2)，∴數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且前3項分別為－eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，3．故選BD．7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則a1·a2·a3·…·a2022＝()A．－6B．6C．－3D．37．答案A解析∵a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，∴a2＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，…，∴an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2022＝(a1a2a3a4)505×a1a2＝1×2×(－3)＝－6．故選A．8．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝eq\f(\r(3)＋an,1－\r(3)an)，則S2022＝________．8．答案0解析∵a1＝0，an＋1＝eq\f(\r(3)＋an,1－\r(3)an)，∴a2＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，a3＝eq\f(\r(3)＋\r(3),1－\r(3)×\r(3))＝eq\f(2\r(3),－2)＝－eq\r(3)，a4＝eq\f(\r(3)－\r(3),1＋\r(3)×\r(3))＝0，即數(shù)列{an}的取值具有周期性，周期為3，且a1＋a2＋a3＝0，則S2022＝S3×674＝0．9．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1，))若a1＝eq\f(3,5)，則a2020＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)9．答案D解析由a1＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，得a2＝2a1－1＝eq\f(1,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以a3＝2a2＝eq\f(2,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以a4＝2a3＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)＝a1．由此可知，該數(shù)列是一個周期為4的周期數(shù)列，所以a2020＝a504×4＋4＝a4＝eq\f(4,5)．10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，則a2022＝________．10．答案0解析∵a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1＝(an－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2022＝a2＝0．考點三數(shù)列的單調(diào)性【基本方法】判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法1．作差(或商)法．(1)作差比較法an＋1－an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法an>0時，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．a(chǎn)n<0時，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．2．目標(biāo)函數(shù)法寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．【基本題型】[例3](1)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．“任意正整數(shù)n，均有an＞0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析∵“an＞0”?“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”，∴“an＞0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件．如數(shù)列{an}為－1，1，3，5，7，9，…，顯然數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零，∴“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”不能推出“an＞0”．∴“an＞0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的不必要條件．∴“an＞0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．(2)已知數(shù)列{an}的通項an＝eq\f(na,nb＋c)(a，b，c都是正實數(shù))，則an與an＋1的大小關(guān)系是()．A．a(chǎn)n＞an＋1B．a(chǎn)n＜an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1D．不能確定答案B解析an＝eq\f(na,nb＋c)＝eq\f(a,b＋\f(c,n))，∵y＝eq\f(c,n)是減函數(shù)，∴y＝eq\f(a,b＋\f(c,n))是增函數(shù)，∴an＜an＋1．(3)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(n,3n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列D．常數(shù)列答案A解析an＋1－an＝eq\f(n＋1,3n＋4)－eq\f(n,3n＋1)＝eq\f(1,3n＋13n＋4)>0，∴an＋1>an，∴選A．(4)(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,4)，則下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn＝eq\f(1,4n)B．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,4n(n＋1))C．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))為遞增數(shù)列答案AD解析∵an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)．又Sn≠0，故eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝4(n≥2)，即數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項為eq\f(1,S1)＝4，公差為d＝4的等差數(shù)列，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))也是遞增數(shù)列，∴eq\f(1,Sn)＝4＋4(n－1)＝4n，即Sn＝eq\f(1,4n)，故A，D正確；又當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4n)－eq\f(1,4(n－1))＝－eq\f(1,4n(n－1))，且a1＝eq\f(1,4)，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，n＝1，,－\f(1,4n(n－1))，n≥2，))數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，故B，C錯誤．故選AD．(5)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))C．(1，3)D．(2，3)答案D解析結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要使數(shù)列{an}遞增，則應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－3<a8＝a8－6，))解得2<a<3．(6)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若數(shù)列{Sn}(n≥7，n∈N*)為遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為________．答案(－16，＋∞)解析當(dāng)n≥7時，數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，設(shè)Sn＋1＞Sn，即Sn＋1－Sn＝an＋1＞0，∴an＋1＝2(n＋1)＋λ＞0，則λ＞－2n－2．又∵n≥7，∴－2n－2≤－16，即λ＞－16．(7)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．答案(－3，＋∞)解析由an＋1＞an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又∵通項公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3．【對點精練】1．對于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件1．答案B解析當(dāng)an＋1>|an|(n＝1，2，…)時，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}為遞增數(shù)列．當(dāng){an}為遞增數(shù)列時，若該數(shù)列為－2，0，1，則a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立．綜上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．2．在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n＋2,n＋1)，則{an}()A．是常數(shù)列B．不是單調(diào)數(shù)列C．是遞增數(shù)列D．是遞減數(shù)列2．答案D解析在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n＋2,n＋1)＝1＋eq\f(1,n＋1)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得{an}是遞減數(shù)列．3．(多選)下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)，…B．sin

eq\f(π,7)，sin

eq\f(2π,7)，sin

eq\f(3π,7)，…，sin

eq\f(nπ,7)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…，－eq\f(1,2n－1)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)，…3．答案CD解析選項C，D既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列．4．已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－3a)·n＋10a，n≤6，,an－7，n>6))(n∈N*)，若對任意的n∈N*，均有an>an＋1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，