新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯題型第19講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值（原卷版）

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)圖】函數(shù)極值點(diǎn)條件函數(shù)的極值函數(shù)極值點(diǎn)條件函數(shù)的極值求函數(shù)極值函數(shù)的極值和最值求函數(shù)極值函數(shù)的極值和最值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】1.函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0及其附近有定義，（1）若對于SKIPIF1<0附近的所有點(diǎn)，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個極大值，記作SKIPIF1<0；（2）若對SKIPIF1<0附近的所有點(diǎn)，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個極小值，記作SKIPIF1<0.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.2、求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；③求方程SKIPIF1<0的根；④檢查SKIPIF1<0在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)3、函數(shù)的最值1.函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有最大值和最小值；在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)的函數(shù)SKIPIF1<0不一定有最大值與最小值.如SKIPIF1<0.注意：①函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。②函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個。2.通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0有定義，在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；（2）求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的根；（3）求在SKIPIF1<0內(nèi)使SKIPIF1<0的所有點(diǎn)的函數(shù)值和SKIPIF1<0在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值，最小者為函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01利用倒數(shù)解決函數(shù)的極值等問題1.已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0處取得極值，試求SKIPIF1<0的值，并求SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；【變式1-1】設(shè)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【變式1-3】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)閰^(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)的圖如圖所示，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)的極小值有（）A．1個B．2個C．3個D．4個考點(diǎn)02利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題2、已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，若SKIPIF1<0，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0成立．【變式2-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),SKIPIF1<0.(1)若曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在它們的交點(diǎn)(1,SKIPIF1<0)處具有公共切線,求SKIPIF1<0的值;(2)當(dāng)SKIPIF1<0時,求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值.【變式2-2】已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－SKIPIF1<0與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。【變式2-3】已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若b＝c-a(實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是SKIPIF1<0，求c的值.考點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)在研究實(shí)際問題中最值問題的應(yīng)用4.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為SKIPIF1<0立方米，且SKIPIF1<0．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為SKIPIF1<0千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為SKIPIF1<0千元．(1)寫出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的SKIPIF1<0．【考點(diǎn)易錯】1、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)，滿足SKIPIF1<0，且對任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，已知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有（）A．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是1，最小值是SKIPIF1<0B．函數(shù)SKIPIF1<0是周期函數(shù)，且周期為2C．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增D．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<02、.已知函數(shù)f(x)=x+2x3、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸平行，求SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象恒在SKIPIF1<0軸上方，求SKIPIF1<0的最大值.【鞏固提升】1、已知SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)SKIPIF1<0的極小值為0，則SKIPIF1<0的值為A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．22、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為A．2 B．3 C．4 D．63、若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)SKIPIF1<0時，(i)求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(ii)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：對任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．5、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0存在極值，對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．6、已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，總有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(2)對于SKIPIF1<0中任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.7、已知函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)求a；(2)證明：SKIPIF1<0存在唯一的極大值點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.8、已知函數(shù)：SKIPIF1<0(I)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最小值；(II)對于任意的SKIPIF1<0都存在唯一的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．9、已知函數(shù)SKIPI