新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第18講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

第18講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系我們知道，如果函數(shù)SKIPIF1<0在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說SKIPIF1<0在這一區(qū)間具有單調(diào)性，先看下面的例子：函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示?？紤]到曲線SKIPIF1<0的切線的斜率就是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)，從圖象可以看到：在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)，切線的斜率為正，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為增函數(shù)；在區(qū)間（－∞，2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為減函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；③若恒有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若SKIPIF1<0在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）；若SKIPIF1<0在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）．【微點(diǎn)撥】1.因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上SKIPIF1<0，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)在某區(qū)間上SKIPIF1<0，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減。2.若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使SKIPIF1<0，在其余點(diǎn)恒有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）。即在某區(qū)間上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。3.SKIPIF1<0在某區(qū)間上為增函數(shù)SKIPIF1<0在該區(qū)間SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在某區(qū)間上為減函數(shù)SKIPIF1<0在該區(qū)間SKIPIF1<0。在區(qū)間(a,b)內(nèi)，SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）是SKIPIF1<0在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：SKIPIF1<0而f(x)在R上遞增.4.只有在某區(qū)間內(nèi)恒有SKIPIF1<0，這個(gè)函數(shù)SKIPIF1<0在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).5.注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)；（2）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為減函數(shù)；（3）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為常數(shù)函數(shù)。【微點(diǎn)撥】（1）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；（3）在函數(shù)SKIPIF1<0的定義域內(nèi)解不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（4）確定SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間?；蛘撸毫頢KIPIF1<0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即SKIPIF1<0的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)SKIPIF1<0的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)SKIPIF1<0的符號(hào)?！疚Ⅻc(diǎn)撥】1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。2.求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確。【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1、確定函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間.【變式1-1】確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3【變式1-2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；【變式1-3】已知函數(shù)，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間并說明其單調(diào)性?！咀兪?-4】求函數(shù)SKIPIF1<0（a∈R）的單調(diào)區(qū)間?？键c(diǎn)二：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性例2．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：函數(shù)SKIPIF1<0是單調(diào)遞減函數(shù).【變式2-1】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：函數(shù)SKIPIF1<0是單調(diào)遞減函數(shù).【變式2-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0,討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性. 【變式2-3】設(shè)SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性.【變式2-4】已知函數(shù)，SKIPIF1<0,a＞0，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性.考點(diǎn)三：已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍例3．若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【變式3-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，求a的取值范圍?！咀兪?-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【變式3-3】設(shè)SKIPIF1<0恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.【變式3-4】已知f(x)=x2+1,g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x),試問：是否存在實(shí)數(shù)，使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù).【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)，若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，8) B．(－∞，16]C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)3.已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04.函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)5.若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______．6.已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．7.已知向量a=（SKIPIF1<0，x+1），b=（1―x，t），若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（―1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍?！眷柟烫嵘?.設(shè)函數(shù)f＇(x)是奇函數(shù)f(x)（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf＇(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是（）A．(－∞,－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1,+∞)C．(－∞,－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)2．函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是 （）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．（SKIPIF1<0，e）3.設(shè)SKIPIF1<0在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則不等式SKIPIF1<0的解集是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在R上的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06.已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0