新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第08講 函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

第08講函數(shù)的單調(diào)性【基礎知識全通關】1．函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，如果對于定義域SKIPIF1<0內(nèi)某個區(qū)間SKIPIF1<0上的任意兩個自變量的值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，都有SKIPIF1<0，那么就說函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)當SKIPIF1<0時，都有SKIPIF1<0，那么就說函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)圖象描述自左向右看，圖象是上升的自左向右看，圖象是下降的設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)；若有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式.2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)SKIPIF1<0在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間SKIPIF1<0叫做函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間．注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是SKIPIF1<0”與“函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)”是兩個不同的概念，注意區(qū)分，顯然SKIPIF1<0.（4）函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)SKIPIF1<0分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)．3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若SKIPIF1<0均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則SKIPIF1<0也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的單調(diào)性相同；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)SKIPIF1<0在公共定義域內(nèi)與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調(diào)性相反；（4）函數(shù)SKIPIF1<0在公共定義域內(nèi)與SKIPIF1<0的單調(diào)性相同；（5）奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；（6）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：①SKIPIF1<0的單調(diào)性：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的單調(diào)性：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．4．函數(shù)的最值前提設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，如果存在實數(shù)SKIPIF1<0滿足條件（1）對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（3）對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（4）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0結(jié)論SKIPIF1<0為最大值SKIPIF1<0為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.5、判斷函數(shù)的單調(diào)性1．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號，判斷．利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性時，應根據(jù)所給抽象關系式的特點，對SKIPIF1<0或SKIPIF1<0進行適當變形，進而比較出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小．（2）利用復合函數(shù)關系，若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”．（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減．（4）導數(shù)法：利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性．（5）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.2．在利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先應注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．6、函數(shù)單調(diào)性的應用函數(shù)單調(diào)性的應用主要有：（1）由SKIPIF1<0的大小關系可以判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系，也可以由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系判斷出SKIPIF1<0的大小關系．比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，此時應將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值．（4）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．7、函數(shù)最值的求解1．利用單調(diào)性求最值．應先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值．若函數(shù)在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0；若函數(shù)在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0.2．求函數(shù)的最值實質(zhì)上是求函數(shù)的值域，因此求函數(shù)值域的方法也用來求函數(shù)最值.3．由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對應不同的解析式，因此應先求出分段函數(shù)在每一個子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最小值.4．求函數(shù)最值的方法還有數(shù)形結(jié)合法和導數(shù)法.【知識拓展】1.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.2.“對勾函數(shù)”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].【考點研習一點通】考點01單調(diào)性的判定和證明1、下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0，證明函數(shù)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.考點02：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減4、函數(shù)f(x)=xA.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)考點03：利用單調(diào)性比較大小5.設函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06、定義在實數(shù)集SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是增函數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系正確的是（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點04：利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍7.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8.【多選題】（2021·湖南長沙市·長沙一中高二月考）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若對任意的SKIPIF1<0[t，t+1]，不等式SKIPIF1<0恒成立，則整數(shù)t的取值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．3 D．5考點05：利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題9.【多選題】已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列x的范圍滿足不等式SKIPIF1<0的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010、若定義在SKIPIF1<0的奇函數(shù)f(x)在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足SKIPIF1<0的x的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點06：函數(shù)的單調(diào)性和最值（值域）問題11.若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．有最大值，但無最小值 B．既有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值 D．既無最大值，也無最小值12.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值是_____.考點07：抽象函數(shù)的單調(diào)性問題13.（2021·海南高三其他模擬）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的解集為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<014.設f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當x>0時，0<f(x)<1.求證：(1)f(0)＝1；(2)x∈R時，恒有f(x)>0；(3)f(x)在R上是減函數(shù)．【考點易錯】易錯01函數(shù)的單調(diào)性1、下列函數(shù)定義域為SKIPIF1<0且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0易錯02單調(diào)性的證明2、已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）判斷函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.3、定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足：對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04、已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果對于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）解不等式SKIPIF1<0.易錯03利用單調(diào)性求最值5、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若在區(qū)間SKIPIF1<0上，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是．6、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值．易錯04：抽象函數(shù)的單調(diào)性問題7.（2020·上海高三專題練習）函數(shù)的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：在上是單調(diào)增函數(shù)；（Ⅲ）若，且，求證：.8．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，對任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.【鞏固提升】1.【多選題】（2021·全國高一課時練習）設函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．y=SKIPIF1<0在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y=SKIPIF1<0SKIPIF1<0在R上為增函數(shù) D．y=SKIPIF1<0f(x)在R上為減函數(shù)2.已知fx=1+2x?xA.在區(qū)間?2,1上單調(diào)遞增B.在0,2上單調(diào)遞增C.在?1,1上單調(diào)遞增D.在1,2上單調(diào)遞增3．下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04.設函數(shù)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0（）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減5.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+SKIPIF1<0）上單調(diào)遞增的是A．SKIPIF1<0 B．y=SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06.設SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07.若定義在SKIPIF1<0的奇函數(shù)f(x)在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足SKIPIF1<0的x的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．9.下列函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010.已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則下列不等式一定成立