2023年高考數(shù)學一輪復習藝體生高頻考點專用復習講義專題18 直線與方程【藝體生專供-選擇填空搶分專題】2024年高考高頻考

【藝體生專供一選擇填空搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考高頻考點題型精講+精練（新高考通用）

專題18直線與方程

一、考向解讀

考向：高考中直線與方程一般不直接考查，而是結(jié)合解析幾何中圓錐曲線的內(nèi)容考查，

基礎考點是直線的切斜角、斜率、方程和位置關系，以及相關的距離公式等。

考點：直線的斜率，直線的方程、直線平行和垂直

導師建議：掌握直線的斜率和傾斜角之間的關系，了解直線的斜截式、點斜式和一般式

方程！

二、知識點匯總

1.直線的斜率

（I）二條直線傾斜角。（其中。工90。）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字

母k表示，即Z=tana.

（2）八21sA（4（x，y）、鳥（W，%））.

X2~X\

2.直線的五種方程

（I）點斜式丁-弘=以工-玉）（直線/過點6（玉,凹），且斜率為左）.

（2）斜截式丁二丘+63為直線/在y軸上的截距）.

（3）一般式Ar+B），+C=0（其中A、B不同時為0）.

y-V.X-X.

（4）兩點式----=-----（丁產(chǎn)％）（6區(qū)，凹）、鳥（七，%）（工產(chǎn)七））.

%一,工2一X

（5）截距式2+；=1（々、。分別為直線的橫、縱截距，久匕工0）

ab

3.兩條直線的平行和垂直

(1)若4:y='x+4,12:y=#/+62

①1111120kl=GM=?；?、4斜率都不存在，40生；

(2)/j1/2<=>k、k?=-1.

（2）若/|:AX+8［），+G=0,4：A2x+B2y+C2=0,

fA8,—A，4=0

①,、；

'-14。2-4。尸0或。自一。28戶0

②卬2OA4+M&=0；

5.點到直線的距離

.|Axn+By（}+C\

d=}2L（點。（。，）'。），直線/：AY+8），+C=°）.

yJA~+B~

【常用結(jié)論】

1.兩點間距離公式

點A（N，y）到點8（々，%）的距離d為的距離d為d=而荔百m

2.兩平行線間的距離公式

兩平行直線4：加+8.v+G=0,《：平+By+C?=0間的距離d為d=客"

3.設4：Ax+外+￡=。，/2：V+B2y+C2=O（A2,層，&工0）是兩條直線，則有:

⑴今瞪十04和4平行;

C

為B22

（2）44+勺與=0=4和垂直.

三、題型專項訓練

目錄一覽

①直線的傾斜角和斜率

②直線的方程

③直線的平行

④直線的垂直

⑤與直線相關的距離公式

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎

①直線的傾斜角和斜率

1.已知點時倒,6）,點N（l,26）,則直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.135。

【答案】B

【分析】先由"（0,6）,即,2網(wǎng)求斜率，再求傾斜角.

（詳解】設直線MN的斜率為七則女="；二￡_=G.令直線MN的傾斜角為。，則tane=G,0W，＜%,

_n

6=5.

故選：B

2.若直線/經(jīng)過坐標原點和（3,-3）,則它的傾斜角是（）

A.-45°B.45°C.135°D.45。或135。

【答案】C

【分析】求出直線/的斜率，進而可求得該直線的傾斜角.

【詳解】由題意可知，直線/的斜率為=

設直線/的傾斜角為凡則0。4。4180°,顯然"90。，所以tan9=-1,得0=135。.

故選：C.

3.已知經(jīng)過兩點（〃?,-2）和（3,2間的直線的傾斜角為手，則〃?的值為（）

A.—B.—C.—5D.—1

33

【答案】C

【分析】根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，根據(jù)過兩點的斜率公式列式求解.

【詳解】因為直線的傾斜角為與，所以該直線的斜率為tan==-l.

44

所以迫士盤=一解得〃7=-5.

故選:C.

4.如圖,已知直線444的斜率分別為4，占山，則（）

C.&<&<尤D.仁<%<々2

【答案】D

【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關系求解.

【詳解】解：設直線444的傾斜角分別為四，%，%，

由題圖知，直線4的傾斜角四為鈍角，.??仁<。.又直線44的傾斜角見。3均為銳角，且%>%，

0<ky<k2r<%<k2.

故選：D.

5.設x,y為實數(shù)，已知直線的斜率4=2,且A（3,5）,8（x,7）,C（Ty）是這條直線上的三個點，則x+y=

（）

A.4B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】由已知A（3,5）,網(wǎng)為7）,。（-1,），）是斜率攵=2直線上的三個點,進而結(jié)合斜率公式，由鮑=晨=2,

得到關于x,），的方程，解方程即可得答案.

【詳解】因為A（3,5）,8（乂7）,C（-l,y）是斜率A=2直線上的三個點，

則心=加=2,所以上|=上二=2,解得x=4,>'=-3.貝!x+）=l.

x-3-1-3

故選：D.

6.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖

是間中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個針的間距

|平浦（/=1,2,…，9）均為3.8m,拉索下端相鄰兩個針的間距|4九|（/=1,2,…，9）均為15m.最

短拉索的針A，滿足|OR|=60m,|（M|=80,則最長拉索所在直線的斜率約為（）（結(jié)果保留兩位

有效數(shù)字)

?■

?三

?：

?餐

?：

：

當

。

小

小

橋

O面O

A.±0.47B.±0.45C.±0.44D.±0.42

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，建立坐標系，求出點A。，兒的坐標，再利用斜率坐標公式及對稱性求解作答.

【詳解】依題意，以直線4。用。為x軸，直線《％為y軸建立平面直角坐標系，如圖，

顯然|OA°|=80+9xl5=215(m),\OPW|=60+9x3.8=94.2(m),因此點兒)(215,0),%(0,94.2),

942-0

直線/片的斜率為--f。-0.44,由對稱性得直線為島的斜率為0.44,

U—215

所以最長拉索所在直線的斜率約為±0.44.

故選：C

②直線的方程

7.直線)，=Gx+l的傾斜角為()

A.60B.-60C.30D.-30

【答案】A

【分析】利用直線斜率和傾斜角的關系求解.

【詳解】解：設直線y=6r+l的幀斜角為。，因為直線丫=6'+1的斜率為G，

所以tana=G，又04avl80,所以a=60,故選：A

8.傾斜角為135°,在)，軸上的截距為-1的直線方程是()

A.x-=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0

【答案】D

【分析】先求出直線的斜率，再利用在y軸上的截距是-1,用斜截式寫出直線方程.

【詳解】,??直線傾斜角是135。，???直線的斜率等于-1,

???在y軸上的截距是?1,由直線方程的斜截式得：y=-lxx-1,即y=?x?L

故選：D.

9.直線/：X-2)，+3=0的斜率和在式軸上的截距分別為()

A.g,3B.?-3C.——?3D.——>—3

【答案】B

【分析】由x-2y+3=0可得y=據(jù)此可得答案.

【詳解】x-2.y+3=0o)，=[+。，則直線斜率為9

22乙

又令產(chǎn)0,則：+1=0nX=-3,故直線在x軸上的截距分別為-3?

故選：B

10.經(jīng)過點尸(-1,0)且傾斜角為60。的直線的方程是()

A.-75A-y-1=0B.\/3A->1+6—0

C.x/3x-y-x/3=OD.x-百），+1=0

【答案】B

【分析】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程；

【詳解】由傾斜角為60。知，直線的斜率攵=6,因此，其直線方程為)，-0=6(I+1),即百x-y+石=()

故選：B

11.過點(2,1)和(1,2)直線方程是()

A.y=-x+3B.y=-x+lC.y=x-\D.y=x-3

【答案】A

【分析】先利用斜率公式求得直線的斜率，再利用點斜式即可得解.

【詳解】因為直線過點(2,1)和(1,2),

，一1

所以我=「7=-1,所以直線方程為y—2=—lx(x—l),即),=-x+3.

1—2

故選：A.

12.把直線y=2x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn);，再向左平移1個單位，所得的直線方程是()

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)角度求旋轉(zhuǎn)后的直線方程，再由平移方向和距離求平移后的方程.

【詳解】直線y=2x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)直線仍然過原點，斜率變?yōu)?；，直線方程為

再向左平移1個單位，所得的直線方程為)，=-；(、+1),即y=-9-；.

故選：B

13.已知直線1-2)，+，=0經(jīng)過點(2「1),則該直線在丁軸上的截距為()

A.；B.——C.2D.—2

【答案】D

【分析】將點(2,-1)代入方程得出/,進而由x=0得出所求截距.

【詳解】因為直線工-2)，+/=()經(jīng)過點(2,-1),所以2+2+E0,解得/=

所以直線方程為X-2)，-4=0,令X=0,得產(chǎn)-2.

故選：D

14.直線限+)，+2=0的傾斜角及在,，軸上的截距分別是()

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

【答案】C

【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.

【詳解】直線\/ir+y+2=0化成斜截式y(tǒng)=-2,

可知直線的斜率火=-6,故傾斜角為120。，直線在y軸上的截距為-2,

故選：C

15.直線(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0恒過定點()

A.(-1,3)B.(3.-1)C.(3,1)D.(1,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)直線系方程求解即可.

【詳解】將(2，〃+1)%+(〃？+1)),—7〃？-4=?；癁?2工+),-7)〃？+(工+),—4)=0,

聯(lián)立|2x+.v:7"1,得即直線(2〃?+l)x+(5+1)尸75-4=0過定點(3,1).

x+y-4=o[)'=1

故選：C

16.設直線at+力+c=0(/"0)的傾斜角為。，且sina+cosa=0,則4,〃滿足的關系為()

A.a+b=\B.a-b=\C.a+b=0D.a-b=0

【答案】D

【分析】由直線方程可得斜率，得至hana=-￡,結(jié)合同角三角函數(shù)關系可知=-1,由此可整理得到結(jié)

bb

果.

【詳解】由"+勿+c=0（力工0）得:.=曰￥，.?.tana=_Q,

bbb

又sina+cosa=0,/.tana=-l,即一處二-1,整理可得：a-b=0.

h

故選：D.

③直線的平行

17.直線2i+ay+4=0與直線（〃-1?+），+2=（）平行，則。的值為（）

A.a=（）B.a=—\C.a=2D.a=-1或a=2

【答案】B

【分析】兩直線平行或重合，4與-44=（）,解方程并驗證是否重合即可.

【詳解】直線2x+a），+4=0與直線（a-l）x+y+2=0平行或重合時，

得2x1—。（。―1）=0,解得。=7或々=2,當。=2時，兩直線重合，不成立，所以。=一1.

故選：B.

18.已知直線4：2x+@_3=（）與&：W_l）x+），+l=0,若“〃2,則”=（）

A.2B.1C.2或-1D.-2或1

【答案】C

【分析】由兩直線平行的等價條件，即可得到本題答案.

2a-3

【詳解】因為/他，所以‘7=?工一，解得。=2或〃=-1.

a-\11

故選：C

【點睹】本題主要考查利用兩直線平行的等價條件求值.

19.已知直線4s+2），=0與直線4：x+（a+l）），+4=O平行，則實數(shù)〃的值為（）

2

A.-2B.-C.1D.-2或1

【答案】D

【分析】由兩直線平行的條件直接列式求解，注意檢驗是否重合.

【詳解】由。3+1）-2=0,解得“=—2或。=1,經(jīng)過驗證滿足題意.

故選：D.

20.已知直線[：*+2y-2=0與直線，2：5%+G〃+3)y-5=0,若I1〃4，則加二()

A.-5B.2C.2或-5D.5

【答案】A

【分析】解方程〃K，〃+3)-2X5=0,再檢驗即得解.

【詳解】解：若KO>n(m+3)-2x5=nr+3m-10=(m-2)(m+5)=0,

所以〃?=2或切=-5.當〃?=2時，《4重合，不符合題意，所以舍去；當用=-5時，符合題意.

故選：A

21.“直線2x+a-v-3=0與直線ax+2y+5=0相互平行”是“。=2”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】先通過直線平行的判斷公式求出心再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.

【詳解】因為直線23+少-3=。與直線or+2)，+5=0相互平行，

則2x2=axa,解得。=±2,又當。=±2時，兩直線均不重合，故。=±2,

所以“直線2x+ay-3=。與直線曲+2)，+5=。相互平行”是“〃=2”的必要不充分條件.

故選：C.

22.已知直線4：(3+m)x+4y=5-3冽,[:2x+(5+m)y=8,則“m=一7”是“《〃f’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行可求得實數(shù)機的值，進而判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若"小，貝！|(〃2+3)(，〃+5)=8,即〃?2+8〃?+7=0,解得〃?=-1或-7.

當/〃=-1時，直線4的方程可化為x+2)，=4,直線4的方程可化為x+2y=4,兩直線重合，不合乎題意;

當〃?=-7時，直線4的方程可化為2x-2y+13=0,直線乙的方程可化為“-丁-4=0,

此時，兩直線平行，合乎題意.因此，“小=-7”是“/J%”的充分必要條件.

故選：C.

④直線的垂直?

23.已知直線I：(3a+2)x+(o-l).y-2=。和4：(〃一l)x+y+l=O互相垂直，則〃的值為()

A.1B.-1C.§土回D.1或-1

2

【答案】D

【分析】利用直線垂直的公式計算即可.

【詳解】直線4：(3a+2)x+(a-l)y-2=。和4：(a-l)x+y+l=O互相垂直，

(3〃+2)(a-l)+(a-1)=0,解得々=1或。=一］.

故選：D.

24.“，〃=；”是“直線(〃7+1)X+2〃D：+3=()與直線(加一l)x+(〃?+l)y-l=0垂直”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】根據(jù)直線垂直的等價條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】若直線(m+l)x+2g，+3=0與直線(加-1口+(〃?+1))，-1=0相互垂直，

貝+(所1)+2〃?(，〃+1)=0,即(加+1)(3所1)=0,解得切=一1或帆=g,

則“,〃=是“直線(切+l)x+2m)，+3=0與直線(〃I)x+(川+1))，-1=()相互垂直”的充分不必要條件，

故選：B.

【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線垂直的等價條件建立方程關系求出〃，的值是

解決本題的關鍵，屬于中檔題.

25.“〃=一2”是“直線(。-1■+(片-1)〉+1=0與直線依-2)，-1=0垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用直線一般式的垂直公式列方程求出。，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.

【詳解】若直線(。-1)1+(/-1”+1=0與直線?-2)，-1=0垂直，

解得a—l或0一-2,又a—l時，直線(al)xI(/1))，"=。不存在，所以〃一一2,

故是“直線（。-1）%+（〃2-1）），+1=0與直線以-2），-1=0垂直”的充要條件，

故選：C.

26.已知直線/的傾斜角為,，直線4經(jīng)過點A（3,2）和B（?T）,且直線/與《垂直，”的值為（）

A.1B.6C.0或6D.0

【答案】D

【分析】求出直線/與4的斜率，利用兩個斜率乘積等于T即可求解.

【詳解】因為直線/的傾斜角為手，所以直線/的斜率為tan^=-l,且/與4垂直，

所以直線4斜率存在，

由經(jīng)過點4（3,2）和8（“-1）,所以直線，斜率為土所以"=],解得：。=0,

。-3a-3

故選：D

27.直線2m一+\，-2=0與直線工-（/-3）），+2=0互相垂直，且兩直線交點位于第三象限，則實數(shù)〃的值為

（）

A.1B.3C.—1D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出關于a的方程，求得其值，結(jié)合兩直線交點在第三象限，即可確定答案.

【詳解】由直線2公+y-2=0與直線」-（。2-3?+2=0互相垂直,

可得2。-（/-3）=0,解得〃=T或3,

當。=3時，聯(lián)立6x+V—2=0,解得交點坐標為（S10，914）,不合題意；

x-o,y+2=03737

-2x4-y-2=062

當〃=-1時，聯(lián)立0,解得交點坐標為（-士-令，合乎題意，故實數(shù)a的值為-1,

x+2y+2=055

故選:C

⑤與直線相關的距離公式

28.坐標原點。到直線/：x+y+l=。的距離是（）

A.V2B.2C.；D.—

22

【答案】D

【分析】使用點到直線的距離公式求解.

【詳解】o到直線|：“』i=o的距離K）：°十|L坐.

Vl*2+I22

故選：D

29.若點P(3/)到直線，:3x+4y+2=。的距離為()

A.2B.3C.-D.4

2

【答案】B

【分析】直接使用點到直線的距離公式即可.

【詳解】由點到直線的距離公式可得d=2凄?=3,

故選：B.

30.若點P(L1)到直線X8s6+ysin&=2的距離為4則d的最大值為()

A.2+V2B.2C.2-V2D.2+2直

【答案】A

【分析】由點到直線距離公式求出距離d,由三角恒等變換化為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函

數(shù)性質(zhì)、絕對值的定義得最大值.

【詳解】由題意“=母隼絲g=&sin@+f)-2,易知sin(e+g)=-l時，4a=夜+2.

Vcos26>+sin26>44

故選：A.

31.已知直線/：)，=左(工-2)+2,當攵變化時，點網(wǎng)-1,2)到直線/的距離的取值范圍是()

A.[0,2)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)

【答案】D

【分析】確定線/：y=k(x-2)+2過定點A(2,2),且不與X軸垂直，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

【詳解】由題意知直線/：y=%(."2)+2過定點4(2,2),且不與％軸垂直，

當直線/：)=&"-2)+2經(jīng)過點尸(—1,2)時，，點P(—1,2)到直線/的距離最小為0,

當過點A(2,2)的直線垂直于*軸時，點P(-1,2)到該直線的距離最大，最大值為3,如圖示:

由于/:），=k（x-2）+2的斜率存在，故點6-1,2）到直線/的距富小于3,

即點玫-1,2）到直線/的距離的取值范圍是［0,3）,

故選：D.

32.已知直線4"->+1=0和直線/2"-）-3=0,貝必與《之間的距離是（）

A.V213.乎C.2D.2&

【答案】A

【分析】利用平行線間的距離公式計算即可

【詳解】由平行線間的距離公式得d==&

故選：A

33.直線4：x—2y—3=O與右：—3x+6y—1=0之間的￡巨離為（）

A.拽B.拽C.坡D.6

5315

【答案】B

【分析】先判斷4與平行，再由平行線間的距離公式求解即可.

_3_1

【詳解】由-3x+6y-l=0可得x-2.v+|=o,即《與平行，故3與/,之間的距離為3—2、.

#^273

故選：B.

34.已知直線3x+，〃），-3=O與6x+4y+l=0互相平行，則它們之間的距離是（）

A.4B.迤C.也D.巫

132626

【答案】D

【分析】取直線3x+歿-3=0上的定點（1,0）,再計算到6x+4），+l=。的距離即可.

【詳解】取直線3x+緲-3=0上的定點（1,0）,則3x+即-3=0到j6x+4y+1=0的距離即（1,0）到

6""+」）的距離為公弊裂77713

452~26

故選：D

35.直線/：x+2）」l=0關于點（1,-1）對稱的直線廠的方程為（）

A.2x-y-5=0B.x+2y-3=0C.x+2y+3=0D.2x-y-\=0

【答案】C

【分析】根據(jù)直線關于直線外一點（1,-1）的對稱直線互相平行可知其斜率，再取/上一點求其關于點（1,-1）的

對稱點，即可求出r的方程.

【詳解】由題意得，〃/,故設/:x+2y+c=0（cw-l）,

在1上取點41,0）,則點41,0）關于點（1,-1）的對稱點是4（1.-2）,所以1+2x（—2）十。=0,即c=3,

故直線「的方程為x+2y+3=0.

故選：C

36.直線/：敘+3），-2=。關于點A（l,l）對稱的直線方程為（）

A.4%+3），-4=0B.4x4-3y-12=0

C.4x-3），-4=0D.4x-3y—12=0

【答案】B

【分析】首先設對稱直線上任意一點P（x,y）,得到P（x），）關于4（1,1）對稱點為（2-乂2-），），再代入直線/

即可得到答案。

【詳解】設直線/：4x+3y-2=。關于點A（l,l）對稱的直線上任意一點「（看），），

則P（x,y）關于A（l,l）對稱點為（2f2-y）,

又因為（2-芭2-），）在41+3打2=0上，所以4（2-力+3（2-丁）-2=0,即4x+3y-12=0。

故選：B

37.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有

趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬''問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營,

怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為3（-2,0）,若將軍從山腳下的點

A（1,O）處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.V27B.5C.y/\5D.x/29

【答案】D

【分析】設8（-2,0）關于x+），=3的對稱點為“），），列方程求對稱點坐標，再應用兩點距離公式求“將軍飲

馬”的最短總路程.

【詳解】由8（-2,0）關于x+,，=3的對稱點為（x,y）,

x-2y-

~r+2=3[x=3

所以，可得.〈，即對稱點為35),又4(1,0)

上=11)'=5

lx+2

所以“將軍飲馬”的最短總路程為7(3-1)*2+52=V29.

故選：D

⑥多選題與填空題

二、多選題

38.已知Bvl,直線/的方程為才-例-1=0,則直線/的傾斜角可能為()

cC兀-兀c6兀

A.0B.-C.—D.—

727

【答案】CD

【分析】對8分類討論結(jié)合斜率與傾斜角的關系即得.

【詳解】當8<0時，則直線的斜率為k=焉<。，所以直線的傾斜角可能為華，

當B=0時，則直線的斜率不存在，所以直線的傾斜角為

當0<3<1時，則直線的斜率為4=得>1,所以直線的傾斜角范圍為艇卜不可能為。和?

故選：CD.

39.已知直線/經(jīng)過點。,2)和(2,3),則下列說法正確的是()

A.直線/在兩坐標軸上的截距相等

B.直線/的斜率為1

C.原點到直線/的距離為立

2

D.直線/的一個方向向量為〃=

【答案】BC

【分析】由直線/經(jīng)過的兩點坐標，可以求出直線的斜率、直線的方程，利用直線的方程判斷選項的正誤.

【詳解】直線，經(jīng)過點(1,2)和(2,3),所以直線的斜率2=興=1,故B正確；

2-I

易得直線的方程為y-2=lx(..l),即x-y+l=(),

令工=0,得y=l,即縱截距為1,令y=0,得4-1,即橫截距為-1,故A錯誤;

原點到直線/的距離d=4==更，故c正確；

V1+12

]_

因為，=-1*1,所以〃='；，；）不是直線/的一個方向向量，故D錯誤；

-2

故選：BC.

40.下列說法正確的是（）

A.點斜式y(tǒng)-y,=Nx"）可以表示任何直線

B.已知直線/過點*2,3）,且在X,），軸上截距相等，則直線/的方程為X+），-5=0.

C.直線1-2尸4=。與直線2%+＞，+1=0相互垂直.

D.直線丁=4x-2在），軸上的截距為一2

【答案】CD

【分析】根據(jù)直線點斜式方程適用的條件即可判斷A；分直線過原點和不過原點兩種情況討論即可判斷B；

根據(jù)兩直線垂直的公式即可判斷C；根據(jù)直線的斜截式方程即可判斷D.

【詳解】對于A,點斜式乂=女（廠F）表示斜率存在的直線，故A錯誤；

對于B,若直線過原點，則勺=；,所以直線方程為），=；公

若直線不過原點，設直線方程為5+?=1（〃工1），將點*2,3）代入解得々=5,

所以直線方程為f-5=0,綜上，直線I的方程為f-5=0或）=京，故B錯誤；

對于C,因為lx2+（-2）xl=0,

所以直線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0相互垂直，故C正確；

對于D,直線y=4x-2在y軸上的截距為—2,故D正確.

故選：CD.

41.已知直線小〃a-y+l=0（〃?eR）,小2x-y+3=0,則不列結(jié)論正確的是（）

A.直線4過定點（。,1）B.當時，〃!=.g

c.當《〃/2時，〃?=—2D.當4〃4時，兩直線人，〃之間的距離為咚

【答案】AB

【分析】不管，〃為何值，當x=0時，y=i,即可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的判定即可求得利的值，從而可

判斷B；根據(jù)兩直線平行的判定即可求得用的值，從而可判斷C；結(jié)合C選項可得兩直線的方程，再根據(jù)

兩直線平行的距離公式即可判斷D.

【詳解】不管，"為何值，當x=o時，y=i,所以直線4過定點(0,1),故A正確;

當4J.4時，有6x2+(-l)x(T)=0,得，〃=彳，故B正確；

當時,有:二［工?，得，〃=2,故C錯誤；

2—13

結(jié)合C選項知當4〃/?時，m=2,所以直線4：2x-y+l=0,/2：2x-y+3=0,

|3-1|2x/5

所以兩平行線間的距離為“一

"2+(一)=5故D錯誤.

故選：AB.

42.已知直線乙：4x+3y-2=0,/2：(/77+2)x+(/n-l)y-5/n-l=0(〃?eR),則()

直線過定點

A.4(2,3)B.當〃7=10時，/1//12

C.當m=-1時，D.當4〃，2時，兩直線4，4之間的距離為3

【答案】ABD

【分析】將直線變形為m(x+y-5)+2x-y-1=0,即可求解定點坐標，進而可判斷A,根據(jù)兩直線垂直和

平行滿足的系數(shù)關系即可代入加值求解BC,根據(jù)兩平行線間距離公式可判斷D.

【詳解】A：+2)x+(/?z-1)y-5tn-1=()(/nGR)變形為—5)+2x-y-l=0,

由二.一二；則一；‘因此直線4過定點(2,3)，故A正確；

2x-y-l=0,(y=3,

當〃z=I0時，/,：4x+3y-2=0,/2：12.r+9y-51=0,

所以5=9工1?故兩直線平行，故B正確；

14JJ1

當〃?=-1時，/|：4x+3y—2=0,Z2：x-2y+4=0,

因為4xl+3x(-2)工0,故兩直線不垂直，故C錯誤；

當4〃4時,則滿足字="=笆二，解得帆二10,此時i：4x+3y-2=0,l2：12x+9y-51=0,

43—2

即4/+3)，-17=。，則兩直線間的距離為卜；一(—“：=3,故D正確.

“2+3?

故選：ABD.

43.下述四個結(jié)論F確的是()

A.過點8（1,6）與圓/+丁=4相切的直線方程為x+Gy—4=0

B.直線x-y+々=0與圓+y，=1相交的充分不必要條件是k=l

C.直線以+），+1=。表示過點（0,-1）的所有直線

D.過點＞1（1,1）且在坐標軸上截距相等的直線方程是x+y-2=O

【答案】AB

【分析】A選項設過點以1,6）與圓的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率即可，選

項B利用充分不必要條件進行判斷即可，選項C利用反例即可驗證，選項D分截距為0,或不為0的情況討

論求出即可.

【詳解】對于選項A,設過點8（1，百）與圓/+）,2=4相切的直線方程為：

y-\/3=k(x-\)=>kx-y+y/3-k=0,

由題設得：怛刃=2,即然2+2GA+l=O,解得出=—立，

VTTF3

所以過點8（1,6）與圓/+=4相切的直線方程為％+6），-4=0,故A正確,

則號W1=-夜<k<yf2

選項B,若直線大一＞+左=。與圓/+丁=1相交,

所以k=l是直線x-），+左=。與圓d+）,2=］相交的充分不必要條件，故B正確,

選項C,點（0,-1）在y軸上，但是無論“取何值，直線辦+），+1=。不能表示方軸上的直線，故c不正確,

選項D,若截距為。時，設直線方程為y=云,

將點A（l，l）代入y=U得：&=1,所以方程為：x-y=0t

若截距不為。時，設在坐標軸上的截距為加，

則設直線方程為：-+2=1,將點A（l,l）代入得：。=2,

aa

所以所求方程為：工+丁-2=0.故選項口不正確，

故選：AB.

44.已知直線/："—2y—44+1=0,則下列表述正確的是（）

A.當k=2時，直線的傾斜角為45

B.當實數(shù)k變化時，直線/恒過點（4,；）

C.當直線/與直線x+2y-4=U平行時，則兩條直線的距離為1

D.直線/與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【答案】ABD

【分析】A選項，可求出直線斜率，即可判斷選項正誤；

B選項，將直線方程整理為左（工-4）+1-2），=0,由此可得直線所過定點；

C選項，由題可得力=-1,后由平行直線距離公式可判斷選項；

（1-4^^（1、

D選項，分別令Hy=0,可得直線與y軸，X軸交點為0,—；—,4--,0.

I2JIk

\1一4〃’1A

則圍成三角形面積為4--,后由基本不等式可判斷選項.

22、k）

【詳解】A選項，當攵=2時，直線方程為2工-2），-7=（）,可得直線斜率為1,則傾斜角為45,故A正確;

B選項，由題可得左"-4）+1-25=0,則直線過定點（4,：）,故B正確；

C選項，因直線/與直線x+2y-4=0平行，則:=Q=攵=7,則直線方程為：r-2y+5=0,

一8%+2工8

即工+2y-5=0.貝!]/與直線x+2y—4=0之間的距離為

H+5石

J--------L=當，故C錯誤;

V12+225

[1-4k）1

D選項'分別令X‘尸°,可得直線與），軸'、軸交點為。，了’4-工

匕竺>0

2

又交點在兩坐標軸正半軸，貝U=%<0.故圍成三角形面積為

4——>0

不旨4-：=2+（4）+號2+2卜）?弓=4,當且僅當

-4^=」，即左=-!時取等號.即面積最小值為4,故D正確.

-4k4

故選：ABD.

三、填空題

45.若直線x+股-1=。的傾斜角為45。，則實數(shù)〃的值為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的知識求得正確答案.

【詳解】直線的傾斜角為45。，所以直線的斜率為1,則」

a

故答案為：-1

46.已知兩直線4：（3+a）x+4y=5-3a與Zj：2x+（5+〃）y=8平行，則。=.

【答案】-7

【分析】判斷。=-5不合題意，再根據(jù)兩直線平行可得斜率相等，列出關于a的等式，求得答案.

【詳解】當。=-5時，4：(3+a)x+4y=5—3々為4：r+2y=10,

，2：2x+(5+a))，=8為4/=4,兩直線不平行;

故5時，兩直線4:(3+。)工+4丁=5-3。與/2：2工+(5+。力=8平行

可得一￥=-4，解得。=7或。=々，

45+。

當〃=一1時，/1:(3+a)x+4y=5-3。即/):x+2y=4,

4：2x+(5+a))，=8即4：x+2y=4,兩直線重合，不合題意,

故。=-7,

故答案為：-7

47.過點?(11)且與直線版-)，-1=0垂直的直線方程.

【答案】x+3y-4=()

【分析】根據(jù)題意設出和已知直線垂直的方程為x+3)，+c=0,代入點的坐標可求出％即可得到所求直線

方程.

【詳解】與直線3x-y-1=0垂直的直線方程可設為x+3y+c=0,

因為點(1,1)在所求直線上，貝IJl+3+c=0,所以c=T,所以所求直線為x+3y-4=0.

故答案為：x+3y-4=0.

48.已知直線乙：3x+4?，+2=0,%：3x+4y+5=0,則乙與。之間的距離為,

【答案】|3

【分析】由兩平行線間的距離公式即可求得.

|2-3「3

【詳解】由題意可知4與4平行，由平行間的距離公式可得4=

73^5

3

故答案為：-

49.直線/'與直線x+3y+l=0關于點例(2/)對稱，則直線〃的方程為.

【答案】x+3y-ll=。

【分析】由題意可知，直線/'應與直線x+3y+l=。平行，可設直線方程為x+3)，+m=0("?#l),由于兩條

至直線關于〃點對稱，可通過計算點加分別到兩條直線的距離，通過距離相等，即可求解出〃7,完成方程

的求解.

【詳解】解：由題意可設直線/'的方程為x+3），+m=0（〃yl）,

悟+3+川|2+3+1|

解得/"=_]1或〃?=1（舍去），

4+32712+32，

故直線/'的方程為x+3y-ll=o.

故答案為：x+3y-ll=0.

50.直線依7-八2=0經(jīng)過的定點坐標是

【答案】（1,2）

【分析】將直線方程化為點斜式方程判斷即可.

【詳解】解：將——+2=0化為點斜式方程得3，-2=心-1）,

所以，直線"-）-4+2=0經(jīng)過的定點坐標為（1,2）

故答案為：0,2）

四、高考真題及模擬題精選

一、單選題

1.（2021.全國?高考真題）點（3,0）到雙曲線，-卷=1的一條漸近線的距離為（

)

BD

A.I-I0I-I

【答案】A

【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.

【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：--^=0,即標±4），=0,