第10講 三角形與全等三角形（壓軸題組）-2022年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第10講三角形與全等三角形（壓軸題組）1．（2021·江西贛州·九年級(jí)期中）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°，得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC（2）如圖2，連接HG和GF，其中HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△AQG為等腰三角形？2．（2021·北京市第三十一中學(xué)九年級(jí)期中）四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，EC．（1）如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出EG與GC的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示位置，在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖1中的△BEF，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長(zhǎng)．3．（2021·湖北青山·九年級(jí)期中）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜120），得到線段CE，連接ED、ED或其延長(zhǎng)線交∠BCE的角平分線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若α＝20，直接寫(xiě)出∠E與∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若60＜α＜120．求證：EF﹣DF＝CF；（3）如圖3，若AB＝6，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，連接BG，則DC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG的最大值為．

4．（2021·福建安溪·九年級(jí)期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，∠EDF的兩邊分別交AB、AC所在直線于E、F兩點(diǎn)，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如圖1，若n＝1，則DEDF；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）連接EF．①如圖2，沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)A落在邊BC上的D點(diǎn)，求的值（含n的式子表示）；②如圖3，EFBC，且，求出n的值．5．（2021·陜西蓮湖·九年級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化．問(wèn)題提出（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，CE與CB的位置關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個(gè)邊長(zhǎng)為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對(duì)角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計(jì)劃在BD延長(zhǎng)線上（包括D點(diǎn)）取點(diǎn)P，以AP為邊長(zhǎng)修建一個(gè)等邊△APE的娛樂(lè)區(qū)，放置各類運(yùn)動(dòng)娛樂(lè)設(shè)施，從娛樂(lè)區(qū)頂點(diǎn)E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計(jì)劃在BE中點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)直飲水點(diǎn)F，求飲水點(diǎn)F到C點(diǎn)的最短距離．6．（2021·陜西·交大附中分校九年級(jí)期中）問(wèn)題研究，如圖，在等腰△ABC中，，點(diǎn)、為底邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)與相似的三角形，這個(gè)三角形是__________；

（2）若，分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線，垂足分別為、，且、的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積；

問(wèn)題解決（3）如圖所示，有一個(gè)矩形倉(cāng)庫(kù)，其中米，米，現(xiàn)計(jì)劃在倉(cāng)庫(kù)的內(nèi)部的、兩處分別安裝監(jiān)控?cái)z像頭，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．設(shè)計(jì)要求且，則的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？

7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y＝kx＋3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，∠BAO＝45°．（1）求直線AB的解析式；（2）點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接CB，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線交x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△BAP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)BC至Q，使BQ＝BP，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段CQ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BQ的垂線交BD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，若EF＝，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．8．（2021·河南·金明中小學(xué)九年級(jí)期中）把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．（1）如圖1，與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________；（2）如圖2，（1）中和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，___________．（4）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角__________時(shí)，的面積最大．9．（2021·北京·景山學(xué)校九年級(jí)期中）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是線段AB中點(diǎn)時(shí)，①AC的長(zhǎng)為；②延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得CE＝AC，此時(shí)CE與CB的數(shù)量關(guān)系為，∠BCE與∠A的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)∠BCE（點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線BC的異側(cè)），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，連接AE．①按要求補(bǔ)全圖形；②求AE的長(zhǎng)．10．（2021·山西·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC擺在一起，其中直角頂點(diǎn)A重合，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，滿足AF=AC，然后連接DF、BE．實(shí)踐猜想：（1）圖1中的BE與DF的數(shù)量關(guān)系為：，位置關(guān)系為：．猜想證明：（2）當(dāng)△A