九上人教專題03與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類型（五種技巧精講精練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）（解析版）-A4

第頁(yè)專題03與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類型（五種技巧精講精練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）題型01證線段平行【典例分析】【例1-1】（23-24九年級(jí)上·福建龍巖·期末）如圖，是的外接圓，P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)D是中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，則下列結(jié)論：①；②垂直平分；③直線和都是的切線；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，涉及了圓周角定理、垂徑定理、圓的切線證明等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．①②根據(jù)點(diǎn)D是中點(diǎn)，，、即可判斷；③根據(jù)，，且即可判斷；④假設(shè)結(jié)論正確，即可倒推進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，，∴，，故②正確；∵，∴，故①正確；∵，，且，∴∵，∴∵∴∴∴直線是的切線∵垂直平分，∴∴∴∴直線是的切線，故③正確；若，則∴根據(jù)條件無(wú)法得出以上結(jié)論，故④錯(cuò)誤；故選：C【例1-2】（21-22九年級(jí)上·山東青島·單元測(cè)試）已知：如圖，直線切于點(diǎn)，為的弦．．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理的推論，平行線的判定等等，先由切線的性質(zhì)得到，再由垂徑定理的推論得到，據(jù)此可證明．【詳解】證明：如圖所示，連接，∵直線切于點(diǎn)，∴，∵為的弦．，∴，∴．【例1-3】（22-23九年級(jí)上·福建莆田·期中）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了圓的綜合題，切線的性質(zhì)，三角形全等及等腰三角形的判定與性質(zhì)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)．（1）連接，由為的直徑，根據(jù)圓周角定理得為的直徑得，再由，則，所以為等腰直角三角形，所以，根據(jù)切線的性質(zhì)得，于是可得到；（2）利用角的關(guān)系得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，，為的切線，，；（2）證明：于點(diǎn)，，，，為等腰直角三角形，∴，∴，，在和中，，∴，∵∴．【變式演練】【變式1-1】（24-25九年級(jí)上·山東·單元測(cè)試）是的外接圓，是直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．有下面四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】本題考查的是平行線的判定、圓周角定理的應(yīng)用、切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接、，設(shè)交于點(diǎn)，證明，結(jié)合，可判斷結(jié)論①；再證明，結(jié)合，易得，即可判斷結(jié)論③；證明四邊形是矩形，易得，，即可判斷結(jié)論②；結(jié)合，可知，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴，又∵，∴，故結(jié)論①不正確；∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，又∵為直徑，∴，∴，即，故結(jié)論③正確；∵為的切線，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，故結(jié)論②正確；∵在直角三角形中，∴，故結(jié)論④不正確．綜上所述，結(jié)論正確的有②③，共計(jì)2個(gè)．故選：C．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)C，直線與切線相交于點(diǎn)E，與相交于另一點(diǎn)D，連接AB，CD．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的定義，垂徑定理，三角形的外角定理，內(nèi)角和定理，以及平行線的判定和性質(zhì)．（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出．根據(jù)垂徑定理得出．即可求證．（2）易得．則．根據(jù)題意得出，，則．求出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵直線與相切于點(diǎn)C，∴．∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴．∴．（2）解：∵，∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∵，∴．【變式1-3】（22-23九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！るA段練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的切線交的延長(zhǎng)線于D，交于E.

(1)求證：；(2)若，.求的半徑和線段的長(zhǎng).【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)的半徑為4，【分析】本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，由切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，據(jù)此可證明；（2）設(shè)的半徑為r，則，，根據(jù)勾股定理可得，列出方程，解方程即可求出半徑；過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，用等面積法求出，進(jìn)而得出，則，最后根據(jù)垂徑定理可得，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵與相切；∴，即∴，∴；

（2）解：設(shè)的半徑為r，則，∵，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴的半徑4；過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，

∵，，∴，則，解得：，根據(jù)勾股定理可得：，∴∵，∴，∴．題型02求線段長(zhǎng)度【典例分析】【例2-1】（23-24九年級(jí)上·重慶北碚·期末）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心，若，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到，根據(jù)切線性質(zhì)，得，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】∵是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心，，∴，，，∴，故選：B．【例2-2】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為D，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，，則的長(zhǎng)度為．【答案】5【分析】本題主要考查了圓周角定理和切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，連接，根據(jù)圓周角定理可得，再由是的切線，可得，從而，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，，∴，∵是的切線，∴，，∴，∵，∴．故答案為：5【例2-3】（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在中，，與邊相切于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理和相等的圓心角所對(duì)的弧線段，所對(duì)的弦線段的性質(zhì)解答即可；（2）設(shè)的半徑為r,利用圓的性質(zhì)定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，再利用等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為半圓的切線，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；（2）設(shè)的半徑為r，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴∴，∴，∵，∴．∵，∴為等邊三角形，∴【變式演練】【變式2-1】（22-23九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，的半徑為4，直線是的切線，為切點(diǎn)，連接，是直徑．若弦于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度為（

）A． B．4 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，含30度的直角三角形，根據(jù)切線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，求出，含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，垂徑定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵直線是的切線，∴，∴，∴，∵是直徑，，∴，，∴，∴；故選D．【變式2-2】（21-22九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，直線切于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂徑定理求得，，即可得到.則是等腰直角三角形，得出根據(jù)切線的性質(zhì)得到，得到是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得【詳解】解：為的直徑，弦于點(diǎn)，，是等腰直角三角形直線切于點(diǎn)，是等腰直角三角形故答案為：【變式2-3】（21-22九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，弦于點(diǎn)D，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的切線交于點(diǎn)H．(1)求證：．(2)若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連結(jié)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，得到，結(jié)合和可得，再根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)交于M，連結(jié)，由點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，求得，推出垂直平分于點(diǎn)M，根據(jù)垂徑定理得到，，可求得，，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得的值，連接，再設(shè)，則，解得的值即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連結(jié)．，，與相切于點(diǎn)E，，，在中，，，又，，．（2）解：連結(jié)交于M，連結(jié)，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，，，垂直平分于點(diǎn)M，，，，，，，，，，，，，在中，，設(shè)，則，在中，，解得：，連接，設(shè)，則，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，切線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．題型03求圓的直徑（方程思想）【典例分析】【例3-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇常州·期中）工人為了測(cè)量某段圓木的直徑，把圓木截面、含60°角的三角板和直尺按如圖擺放，測(cè)得cm，由此可算得該圓木的直徑為cm．【答案】【分析】如圖，切三角板的斜邊于點(diǎn)，連接、，利用鄰補(bǔ)角計(jì)算出，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得到平分，，所以，，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到的長(zhǎng)，從而得到圓的直徑．【詳解】解：如圖，切三角板的斜邊于點(diǎn)，連接、，則，與三角板和直尺相切，平分，，，，在中，，cm，該圓木的直徑為cm．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【例3-2】（24-25九年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）如圖，等腰三角形內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)求的直徑長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于H，連接，，利用切線的性質(zhì)得，再證明為的中垂線，則，得到，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)得到，則，所以，于是得到，利用垂徑定理得到，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出，設(shè)的半徑為r，則，在中利用勾股定理得，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于H，連接，∵與相切于點(diǎn)C，∴，∵，，∴為的中垂線，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，在中，，設(shè)的半徑為r，則，在中，∴，解得，∴的直徑長(zhǎng)度為10．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、垂徑定理、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【例3-3】（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)、，的延長(zhǎng)線與的切線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)已知，，求的直徑【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）首先連接，由為直徑，可得，又由是的切線，易證得．然后由，證得：；（2）首先連接，設(shè)，由勾股定理可得方程：求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接．為的直徑，，．是的切線，，即．．，，．．（2）解：如圖，連接，，設(shè)，，，，，在中，，即，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答此題關(guān)鍵．【變式演練】【變式3-1】（21-22九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．（1）求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）BE=6cm（2）6cm【分析】（1）連接OD，設(shè)半徑為r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解．【詳解】解：（1）連接OD，設(shè)半徑為r則BO=DO=EO=r∴AO=2+r在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2∴（2+r）2=42+r2解得r=3∴BE=6；（2）∵AC、BC都是⊙O的切線∴CD=BC∵AB=AE+BE=8，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2，解得CD＝6cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【變式3-2】如圖，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由為的切線，為切點(diǎn)，可得，即，，由，可得，由，可得，即，進(jìn)而可得．（2）設(shè)，則，在中，，在中，，即，解得，則，即的半徑為，進(jìn)而可求直徑的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵為的切線，為切點(diǎn)，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)，則．在中，，在中，，即，解得，∴，即的半徑為，∴的直徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式3-3】（22-23九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，已知等邊，以為直徑的與邊相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為；過(guò)點(diǎn)作，垂足為．(1)求證：是的切線；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）如圖所示（見(jiàn)詳解），連接，為等邊三角形，可求，，，，由此即可求解；（2）由（1）可知，設(shè)為，可求出，在中，，可求出，，在中，，，，由此即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：設(shè)為，由（1）知，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線，等邊三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握等邊三角形的性質(zhì)，切線的證明方法，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．題型04求角的大小【典例分析】【例4-1】（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，與相切于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可不是主要考查切線的性質(zhì)，連接，則，得，由得由三角形外角的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理可得【詳解】解：連接，如圖，∵是的切線，∴，即∵∴∵，∴∴∵∴，故選：D【例4-2】（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，是的切線，A為切點(diǎn)，連接，點(diǎn)C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】/50度【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和、等邊對(duì)等角等知識(shí)．利用垂線的性質(zhì)及切線的性質(zhì)得到和，再利用四邊形的內(nèi)角和為進(jìn)而可求得，再利用等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：，，又是的切線，，，又，，，又，，，故答案為：．【例4-3】（24-25九年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．（1）連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到，接著利用互余得到，解得，從而得到的度數(shù)；（2）在中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，然后計(jì)算即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，切于點(diǎn)，，，，，，，而．，解得，；（2）解：在中，，，，．【變式演練】【變式4-1】（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，是弦，是切線，過(guò)點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，若平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了弦切角定理，角平分線的性質(zhì)及垂直的定義，難度適中．連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)弦切角的性質(zhì)，得，再由已知條件可得，從而求出．【詳解】解：連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖所示：∴，∴，是切線，∴，∴，∴，∵，，平分，，，，．故選：A．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對(duì)等角求解．連接，構(gòu)造直角三角形，利用，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：連接，與相切于點(diǎn)，，，；，，故答案為：32【變式4-3】（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于是上一點(diǎn)，若，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．連接，利用平行線的性質(zhì)得到，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出，接著利用圓周角定理得到，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到，最后利用互余計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：連接．．，．∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，為切線，，．題型05證線段垂直【典例分析】【例5-1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，要證，就是證．連接，可得，只需證，即可．【詳解】證明：如解圖，連接，與半圓相切于點(diǎn)，，，，，，，，，，．【例5-2】（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·期末）如圖，以的邊為直徑的交于點(diǎn)E，平分，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且的切線交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，，求，的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，即、根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，等腰三角形的性質(zhì)得到，故，即可得到，，可得結(jié)論．（2）設(shè)，則，利用勾股定理得的長(zhǎng)．作于點(diǎn)F，利用等面積法可得的長(zhǎng)，再利且勾股定理得到的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：連接．∵切于點(diǎn)E，∴，∴．∵平分，∴．又∵在中，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)，則，在中，，∴，∴．作于點(diǎn)F，∵，∴，∵在中，，∴，∴在中，，∵為的直徑，∴，∴，∴中，，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用等面積法求線段長(zhǎng)度，掌握切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練利用等面積法求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【例5-3】如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；（2）由（1）可知，勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵為的切線，∴，∵為的直徑，∴∴四邊形為矩形，∴；（2）由（1）知四邊形為矩形，，，∴，∴，設(shè)的半徑為，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半徑為．【變式演練】【變式5-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，為直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作，垂足為E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為3【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)C是的中點(diǎn)，可得，然后證明，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)四邊形內(nèi)接于⊙O，可得，然后證明，可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是⊙O的切線，是半徑，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于⊙O，∴，在和中，，∴，∴．∴的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)角四邊形，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（21-22九年級(jí)上·湖北鄂州·期末）如圖，點(diǎn)O是的邊上一點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)E，與邊分別相交于點(diǎn)D，F(xiàn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)及圓周角定理通過(guò)互余即可證明．（2）利用勾股定理先求，再利用勾股定理求即可．【詳解】（1）(1)如圖，連接∵是的切線，是的半徑∴∵和分別是所對(duì)的圓心角和圓周角∴∵∴∴∴∴∴（2）解：∵是的切線∴∴已知，設(shè)，則解得或（舍去）∴∵∴∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，能夠熟練運(yùn)用切線切線額的性質(zhì)及勾股解直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（）連接，由點(diǎn)是的中點(diǎn)及可推出，再由切線的性質(zhì)即可求證；（）過(guò)點(diǎn)作，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知，結(jié)合條件可推出四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理即可求解；本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定、圓周角定理、勾股定理，掌握相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，

∵是的切線，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴∵，∴，∴，∴，即；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，如圖所示，則，

∵，，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，．一、單選題1．（2024九年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理、三角形的周長(zhǎng)公式、勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：、為的切線，，、為的切線，，同理，，的周長(zhǎng)，，．故選：B2．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，弦與小圓相切于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理．根據(jù)切線的性質(zhì)得出，由垂徑定理可得，然后由勾股定理求得的長(zhǎng)，繼而可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵弦與小圓相切于點(diǎn)，∴，∴，∵兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，∴，∴，故選：D．3．（24-25九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，為的切線，切點(diǎn)為，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)、同弧所對(duì)圓心角和圓周角的關(guān)系，熟記切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)切線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后由圓周角定理即可解答．【詳解】解：切于點(diǎn)，，，，，故選：B．二、填空題4．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為．【答案】/26度【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．連接，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可利用圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．5．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，P是圓O的直徑上一點(diǎn)，與圓O相切于點(diǎn)M，連接，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；連接，根據(jù)切線性質(zhì)得，再根據(jù)直角三角形的銳角互余得，根據(jù)圓周角定理進(jìn)而求得，然后根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【詳解】解：連接，與圓O相切于點(diǎn)M，；，；，，，；，；故答案為：．6．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，，是的切線，若，，．【答案】【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，是的切線，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：．7．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點(diǎn)，連接BC交于點(diǎn)D．已知，則的度數(shù)為．【答案】/50度【分析】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理推論．熟練掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，直徑對(duì)的圓周角是直角，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)圓切線性質(zhì)得到，得到，根據(jù)直徑性質(zhì)得到，得到．【詳解】解：∵與相切，∴．又∵，∴．∵是的直徑，∴．∴．故答案為：．三、解答題8．（24-25九年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖，與相切于點(diǎn)C，，的直徑為，，求長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理知識(shí)．連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，由于，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，然后在中利用勾股定理計(jì)算出的值即可．【詳