專題4-3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（解析版）-【重難點(diǎn)突破】2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)?？碱}專練（新高考）-A4

1/60第頁專題4-3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【題型2】前n項(xiàng)和與等差中項(xiàng)【題型3】片段和性質(zhì)【題型4】Snn的性質(zhì)【題型5】由Sn求通項(xiàng)公式（6種類型全歸納）【題型6】兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比【題型7】偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和【題型8】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系【題型9】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【題型10】含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和【題型11】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用【題型12】等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合（累加，前n項(xiàng)積，隔項(xiàng)等差，奇偶數(shù)列）題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型【題型1】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式公式一：=；公式二：=【例題1】（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.【例題2】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，且，則【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式得出數(shù)列的首項(xiàng)與公差的關(guān)系式，表示出即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，由，得，所以.【例題3】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若則.【答案】3【分析】由已知列方程組求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，則.【例題4】設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，若時(shí)，，則等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22【答案】D【分析】根據(jù)，求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，再根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】設(shè)公差為，由，得，所以，由，得故，則，因?yàn)?，所以，化簡得，解得或（舍去?【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=7，S4A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式基本量運(yùn)算，最后求出a2即可【解答過程】因?yàn)閍4所以a1所以a2【鞏固練習(xí)2】（2023·全國·高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．，若，求的通項(xiàng)公式；【答案】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.【鞏固練習(xí)3】（24-25·湖北宜昌·期中）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求基本量，然后求出，再結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．【答案】【分析】先根據(jù)條件列方程組求出首項(xiàng)和公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，整理得①由得，整理得②，由①②得，所以.【鞏固練習(xí)5】（2023·全國·高考II卷真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，，求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得，然后設(shè)，，代入計(jì)算，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，即，設(shè)，，則，所以，，．若，則解得，，，此時(shí)，．即；同理，若，則，解得，則，．即；綜上，．【題型2】前n項(xiàng)和與等差中項(xiàng)若項(xiàng)數(shù)為，則(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，例如，，【例題1】（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.【例題2】已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由.【例題3】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為定值時(shí)也是定值，則的值為（

）A．9 B．11 C．13 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得為定值，結(jié)合基本量法可求的值.【詳解】因?yàn)闉槎ㄖ登?，故為定值，故為定值，其中為公?而，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，為定值.【例題4】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．5 B．10 C． D．15【答案】B【分析】利用等差中項(xiàng)性質(zhì)得，再利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求解即可.【詳解】若，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，故，即，易知.【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，即，再由前n項(xiàng)和公式得：【鞏固練習(xí)2】為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則該等差數(shù)列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和公式以及等差數(shù)列定義即可得到答案.【詳解】,故.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·吉林·開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式從而可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以.故B正確.【鞏固練習(xí)4】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公差．【答案】【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式得，即可求公差.【詳解】由，則.【鞏固練習(xí)5】（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)為定值時(shí)，也是定值，則k的值為（

）A．11 B．13 C．15 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式可得為定值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化，列出關(guān)系式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)為定值時(shí)，即為定值，即為定值，，所以，解得【鞏固練習(xí)7】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列滿足．若，則（

）A．9 B．10 C．17 D．19【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)判斷是等差數(shù)列，然后由可得，由可得公差，即可求得.【詳解】，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，可得，又，可得，.【鞏固練習(xí)8】（22-23高二上·浙江臺(tái)州·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，且，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和二次函數(shù)性質(zhì)及求得，進(jìn)而求得，最后應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.【詳解】由，故對(duì)稱軸為，又，所以，即，故，所以.【題型3】片段和性質(zhì)等差數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,則中連續(xù)的項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列.【例題1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________【答案】81【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，然后解方程即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，所以，即，解得.【例題2】（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.【例題3】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為40，前項(xiàng)和為420，則前項(xiàng)和為（

）A．140 B．180 C．220 D．380【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列，所以，又所以，解得.所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則（

）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，化簡得，【鞏固練習(xí)2】（23-24高二下·廣東廣州·期末）在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前和的性質(zhì)，得出，求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，所以根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，所以，所以，解得．【鞏固練習(xí)3】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，可求得對(duì)應(yīng)公差，則可求值【詳解】由等差數(shù)列有成等差數(shù)列，設(shè)為d，則，故.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·天津·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則.【答案】39【分析】由題意成等差數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，所以，而成等差數(shù)列，所以.【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差數(shù)列中，若，則=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)求解．【詳解】是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，又，，所以，，，所以【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列中成等差數(shù)列求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.【鞏固練習(xí)7】設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則.【答案】200【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算求出新等差數(shù)列的公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，，，，…，依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為.又，，因此，解得，所以.【題型4】前n項(xiàng)和與n的比（Snn的性質(zhì)）{an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列【例題1】已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【分析】設(shè)出公差，表達(dá)出，代入得到方程，求出公差，從而求出首項(xiàng)，利用求和公式得到答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則．由，得，解得．又因?yàn)?，所以，所以．【例題2】已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，其中，則＝.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出答案.【詳解】若，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故,故，.【例題3】（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.【例題4】在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則.【答案】100【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，進(jìn)而得，故，進(jìn)而得，再計(jì)算即可.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又，解得：，又∵，∴，即∴【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Snn是等差數(shù)列，且S10A．14 B．-94 C．5【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，先求出Snn的公差，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得S【解答過程】由題意知Snn是等差數(shù)列，設(shè)其公差為則由S8=2S4+8S10=0，則S10故a1【鞏固練習(xí)2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式可推導(dǎo)證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.【鞏固練習(xí)3】（多選）若等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，記，則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知可得，對(duì)于AB選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，D錯(cuò).【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式可推導(dǎo)證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.【鞏固練習(xí)5】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050【答案】C【分析】利用等差數(shù)列求和，再判斷數(shù)列是等差數(shù)列，再求前100項(xiàng)和.【詳解】等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，即?shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【鞏固練習(xí)7】（23-24高二上·河北保定·期末）已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可證得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果.【詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，.【鞏固練習(xí)8】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前項(xiàng)和的函數(shù)性可證得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合已知等式可求得，由可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.【題型5】由Sn求通項(xiàng)公式（6種類型全歸納）由Sn求通項(xiàng)公式一般都要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足通項(xiàng)公式1、已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系時(shí)用，得到類型一：首項(xiàng)滿足通項(xiàng)公式例：類型二：首項(xiàng)不滿足通項(xiàng)公式即首項(xiàng)不可合并，即例：類型三：以的形式出現(xiàn) 例：已知求2、已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系時(shí)，替換題中的類型四：消保留 例：①已知；②已知3、對(duì)于式子中有提到且出現(xiàn)關(guān)于和的二次式可以考慮利用十字相乘進(jìn)行因式分解．類型五：因式分解型 例：，類型六：已知為等差數(shù)列 對(duì)于題目中已經(jīng)提到為等差數(shù)列時(shí)，一般不用，得到，而是令，求基本量和【例題1】若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則該數(shù)列的公差為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系求得等差數(shù)列公差即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，公差為.【例題2】已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】應(yīng)用求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不成立，所以【例題3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】（1）由題，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，由，所以，兩式相減，可得，∴．當(dāng)時(shí)，滿足，∴．【例題4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，求通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】，即是以2為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，顯然，時(shí)，上式不成立，所以.【例題5】為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的通項(xiàng)公式=．【答案】【分析】先利用項(xiàng)與和的關(guān)系，得到，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?3；當(dāng)時(shí)，==，即，因?yàn)?，所以，所以?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=【例題6】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】【詳解】依題意有，，，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，．若是等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以，則.【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，作差得，即當(dāng)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，而，則，故【鞏固練習(xí)3】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.【詳解】時(shí)，時(shí)，，【鞏固練習(xí)4】在數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】解：因?yàn)椋賱t當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，也滿足，故對(duì)任意的，.【鞏固練習(xí)5】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，求【詳解】由題意知，，又，得．當(dāng)時(shí)，由，得，得．則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．所以．又，則．當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以．【鞏固練習(xí)6】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，可得，求得，根據(jù)為等差數(shù)列，求出公差得解.【詳解】依題意有，，，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，.【鞏固練習(xí)7】已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解公差，進(jìn)而可求解，【詳解】設(shè)的公差為，依題意得，所以，即，化簡得，解得或（舍去），，所以經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.【題型6】兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比若{an},{bn}都為等差數(shù)列，Sn,Tn分別為它們的前n項(xiàng)和，則【例題1】兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差中項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得.【例題2】等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)，公式求解.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得，，等差數(shù)列前n項(xiàng)和滿足，則，等差數(shù)列前n項(xiàng)和滿足，則，所以.【例題3】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，都有，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，中，，所以可設(shè)，所以【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知兩等差數(shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可設(shè)、，計(jì)算即可得.【詳解】由，bn為等差數(shù)列，故可令、，則.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，由，即可求解結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，且，所以可設(shè)，，則，，.【鞏固練習(xí)3】設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項(xiàng)和分別為和，滿足，則【答案】【分析】根據(jù)給定的關(guān)系等式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)的特征，設(shè)出數(shù)列和的通項(xiàng)，求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【詳解】數(shù)列和都為等差數(shù)列，且，則令，，為常數(shù)，因此等差數(shù)列的首項(xiàng)，等差數(shù)列的首項(xiàng)，所以.【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·浙江嘉興·期末）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合已知條件求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，所以，【鞏固練習(xí)5】已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為7個(gè)【鞏固練習(xí)6】已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且，則使恒成立的實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知可得，然后求出的最小值可得答案.【詳解】由題意得，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以使恒成立的實(shí)數(shù)的最大值是.【鞏固練習(xí)7】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）(多選)已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0 D．的最小值為【答案】ACD【分析】化簡已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯(cuò)誤；化簡已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對(duì)于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知無整數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹蚥n是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，所以，所以遞增，所以最小值為時(shí)，為，故D正確；故選：ACD.【題型7】偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和等差數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)：1、若項(xiàng)數(shù)為,①則.②2、若項(xiàng)數(shù)為，①則(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，②，③【例題1】已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【分析】利用等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，公差，，所以,所以【例題2】（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為60，偶數(shù)項(xiàng)之和為54，則．【答案】10【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，所以奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為，故，解得.【例題3】已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，所以，因?yàn)?，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以，得，所以.【鞏固練習(xí)1】已知是等差數(shù)列，其中，，________.【答案】-50【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，所以，，所?因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，共有10項(xiàng)，.【鞏固練習(xí)2】一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，則這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是．【答案】3【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題意列出方程組，求得首項(xiàng)和公差，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，得，，解得，，所以，故這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是3【鞏固練習(xí)3】已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列有，項(xiàng)．公差為．由于奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，可得，，分別相加相減即可得出．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)，．公差為．奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，，，，，，即等差數(shù)列共項(xiàng)，且【鞏固練習(xí)4】求下列兩題：(1)等差數(shù)列前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求該數(shù)列的公差；(2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求該數(shù)列的中間項(xiàng)．【答案】(1)5；(2)11．【分析】（1）利用前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)和的比和前12項(xiàng)的總和列出方程，求出前12項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，然后即可求出公差.（2）根據(jù)等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)之比可求出項(xiàng)數(shù)，然后根據(jù)等差數(shù)列求和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為則由題意得：，解得：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：解得：故該數(shù)列的公差為.（2）設(shè)等差數(shù)列中共有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)由項(xiàng)，中間項(xiàng)為第項(xiàng)，記作，奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，可知又所以，解得：又因?yàn)?，所以所以這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)為，共有項(xiàng).【題型8】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，令，，則.(1)當(dāng)A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)時(shí)，＝0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項(xiàng)為0的常數(shù)列．(2)當(dāng)A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)時(shí)，＝Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項(xiàng)為非零的常數(shù)列．(3)當(dāng)(即)時(shí),是關(guān)于的二次函數(shù)式(常數(shù)項(xiàng)為0).數(shù)列的圖象是拋物線上的一群孤立的點(diǎn).【例題1】（高二下·廣東佛山·期中）(多選)等差數(shù)列中，，公差，為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，若點(diǎn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線不可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷圖象的開口方向，可判斷A，B；判斷圖象對(duì)稱軸位置，判斷C，D，即可到答案．【詳解】等差數(shù)列中，，公差，為其前項(xiàng)和，，點(diǎn)在曲線上，，二次函數(shù)開口向下，故A，B不可能；對(duì)稱軸，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，故C可能，D不可能.故選：ABD【例題2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，列式計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對(duì)稱性及，，得，解得，所以正整數(shù)k為2023．【鞏固練習(xí)1】在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，為其前n項(xiàng)和，則點(diǎn)可能在下列哪條曲線上？（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)，去判定其開口方向和對(duì)稱軸位置即可解決.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和由，知，即拋物線開口向下，排除選項(xiàng)AB；由，，知對(duì)稱軸，排除選項(xiàng)D.【鞏固練習(xí)2】(多選)設(shè)是公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有D．若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【分析】由題意，分、分別討論對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)可判斷A，B；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則分析可判斷C，D.【詳解】因?yàn)?，若，?duì)應(yīng)二次函數(shù)開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列有最大項(xiàng)，正確；若，二次函數(shù)開口向上，無最大項(xiàng)故若數(shù)列有最大項(xiàng)，有，B正確；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若，則，故不一定對(duì)任意，均有，C錯(cuò)誤；若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，之后所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意，均有故若對(duì)任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確．故選：ABD【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·湖北武漢·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．是遞減數(shù)列 B．C．使時(shí)的最小值是21 D．最小時(shí)，【答案】BCD【分析】由題意首先得，進(jìn)一步，由此即可判斷AB，由等差數(shù)列求和公式有，由此即可判斷CD.【詳解】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，所以，所以，所以，即是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；而，所以，故B正確；又，若，則，所以使時(shí)的最小值是21，故C正確；，又，所以最小時(shí)，，故D正確.【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·湖北武漢·期末）(多選)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，且，則下列命題正確的有（

）A．是數(shù)列中的最大項(xiàng) B．是數(shù)列中的最大項(xiàng)C． D．滿足的的最大值為【答案】ACD【分析】由得出，代入與，對(duì)選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，，對(duì)于A，，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，∵，，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，∵，∴，解得，∵，∴滿足的的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【題型9】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常用方法：(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得的最小值.②若,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得的最大值.(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當(dāng)Sn最大時(shí)，有，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對(duì)應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【例題1】已知等差數(shù)列,求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值，并求解此時(shí)的n為何值.【答案】的最大值為78，此時(shí)或.【分析】判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出時(shí)的最大值，再求出前n項(xiàng)和即可.【詳解】等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前12項(xiàng)均為正，第13項(xiàng)為0，從第14項(xiàng)起為負(fù)，所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列前n項(xiàng)和最大，.【例題2】（多選）已知無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）A．在數(shù)列中，公差 B．當(dāng)時(shí)，取得最大值C． D．使的最大正整數(shù)為14【答案】AB【分析】由已知條件可得，所以公差，即A正確；根據(jù)數(shù)列的遞減性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取得最大值，即B正確；又因?yàn)?，可知C錯(cuò)誤，經(jīng)計(jì)算可得的符號(hào)不確定，即D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意由可得，由可得；可設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即A正確；即可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以可得，即可得當(dāng)時(shí)，取得最大值，B正確；易得，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)可得，又因?yàn)?，所以的符?hào)不確定，所以D錯(cuò)誤.故選：AB【例題3】已知等差數(shù)列中，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則公差d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是遞減數(shù)列，且，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到不等式組，解之即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，且，又因?yàn)?，所以，即【例題4】（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)-57【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程組求出即可得，（2）由通項(xiàng)公式可求得當(dāng)時(shí)，，從而可得當(dāng)時(shí)，取到最小值，進(jìn)而可求出其最小值【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得，所以.（2）令，解得，所以當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，取到最小值，為.【鞏固練習(xí)1】為等差數(shù)列，若，，那么取得最小正值時(shí)，的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而得，由，結(jié)合條件得到，即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，所以，故等差?shù)列的公差，又，又，，得到，【鞏固練習(xí)2】已知等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得出，然后解不等式，可得出當(dāng)取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，整理可得，所以，，令，即，解得，因此，當(dāng)取最小值時(shí)，.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．時(shí)，n的最大值為13C．?dāng)?shù)列中的最大項(xiàng)為 D．時(shí)，n的最大值為27【答案】BC【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到和，從而逐項(xiàng)判斷.【詳解】由已知，，，所以等差數(shù)列的前13項(xiàng)大于0，從第14項(xiàng)開始小于0，B正確；則，所以是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；且為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，C正確；，D錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）(多選)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)的和，且，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．，均為的最大值【答案】BCD【分析】由題意首先得，結(jié)合已知可得，進(jìn)一步有，由此即可逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意，又是公差為d的等差數(shù)列，所以，故A錯(cuò)B對(duì)；從而，所以，均為的最大值，D對(duì)；而，所以，C對(duì).【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·湖北武漢·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．當(dāng)時(shí)，取得最小值 D．【答案】BC【詳解】由題意可知，故B正確D錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；而，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）(多選)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，進(jìn)而有，再由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和二次函數(shù)性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，則，所以，即，則，，A、C錯(cuò)；由，開口向上且對(duì)稱軸為，所以，，B、D對(duì).故選：BD【鞏固練習(xí)7】所以取得最小正值時(shí)，的值為已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．中最大【答案】D【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式即可得出，，進(jìn)而逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，中最大.【鞏固練習(xí)8】（22-23高二下·安徽·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差為d，首項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其前n項(xiàng)和取得最大值，則d的取值范圍是．【答案】【分析】先利用題給條件列出關(guān)于d的不等式組，解之即可求得d的取值范圍.【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其前n項(xiàng)和取得最大值，則，即，解得．【鞏固練習(xí)9】已知等差數(shù)列中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最小值，則公差的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，判斷的符號(hào)，即可得解.【詳解】由題意可得，即，解得，即公差的取值范圍是.故答案為：.【題型10】含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和找到數(shù)列中首次出現(xiàn)非正或非負(fù)數(shù)的位置，這通常發(fā)生在數(shù)列的中間部分，具體位置取決于和d的符號(hào)與大小。根據(jù)該轉(zhuǎn)折點(diǎn)將數(shù)列分為兩部分處理：一是所有正數(shù)項(xiàng)（或絕對(duì)值）的和，二是所有負(fù)數(shù)項(xiàng)（取其相反數(shù)后）的和。最后，將這兩部分的和相加即得整個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和?！纠}1】數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，利用相減法求得，再根據(jù)確定其各項(xiàng)的正負(fù)取值情況，從而可求的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以，所以時(shí)，，時(shí)，，故.【例題2】已知,若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【分析】分情況，即可根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】依題意，．當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故．故【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上·江蘇徐州·期中）在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A．281 B．651 C．701 D．791【答案】C【分析】根據(jù)給定條件,求出等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式,判斷正數(shù)、負(fù)數(shù)項(xiàng),再求出.【詳解】等差數(shù)列中,由,得公差,則,顯然當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以【鞏固練習(xí)2】（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.則數(shù)列的前20項(xiàng)和為．【答案】218【分析】根據(jù)題意，列式求出的通項(xiàng)公式，判斷當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，列式求出數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的前20項(xiàng)和為，則.【鞏固練習(xí)3】已知,設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【分析】求出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分兩種情況，求解答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.【鞏固練習(xí)4】（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.【鞏固練習(xí)5】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用等差數(shù)列的求和公式，求得,令，得到時(shí)，，時(shí)，，根據(jù)，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且?shù)列bn的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得，數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求取最大值時(shí)的值；(3)設(shè)，求．【答案】(1)(2)6(3)【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，即可求得通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案；（3）判斷數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)情況，討論n的取值，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，則，則，故，故通項(xiàng)公式．（2）結(jié)合（1）可得，當(dāng)時(shí)，取最大值．（3），由，得，即時(shí)有，時(shí)有，若，，若時(shí)，，綜合上述．【鞏固練習(xí)7】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)為何值時(shí)，最??？并求此最小值.【答案】8，4【分析】由，分，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，又，所以的最小值為7；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，又，所以的最小值為4，綜上：的最小值為4.【題型11】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用【例題1】已知從冬至日起，小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長減等寸（減等寸：以相等的尺寸減少）.若雨水的日影長為95寸，冬至?小寒?大寒?立春的日影長之和為480寸，則冬至的日影長為（

）A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式列式求解即可.【詳解】由題意得十二個(gè)節(jié)氣的日影長成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以冬至的日影長為135寸.【例題2】中國載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù).運(yùn)送“神十八”的長征二號(hào)運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加3km，在達(dá)到離地面222km的高度時(shí)，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序，從點(diǎn)火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要12秒，則的值為.【答案】【分析】設(shè)每一秒鐘的路程為等差數(shù)列，由首項(xiàng)和公差寫出前項(xiàng)和公式，由列方程求出的值．【詳解】設(shè)每一秒鐘的路程為數(shù)列，由題意知為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，由前項(xiàng)和公式為，又，解得．【例題3】【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·云南迪慶·期末）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由，，和求各項(xiàng)的問題，如九兒問甲歌：“一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七.借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”意思是一位老人有九個(gè)兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排列都差3歲，所有兒子的年齡加起來是207.只要算出長子是多少歲，其他每個(gè)兒子的歲數(shù)就可以推算出來，則該問題中老人長子的歲數(shù)為（

）A．27 B．31 C．35 D．39【答案】C【分析】根據(jù)給定信息，可得九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)的前n項(xiàng)和公式列方程求解即可.【詳解】依題意，九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長子的歲數(shù)為，則，解得，所以該問題中老人長子的歲數(shù)為35.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·河南洛陽·期末）周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，則谷雨日影長為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和求解即得.【詳解】設(shè)冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長分別為，，，，前n項(xiàng)和，由小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，得，解得，，所以谷雨日影長為（尺）．【鞏固練習(xí)3】張揚(yáng)的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列．有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號(hào)的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個(gè)缺貨尺寸．幾天后，張揚(yáng)的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無法找到標(biāo)記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個(gè)尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時(shí)將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現(xiàn)在問題是，另外一個(gè)缺貨尺寸是（

）A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得尺碼的總個(gè)數(shù)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得總尺碼，繼而得到缺貨尺寸的總碼數(shù)，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】設(shè)第一個(gè)尺碼為，公差為，則，則，當(dāng)時(shí)，，故若不缺碼，所有尺寸加起來的總和為碼，所有缺貨尺碼的和為碼，又因?yàn)槿必浀囊粋€(gè)尺寸為碼，則另外一個(gè)缺貨尺寸碼【題型12】前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合（隔項(xiàng)等差，累加，前n項(xiàng)積，奇偶數(shù)列）【例題1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）(多選)已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．點(diǎn)在同