《信號(hào)與系統(tǒng)》課程講義2-4

§2.4

分配函數(shù)

一、分配函數(shù)1．問(wèn)題的引出（奇異函數(shù)的嚴(yán)格定義問(wèn)題）①狄拉克定義的不唯一性：如和②表現(xiàn)形式已超出普通函數(shù)的概念，只能作為“分配函數(shù)”或“廣義函數(shù)”來(lái)研究?！?.4

分配函數(shù)

待測(cè)物理量電壓表

顯示器電壓源

v(t)R測(cè)試系統(tǒng)讀值2．分配函數(shù)的概念引出①讀數(shù)并不是直接待測(cè)物理量本身(②v(t)的定義是借助h(t)來(lái)體現(xiàn)，故稱h(t)為檢試函數(shù)。而是待測(cè)函數(shù)v(t)與測(cè)試儀表特性h(t)二者綜合結(jié)果。)，§2.4

分配函數(shù)

3．分配函數(shù)的定義①分配函數(shù)g(t)是賦予檢試函數(shù)一個(gè)數(shù)②數(shù)可以為時(shí)的值或它的導(dǎo)數(shù)值，或其他與有關(guān)的值。③條件：連續(xù)的、具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)、即④⑤用內(nèi)積符號(hào)，實(shí)際上是賦值符號(hào)過(guò)程是緊致的?！?.4

分配函數(shù)4．是泛函的一種形式①固定構(gòu)成數(shù)集該映射過(guò)程為泛函…的泛函數(shù)§2.4分配函數(shù)②用內(nèi)積定義的泛函為線性連續(xù)泛函i)積分為線性運(yùn)算ii)連續(xù)性：利用這一條可證明某些函數(shù)序列的極限等于分配函數(shù)，即可。只要證明：存在§2.4分配函數(shù)二、1．用分配函數(shù)定義指定給的值為2．用普通函數(shù)序列的極限定義函數(shù)函數(shù)§2.4分配函數(shù)[例1]：證明：故：為任意一個(gè)正數(shù)§2.4分配函數(shù)[例2]：證明：§2.4分配函數(shù)3．的各種運(yùn)算證明：②相乘：證明：①相加：§2.4分配函數(shù)③反褶：證明：④尺度：(證明：當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

)∴令§2.4分配函數(shù)⑤時(shí)移：證明：∵∴⑥卷積證明：故：

i)§2.4分配函數(shù)ii)iii)iv)⑥卷積§2.4分配函數(shù)證明：在附近

故：⑦復(fù)合函數(shù)：(設(shè)有n個(gè)互不相等的實(shí)根且)§2.4分配函數(shù)[例3]：解：由于零點(diǎn)處零點(diǎn)處

故：§2.4分配函數(shù)⑧積分：滿足⑨微分：

證明：故，即：u(t)也可看作廣義函數(shù)，以它賦給值。故：為指定給以同理：值的廣義函數(shù)?！?.4分配函數(shù)三、沖激偶函數(shù)1．奇函數(shù)：證明：故：2．相乘：證明：

§2.4分配函數(shù)3．尺度：證明：

4．卷積②①§2.4分配函數(shù)[例4]：證明①②證明：②①§2.4分配函數(shù)四、廣義極限1．廣義函數(shù)序列極限一定存在，普通函數(shù)極限未必存在2．證明：故：