河北省灤南縣2023-2024學年高考適應(yīng)性月考卷(六)數(shù)學試題試卷_第1頁
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文檔簡介

河北省灤南縣2023-2024學年高考適應(yīng)性月考卷(六)數(shù)學試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.22.設(shè),則()A. B. C. D.3.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為()A. B. C. D.5.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.6.設(shè),,則()A. B.C. D.7.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣28.已知等比數(shù)列的前項和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.9.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.若單位向量,夾角為,,且,則實數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-111.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,12.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,且,則______.14.設(shè)函數(shù),當時,記最大值為,則的最小值為______.15.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.16.展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)的零點個數(shù);(2)求證:.18.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識,高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.19.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:20.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.21.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查,獲得了一個容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動,若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線經(jīng)過點且傾斜角為.(1)求曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程;(2)已知直線與曲線交于,滿足為的中點,求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡,由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設(shè)切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用,考查了學生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.4、C【解析】

利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長棱為AD,算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長的棱長為故選:C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題,其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.6、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z=(1+2i)(1+ai)=,又因為z∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及概念,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標,即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為,該點位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用向量模的運算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運算,求得實數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點睛】本小題主要考查向量模的運算,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式,化簡后求得,利用等差數(shù)列前公式化簡,由此求得表達式的值.【詳解】因為,所以.故填:.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

易知,設(shè),,利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當時,,所以單調(diào)遞減令,當時,,所以單調(diào)遞增所以當時,,,則則,即故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.15、【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.16、4【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的,利用題意,得出不等式組,求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知,,故答案為:4.【點睛】該題考查的是有關(guān)二項式定理的問題,涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)見解析【解析】

(1)利用的導函數(shù),求得的最大值的表達式,對進行分類討論,由此判斷出的零點的個數(shù).(2)由,得到和,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證得,即有,從而證得,即.【詳解】(1),∴當時,,當時,在上遞增,在上遞減,.令在上遞減,在上遞增,,當且僅當時取等號.①時,有一個零點;②時,,此時有兩個零點;③時,,令在上遞增,,此時有兩個零點;綜上:時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)由(1)可知:,令在上遞增,.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析【解析】

(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超幾何分布求解即可【詳解】(1)因為學生總數(shù)為1000人,該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值為0,1,2,3,,,,,的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題19、(1)(2)見解析【解析】

(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當且僅當時等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當時,.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20、(1);(2)【解析】

(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設(shè)直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關(guān)于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設(shè)直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設(shè),則,所以,所以,所以.設(shè)點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查平行線的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于難題.21、(1)見解析,有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)【解析】

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表,然后計算出,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論;(2)由題意得概率為古典概型,根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則,所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)在城鎮(zhèn)居民140人中,經(jīng)常閱讀的有100人,不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人,則其中經(jīng)常閱讀的有5人,記為、、、、;不經(jīng)常閱讀的有2人,記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言,所有可能的情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21種,被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種,所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算,以及獨立性檢驗的應(yīng)用,利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵,考查學生的計算能力.對于古典概型,要求事件總數(shù)是可數(shù)的,滿足條件的事件個數(shù)可數(shù),使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可,屬于中檔題.22、(1),;

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