小初高試卷模板

第頁(yè)榆林市2024至2025學(xué)年高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與簡(jiǎn)易邏輯?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)與解三角形?平面向量?復(fù)數(shù)?數(shù)列?空間向量與立體幾何.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件4.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則（）A.B.C.D.5.下圖是學(xué)校體育場(chǎng)經(jīng)常使用的籃球收納筐（有蓋），已知一個(gè)籃球的半徑為12厘米，收納筐底面的長(zhǎng)和寬分別為和.若要放下8個(gè)這樣的籃球，則籃球收納筐的高度的最小整數(shù)值為（）A.39B.40C.41D.426.在等腰梯形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的值不可能為（）A.15B.12C.9D.67.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?若，則的值為（）A.8B.6C.4D.28.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正三棱柱的外接球的體積為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.在上的最小值為2D.若，則的最小值為10.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到C.若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則D.函數(shù)的最大值為11.如圖所示，在四棱錐中，底面是長(zhǎng)方形，平面是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面平面B.若三棱錐的體積為四棱錐的體積的，則為的中點(diǎn)C.若，則不存在點(diǎn)使得直線和的夾角為D.設(shè)平面平面，則點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）的過(guò)程中，二面角的平面角的大小逐漸減小三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則__________.13.已知和是方程的兩個(gè)根，計(jì)算__________.14.將5個(gè)1，5個(gè)2，5個(gè)3，5個(gè)4，5個(gè)5這25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)表示第行的5個(gè)數(shù)字的和，記為的最小值，則的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在遞增數(shù)列中，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（15分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若外接圓的半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.18.（17分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）求的極值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.19.（17分）不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對(duì)于函數(shù)，我們把滿足的稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù).（1）證明：在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；（2）已知，且的前項(xiàng)和為.證明：①為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；②.絕密★啟用前榆林市2024至2025學(xué)年高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解析一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了集合的概念和運(yùn)算，從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，可以考查學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).【參考答案】C【試題解析】解法1：，故，故選（C）.解法2：，故選（C）.2.【命題意圖】本題以復(fù)數(shù)的除法為背景，可以有效考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的概念?運(yùn)算和幾何意義等知識(shí)理解和掌握程度，從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，本題也可以考查學(xué)生的直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).【參考答案】B【試題解析】解法1：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選（B）.解法2：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選（B）.解法3：因?yàn)閺?fù)數(shù)的輔角為，復(fù)數(shù)的輔角為，所以復(fù)數(shù)的輔角為，位于第二象限，故選（B）.3.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了不等式和簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)，可以重點(diǎn)考查學(xué)生靈活求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).【參考答案】B【試題解析】解法1：由可得：或，故“”是“”的必要不充分條件，故選（B）.解法2：設(shè)，可得：，且對(duì)于，都有，故“”是“”的必要不充分條件，故選（B）.4.【命題意圖】本題以導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義為背景，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)代數(shù)視角下直線與曲線相切的理解和掌握程度，同時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象和邏輯推理都有一定的要求.【參考答案】D【試題解析】解法1：，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.聯(lián)立可得：，所以，故選（D）.解法2：，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.因?yàn)?，令，可得：，所以與曲線的切點(diǎn)為，解得：，故選（D）.5.【命題意圖】本題以生活實(shí)際問(wèn)題為背景，重點(diǎn)考查學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力.從核心素養(yǎng)的角度看，本題對(duì)學(xué)生直觀想象?數(shù)學(xué)抽象?數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.【參考答案】C【試題解析】解法1：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，8個(gè)球的球心組成了下圖所示的幾何體，則四棱錐為棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐，其高為，此時(shí)，故選（C）.解法2：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，左側(cè)的5個(gè)球的球心組成了棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故選（C）.6.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了平面向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，考生可以直接利用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算求解，也可以通過(guò)平面向量數(shù)量積的幾何意義快速求解，從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，本題可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).【參考答案】A【試題解析】解法1：以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，故選（A）.解法2：設(shè)在上的投影為，則，故選（A）.7.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，對(duì)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)和分析與解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力有較高要求.【參考答案】D【試題解析】解法1：因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng).而時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，故選（D）.解法2：因?yàn)樵谏线f增，所以，故選（D）.解法3：取，因?yàn)樵谏线f增，所以，故選（D）.8.【命題意圖】本題以外接球?yàn)楸尘?，考查學(xué)生直觀想象?邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)以及靈活解決問(wèn)題的能力.【參考答案】A【試題解析】解法1：設(shè)正三棱柱外接球的球心為，半徑為.記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，由正弦定理得：.而為的中點(diǎn)，所以，故選（A）.解法2：設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，故選（A）.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.9.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了不等式的性質(zhì)?基本不等式等綜合問(wèn)題，可以有效考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【參考答案】BC【試題解析】解法1：因?yàn)椋?，（A）錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，（B）正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（C）正確；當(dāng)，時(shí)，，（D）錯(cuò)誤，故選（B）（C）.解法2：因?yàn)樵谏线f減，，所以，（A）錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以在上遞增，，（B）正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2，（C）正確；因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，（D）錯(cuò)誤，故選（B）（C）.10.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對(duì)考生的邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)有較高的要求，同時(shí)還考查了學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合等關(guān)鍵能力.【參考答案】ABD【試題解析】解法1：，其函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可得：在上單調(diào)遞增，（A）正確；當(dāng)時(shí)，取得最大值2，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，（B）正確；因?yàn)?，所以與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即：，故，（C）錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（D）正確，故選（A）（B）（D）.B選項(xiàng)：解法2：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，（A）正確；因?yàn)?，將其向右平移可得：，（B）正確；時(shí)，所以取得最大值，該函數(shù)在最多一個(gè)最大值，（C）錯(cuò)誤；，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，（D）正確，故選（A）（B）（D）.11.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系以及平行?垂直和夾角等綜合問(wèn)題，考生可以建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求解，也可以通過(guò)直觀想象快捷解決問(wèn)題.本題可以重點(diǎn)考查學(xué)生直觀想象?邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【參考答案】AB【試題解析】解法1：因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，而平面，?當(dāng)于時(shí)，，所以平面，又平面，所以平面平面，（A）正確；因?yàn)椋?，所以，即，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的一半，故為的中點(diǎn)，（B）正確；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)交于，連結(jié)，則，而為等邊三角形，故存在點(diǎn)使得直線和的夾角為，（C）錯(cuò)誤；過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則.過(guò)作于，連結(jié)，過(guò)作于，連結(jié)，設(shè)二面角的平面角為，則均為定值，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，先增加到1，而后逐漸減小，故先減小后增大，二面角平面角的大小也先減小后增大，（D）錯(cuò)誤；選（A）（B）.解法2：當(dāng)于時(shí)，平面平面，（A）正確；若三棱錐的體積為四棱錐體積的，則為的中點(diǎn)，（B）正確；若，將該四棱錐放入正方體，為的中點(diǎn)時(shí)，和的夾角為，（C）錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度趨于正無(wú)窮大，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，二面角的平面角趨于，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，二面角的平面角趨于，（D）錯(cuò)誤；選（A）（B）.解法3：當(dāng)于時(shí)，平面平面，（A）正確；若三棱錐的體積為四棱錐體積的，則為的中點(diǎn)，（B）正確；若，將該四棱錐放入正方體，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，令，解得：，（C）錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，同理可得：平面的一個(gè)法向量，所以在上不單調(diào)，（D）錯(cuò)誤；選（A）（B）.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【命題意圖】本題著重考查考生對(duì)前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系理解和掌握，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【參考答案】11【試題解析】解法1：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.解法2：.13.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了兩角和的正切公式的靈活應(yīng)用，滲透特殊與一般的思想，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).【參考答案】【試題解析】解法1：，所以，即.解法2：a）.解法3：令，則和0是方程的兩個(gè)根，.14.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查合情推理的應(yīng)用，涉及分類(lèi)討論和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，突出理性思維?數(shù)學(xué)探究.對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及邏輯推理等關(guān)鍵能力有較高的要求.【參考答案】10【試題解析】解法1：當(dāng)某一行中含有1時(shí)，根據(jù)題中提到的同一行中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2，可知該行不可能出現(xiàn)4和5，所以最多有3行含1.這時(shí)候可以考慮將4和5放置最后兩行，只需研究前三行.①當(dāng)含1的行數(shù)只有1行時(shí)，顯然；②當(dāng)含1的行數(shù)有2行時(shí)，有一行至少有3個(gè)1，這一行剩下的兩個(gè)數(shù)都不超過(guò)3，則9；③當(dāng)含1的行數(shù)有3行時(shí)，因?yàn)楹?的行中其他的數(shù)只能是2或3，而數(shù)共有15個(gè)，所以這3行只能全都是1，2或3.這三行的和為，因此，當(dāng)按下表排列時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為10.1123311233122234444455555解法2：當(dāng)某一行中含有1時(shí)，該行不可能出現(xiàn)4和5，可以考慮將4和5放置最后兩行，只需研究前三行.①若5個(gè)1分布在同一行，；②若5個(gè)1分布在兩行，則這兩行中最大數(shù)至多為；③若5個(gè)1分布在三行，則這三行中最大數(shù)至多為，當(dāng)前三行按下表排列時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為10.112331123312223解法3：由題可知4和5存在的時(shí)候，1不能存在，所以4和5單獨(dú)研究，可以把它們放置在最后兩行.那么前三行之和是30，所以最小值中的最大值一定就是平均值10.當(dāng)前三行按下表排列時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為10.112331123312223四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.【命題意圖】本題數(shù)列的概念?通項(xiàng)公式?等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式等知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).【參考答案】見(jiàn)解析【試題解析】解法1：（1）因?yàn)?，所以，解得：，同理可得：或?，又因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以；（2）因?yàn)椋曰?，又因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以.解法2：（1）因?yàn)?，所以或，又因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以；（2）因?yàn)?，所?16.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查三角恒等變換?正余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)解三角形來(lái)考查學(xué)生直觀想象?邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程?化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【參考答案】見(jiàn)解析【試題解析】（1）解法1：因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，而，所以，即：，因?yàn)椋?解法2：因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，而，所以，即：，因?yàn)椋?，所?（2）解法1：因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以，由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形周長(zhǎng)的最大值為3.解法2：因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以由正弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故周長(zhǎng)的最大值為3.17.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查了棱錐的基本概念?線面平行的證明和線面角的計(jì)算等問(wèn)題，從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，也考查了學(xué)生的直觀想象能力?邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力以及創(chuàng)新思維品質(zhì)等.【參考答案】見(jiàn)解析【試題解析】解法1：（1）證明：因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，.設(shè)平面的法向量為，由可得：令，則.因?yàn)?，平面，所以平面；?）由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，而，，解得或，故長(zhǎng)為2或4.解法2：（1）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，則.因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?；?）作直三棱柱，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，所以在平面的投影即為，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形?設(shè)，則，則，解得或，故長(zhǎng)為2或4.18.【命題意圖】本題考查基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則