《電路分析基礎(chǔ)》課件第2章 電阻電路分析

第2章電阻電路分析2.1支路電流法

一、支路電流法二、獨(dú)立方程的列寫(xiě)2.2網(wǎng)孔分析法

一、網(wǎng)孔電流二、網(wǎng)孔電流法2.3節(jié)點(diǎn)電位法

一、節(jié)點(diǎn)電位二、節(jié)點(diǎn)電位法2.4疊加定理、齊次定理和替代定理

一、疊加定理二、齊次定理三、替代定理將僅包含電阻、獨(dú)立源和受控源的電路稱為電阻電路。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-1

頁(yè)2.5等效電源定理

一、戴維寧定理二、諾頓定理2.6最大功率傳輸定理一、最大功率傳輸問(wèn)題二、最大功率傳輸定理(本章共113頁(yè))P104P2P22P45P66P83點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁(yè)碼即可打開(kāi)該節(jié)在一個(gè)支路中的各元件上流經(jīng)的只能是同一個(gè)電流，支路兩端電壓等于該支路上相串聯(lián)各元件上電壓的代數(shù)和，由元件約束關(guān)系(VAR)不難得到每個(gè)支路上的電流與支路兩端電壓的關(guān)系，即支路的VAR。如圖2.1-1所示。

圖2.1-1電路中一條支路(2.1-1)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-2

頁(yè)2.1支路電流法它的VAR為一、支路電流法

如圖2.1-2電路，圖2.1-2支路電流法分析用圖它有3條支路，設(shè)各支路電流分別為i1,i2,i3,其參考方向標(biāo)示在圖上。就本例而言，問(wèn)題是如何找到包含未知量i1,i2,i3

的3個(gè)相互獨(dú)立的方程組呢？根據(jù)KCL，對(duì)節(jié)點(diǎn)a

和

b

分別建立電流方程。設(shè)流出節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，則有節(jié)點(diǎn)a

(2.1-2)節(jié)點(diǎn)

b

(2.1-3)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-3

頁(yè)2.1支路電流法

根據(jù)KVL，按圖中所標(biāo)巡行方向(或稱繞行方向)對(duì)回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別列寫(xiě)KVL方程(注意：在列寫(xiě)方程中，若遇到電阻，兩端電壓就應(yīng)用歐姆定律表示為電阻與電流乘積)，得回路Ⅰ(2.1-4)圖2.1-2支路電流法分析用圖回路Ⅱ(2.1-5)回路Ⅲ

(2.1-6)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-4

頁(yè)2.1支路電流法

當(dāng)未知變量數(shù)目與獨(dú)立方程數(shù)目相等時(shí)，未知變量才可能有唯一解。我們從上述5個(gè)方程中選取出3個(gè)相互獨(dú)立的方程如下：(2.1-7)(2.1-7)式即是圖2.1-2所示電路以支路電流為未知量的足夠的相互獨(dú)立的方程組之一，它完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關(guān)系。

應(yīng)用克萊姆法則求解(2.1-7)式。系數(shù)行列式Δ和各未知量所對(duì)應(yīng)的行列式Δj(j=1,2,3)分別為返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-5

頁(yè)2.1支路電流法返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-6

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頁(yè)2.1支路電流法所以求得支路電流返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-8

頁(yè)2.1支路電流法解出支路電流之后，再要求解電路中任何兩點(diǎn)之間的電壓或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。

例如，若再要求解圖2.1-2電路中的c點(diǎn)與d點(diǎn)之間電壓ucd及電壓源us1所產(chǎn)生的功率ps1，可由解出的電流i1、i2、i3方便地求得為2.1.2獨(dú)立方程的列寫(xiě)(1)從n

個(gè)節(jié)點(diǎn)中任意擇其n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，依KCL列節(jié)點(diǎn)電流方程，則n-1個(gè)方程將是相互獨(dú)立的。這一點(diǎn)是不難理解的，因?yàn)槿我粭l支路一定與電路中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，它上面的電流總是從一個(gè)節(jié)點(diǎn)流出，流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)。如果對(duì)所有n

個(gè)節(jié)點(diǎn)列KCL方程時(shí)，規(guī)定流出節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)，每一個(gè)支路電流在n個(gè)方程中一定出現(xiàn)兩次，一次為正號(hào)(+ij),一次為負(fù)號(hào)(-ij),若把這n個(gè)方程相加，它一定是等于零的恒等式，即(2.1-8)式中：n表示節(jié)點(diǎn)數(shù)；(∑i)k

表示第

k

個(gè)節(jié)點(diǎn)電流代數(shù)和；返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-9

頁(yè)2.1支路電流法表示對(duì)

n

個(gè)節(jié)點(diǎn)電流和再求和；表示b條支路一次取正號(hào)，一次取負(fù)號(hào)的電流和。

(2.1-8)式說(shuō)明依KCL列出的n個(gè)KCL方程不是相互獨(dú)立的。但從這n個(gè)方程中任意去掉一個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程，那么與該節(jié)點(diǎn)相連的各支路電流在余下的

n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程中只出現(xiàn)一次。如果將剩下的

n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程相加，其結(jié)果不可能恒為零，所以這n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程是相互獨(dú)立的。習(xí)慣上把電路中所列方程相互獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-10

頁(yè)2.1支路電流法(2)n個(gè)節(jié)點(diǎn)b

條支路的電路，用支路電流法分析時(shí)需b個(gè)相互獨(dú)立的方程，由KCL已經(jīng)列出了n－1個(gè)相互獨(dú)立的KCL方程，那么剩下的b－(n－1)個(gè)獨(dú)立方程當(dāng)然應(yīng)該由KVL列出?？梢宰C明，由KVL能列寫(xiě)且僅能列寫(xiě)的獨(dú)立方程數(shù)為b－n+1個(gè)。

習(xí)慣上把能列寫(xiě)?yīng)毩⒎匠痰幕芈贩Q為獨(dú)立回路。獨(dú)立回路可以這樣選?。?/p>

使所選各回路都包含一條其他回路所沒(méi)有的新支路。對(duì)平面電路，如果它有

n

個(gè)節(jié)點(diǎn)、b

條支路，也可以證明它的網(wǎng)孔數(shù)恰為b－n+1個(gè)，按網(wǎng)孔由KVL列出的電壓方程相互獨(dú)立。

歸納、明確支路電流法分析電路的步驟：返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-11

頁(yè)2.1支路電流法

第一步：設(shè)出各支路電流，標(biāo)明參考方向。任取n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)，依KCL列獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電流方程(n

為電路節(jié)點(diǎn)數(shù))。

第二步：選取獨(dú)立回路(平面電路一般選網(wǎng)孔)，并選定巡行方向，依KVL列寫(xiě)出所選獨(dú)立回路電壓方程。

第三步：如若電路中含有受控源，還應(yīng)將控制量用未知電流表示，多加一個(gè)輔助方程。

第四步：求解一、二、三步列寫(xiě)的聯(lián)立方程組，就得到各支路電流。

第五步：如果需要，再根據(jù)元件約束關(guān)系計(jì)算電路中任何處的電壓、功率。

下面舉幾個(gè)例子。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-12

頁(yè)2.1支路電流法

例2.1-1圖示2.1-3電路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求電壓uab及各電源產(chǎn)生的功率。

圖2.1-3例2.1-1用圖解設(shè)支路電流i1,i2,i3

參考方向如圖中所標(biāo)。依KCL列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)a

的電流方程為(2.1-9)

選網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路，并設(shè)繞行方向于圖上，由KVL列寫(xiě)網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ的電壓方程分別為網(wǎng)孔Ⅰ(2.1-10)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-13

頁(yè)2.1支路電流法網(wǎng)孔Ⅱ(2.1-11)用克萊姆法則求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程組。Δ與Δj分別為返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-14

頁(yè)2.1支路電流法返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-15

頁(yè)2.1支路電流法所以電流i1,i2,i3分別為電壓設(shè)電源us1,us2,us3

產(chǎn)生的功率分別為ps1,ps2,ps3,由求得的支路電流，可算得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-16

頁(yè)2.1支路電流法圖2.1-3例2.1-1用圖例2.1-2如圖2.1-4所示電路中含有一電流控制電壓源，求電流i1、i2和電壓u。圖2.1-4例2.1-2用圖解

本電路雖有3個(gè)支路，但有一個(gè)支路的電流是6A的電流源，所以只有兩個(gè)未知電流i1、i2。(二者的參考方向在圖中已經(jīng)標(biāo)出，勿需自行再標(biāo))。另外，雖然本電路中含有受控電壓源，但它的控制量是電路中的一個(gè)未知電流，不需要再另外增加輔助方程。

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頁(yè)2.1支路電流法對(duì)b點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程，有

i2=i1+6

(2.1-12)

對(duì)回路A列寫(xiě)KVL方程(注意把受控電壓源視為獨(dú)立電壓源一樣看待參與列寫(xiě)基本方程)，有

1×i1+3i2+2i1=12

(2.1-13)

聯(lián)立(2.1-12)式和(2.1-13)式,解得i1=－1A，

i2=5A

再應(yīng)用KVL求得電壓為

u=3i2+2i1=3×5+2×(－1)=13V返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-18

頁(yè)2.1支路電流法圖2.1-4例2.1-2用圖

例2.1-3如圖2.1-5所示電路中包含有電壓控制的電壓源，試以支路電流作為求解變量，列寫(xiě)出求解本電路所必需的獨(dú)立方程組。(對(duì)所列方程不必求解。)圖2.1-5例2.1-3用圖解

設(shè)各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖所示。應(yīng)用KCL、KVL及元件VAR列寫(xiě)方程為

對(duì)節(jié)點(diǎn)a

－i1+i2+i3=0

對(duì)網(wǎng)孔Ⅰ

R1i1+R2i2+0=us

對(duì)網(wǎng)孔Ⅱ

－R2i2+(R3+R4)i3=μu1

上述3個(gè)方程有i1、i2、i3及u14個(gè)未知量，無(wú)法求解，還必須尋求另一個(gè)獨(dú)立方程。將控制量u1用支路電流表示,即

u1=R1i1返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-19

頁(yè)2.1支路電流法補(bǔ)充例：用支路法求解下圖所示電路中各支路電流及各電阻吸收的功率。解：(1)標(biāo)出支路電流的參考方向，如圖所示。(2)選定獨(dú)立回路，這里選網(wǎng)孔，如圖所示。(3)對(duì)無(wú)伴電流源(沒(méi)有電阻與之并聯(lián))的處理方法：在其兩端設(shè)定一電壓U；(4)對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)a，列KCL方程為：i2–i1–2=0(1)(5)對(duì)兩個(gè)網(wǎng)孔，利用KVL和OL列回路方程為：2i1+U–12=0(2)

2i2+2u1–U=0(3)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-20

頁(yè)2.1支路電流法(6)上面三個(gè)方程，四個(gè)未知量。補(bǔ)一個(gè)方程：將受控源控制量u1用支路電流表示，有

u1=2i1(4)(7)解式(1)(2)(3)(4)得支路電流為

i1=1A，i2=3A(8)求電阻吸收的功率為

P1=i12×2=2(W)，P2=i22×2=18(W)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-21

頁(yè)2.1支路電流法2.2.1網(wǎng)孔電流欲使方程數(shù)目減少，必使求解的未知量數(shù)目減少。

在一個(gè)平面電路里，因?yàn)榫W(wǎng)孔是由若干條支路構(gòu)成的閉合回路，所以它的網(wǎng)孔個(gè)數(shù)必定少于支路個(gè)數(shù)。

如果我們?cè)O(shè)想在電路的每個(gè)網(wǎng)孔里有一假想的電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路循環(huán)流動(dòng)，如圖2.2-1中實(shí)線箭頭所示，把這一假想的電流稱作網(wǎng)孔電流。圖2.2-1網(wǎng)孔法分析用圖返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-22

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法網(wǎng)孔電流是完備的電路變量例如圖2.2-1電路中圖2.2-1網(wǎng)孔法分析用圖

如果某支路屬于兩個(gè)網(wǎng)孔所共有，則該支路上的電流就等于流經(jīng)該支路二網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。例如圖2.2-1電路中支路電流i4,它等于流經(jīng)該支路的A、C

網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。與支路電流方向一致的網(wǎng)孔電流取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)，即有返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-23

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法網(wǎng)孔電流是相互獨(dú)立的變量

如圖2.2-1電路中的3個(gè)網(wǎng)孔電流iA,iB,iC,知其中任意兩個(gè)求不出第三個(gè)。圖2.2-1網(wǎng)孔法分析用圖

這是因?yàn)槊總€(gè)網(wǎng)孔電流在它流進(jìn)某一節(jié)點(diǎn)的同時(shí)又流出該節(jié)點(diǎn)，它自身滿足了KCL，所以不能通過(guò)節(jié)點(diǎn)KCL方程建立各網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，也就說(shuō)明了網(wǎng)孔電流是相互獨(dú)立的變量。2.2.2網(wǎng)孔電流法

對(duì)平面電路，以假想的網(wǎng)孔電流作未知量，依KVL列出網(wǎng)孔電壓方程式(網(wǎng)孔內(nèi)電阻上電壓通過(guò)歐姆定律換算為電阻乘電流表示)，求解出網(wǎng)孔電流，進(jìn)而求得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱網(wǎng)孔電流法(簡(jiǎn)稱網(wǎng)孔法)。

應(yīng)用網(wǎng)孔法分析電路的關(guān)鍵是如何簡(jiǎn)便、正確地列寫(xiě)出網(wǎng)孔電壓方程(在2.1中已經(jīng)明確過(guò)網(wǎng)孔電壓方程是相互獨(dú)立的)。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-24

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法設(shè)圖2.2-1電路中網(wǎng)孔電流

iA,iB,iC,其參考方向即作為列寫(xiě)方程的巡行方向。按網(wǎng)孔列寫(xiě)KVL方程如下：圖2.2-1網(wǎng)孔法分析用圖網(wǎng)孔A網(wǎng)孔B網(wǎng)孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

為了便于應(yīng)用克萊姆法則求解(或在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用MATLAB工具軟件求解)上述3個(gè)方程，需要按未知量順序排列并加以整理，同時(shí)將已知激勵(lì)源也移至等式右端。這樣，整理改寫(xiě)上述3個(gè)式子得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-25

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法(2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)觀察(2.2-1)式，可以看出：

(1)iA前的系數(shù)(R1+R4+R5)恰好是網(wǎng)孔A

內(nèi)所有電阻之和，稱它為網(wǎng)孔A的自電阻，以符號(hào)R11

表示；(2)iB

前的系數(shù)(+R5)是網(wǎng)孔A

和網(wǎng)孔B

公共支路上的電阻，稱它為網(wǎng)孔

A

與網(wǎng)孔B

的互電阻，以符號(hào)R12表示。由于流過(guò)R5

的網(wǎng)孔電流iA、iB

方向相同，故R5前為“+”號(hào)；

返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-26

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法(3)iC

前系數(shù)(－R4)是網(wǎng)孔

A

和網(wǎng)孔C

公共支路上的電阻，稱它為網(wǎng)孔A

與網(wǎng)孔C

的互電阻，以符號(hào)

R13表示。由于流經(jīng)R4

的網(wǎng)孔電流iA、iC

方向相反，故R4

前取“－”號(hào)；(4)等式右端us1－us4表示網(wǎng)孔

A

中電壓源的代數(shù)和，以符號(hào)us11表示。計(jì)算us11時(shí)遇到各電壓源的取號(hào)法則是，在巡行中先遇到電壓源正極性端取負(fù)號(hào)，反之取正號(hào)。

用同樣的方法可求出(2.2-2)、(2.2-3)式的自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，即返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-27

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法圖2.2-1網(wǎng)孔法分析用圖

歸納總結(jié)得到應(yīng)用網(wǎng)孔法分析具有3個(gè)網(wǎng)孔電路的方程通式(一般式)，即(2.2-4)如果電路有m

個(gè)網(wǎng)孔，也不難得到列寫(xiě)網(wǎng)孔方程的通式為

(2.2-5)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-28

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

有了方程通式，只需設(shè)出網(wǎng)孔電流，觀察電路，求出自電阻、互電阻及等效電壓源并代入(2.2-4)式或(2.2-5)式,即得到按未知量順序排列的相互獨(dú)立的方程組，這當(dāng)然對(duì)求解電路是方便的。

在應(yīng)用方程通式列方程時(shí)要特別注意“取號(hào)”問(wèn)題：(1)因取網(wǎng)孔電流方向作為列寫(xiě)KVL方程的巡行方向，所以各網(wǎng)孔的自電阻恒為正；

(2)為了使方程通式形式整齊統(tǒng)一，故把公共支路電阻上電壓的正負(fù)號(hào)歸納在有關(guān)的互電阻中，使(2.2-4)式或(2.2-5)式的左端各項(xiàng)前都是“+”號(hào)，但求互電阻時(shí)就要注意取正號(hào)或取負(fù)號(hào)的問(wèn)題。兩網(wǎng)孔電流在流經(jīng)公共支路時(shí)方向一致，互電阻等于公共支路上電阻相加取正號(hào)，反之，取負(fù)號(hào)；返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-29

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

(3)求等效電壓源時(shí)遇電壓源的取號(hào)法則表面上看起來(lái)與應(yīng)用∑u=0列方程時(shí)遇電壓源的取號(hào)法則相反，實(shí)際上二者是完全一致的，因?yàn)榫W(wǎng)孔方程的us11(或us22、

us33)是直接放在等式右端的。下面通過(guò)具體例子說(shuō)明應(yīng)用網(wǎng)孔法分析電路的步驟。例2.2-1如圖2.2-2所示電路，求各支路電流。圖2.2-2例2.2-1用圖解

本問(wèn)題有6個(gè)支路，3個(gè)網(wǎng)孔，用上節(jié)講的支路電流法需解6元方程組，而用網(wǎng)孔法只需解3元方程，顯然網(wǎng)孔法要比支路電流法簡(jiǎn)單得多，今后用手解算電路的話，一般用網(wǎng)孔法而不用支路電流法。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-30

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

第一步：設(shè)網(wǎng)孔電流iA,iB,iC

如圖所示。一般網(wǎng)孔電流方向即認(rèn)為是列KVL方程時(shí)的巡行方向。

圖2.2-2例2.2-1用圖

第二步：觀察電路直接列寫(xiě)方程。觀察電路心算求自電阻、互電阻、等效電壓源數(shù)值，代入方程通式即寫(xiě)出所需要的方程組。就本例，把自電阻、互電阻、等效電壓源寫(xiě)出如下：

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頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法代入(2.2-4)式得(2.2-6)

第三步：解方程得各網(wǎng)孔電流。用克萊姆法則解(2.2-6)式方程組，各相應(yīng)行列式為返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-32

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法圖2.2-2例2.2-1用圖于是各網(wǎng)孔電流分別為

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頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

第四步：由網(wǎng)孔電流求各支路電流。設(shè)各支路電流參考方向如圖所示，根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，得

第五步：如果需要，可由支路電流求電路中任何處的電壓、功率。例2.2-2對(duì)圖2.2-3所示電路，求電阻

R上消耗的功率pR。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-34

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法圖2.2-3例2.2-2用圖

解本題并不需要求出所有支路電流，為求得R上消耗的功率，只需求出R上的電流即可。

如果按圖2.2-3(a)設(shè)網(wǎng)孔電流，需解出iA、

iC兩個(gè)網(wǎng)孔電流才能求得R上的電流，即iR=iA－iC。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-35

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

若對(duì)電路做伸縮扭動(dòng)變形，由圖2.2-3(a)變換為圖2.2-3(b)(注意節(jié)點(diǎn)2、4的變化),按圖2.2-3(b)設(shè)網(wǎng)孔電流iA、iB、iC，使所求支路電流iR恰為網(wǎng)孔C的網(wǎng)孔電流。按(2.2-4)式列寫(xiě)方程:(2.2-7)化簡(jiǎn)(2.2-7)式(第二個(gè)方程可兩端相約化簡(jiǎn))得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-36

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法由化簡(jiǎn)的方程組求得進(jìn)而可求得說(shuō)明：(1)網(wǎng)孔法是回路法的特殊情況。網(wǎng)孔只是平面電路的一組獨(dú)立回路，不過(guò)許多實(shí)際電路都屬于平面電路，選取網(wǎng)孔作獨(dú)立回路方便易行，所以把這種特殊條件下的回路法歸納為網(wǎng)孔法。

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頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法(2)回路法更具有一般性，它不僅適用于分析平面電路，而且也適用于分析非平面電路，在使用中還具有一定的靈活性

。

例2.2-3求圖2.2-4所示電路中的電壓uab。圖2.2-4例2.2-3用圖解設(shè)網(wǎng)孔電流iA,iB

如圖中所標(biāo)，觀察電路，應(yīng)用方程通式列基本方程為（2.2-8）返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-38

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法由圖可以看出控制量ux

僅與回路電流iB

有關(guān)，故有輔助方程（2.2-9）將(2.2-9)式代入(2.2-8)式并經(jīng)化簡(jiǎn)整理，得（2.2-10）解(2.2-10)方程組，得所以

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頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法例2.2-4對(duì)圖2.2-5所示電路，求各支路電流。圖2.2-5例2.2-4用圖

解本題圖2.2-5(a)所示的兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路上有一理想電流源。如果按圖2.2-5(a)所示電路設(shè)出網(wǎng)孔電流，如何列寫(xiě)網(wǎng)孔方程呢？

這里需注意，網(wǎng)孔方程實(shí)際上是依KVL列寫(xiě)的回路電壓方程，即網(wǎng)孔內(nèi)各元件上電壓代數(shù)和等于零，那么在巡行中遇到理想電流源(或受控電流源)，它兩端電壓取多大呢？返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-40

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

根據(jù)電流源特性，它的端電壓與外電路有關(guān)，在電路未求解出之前是未知的。

這時(shí)可先假設(shè)該電流源兩端電壓為ux，把ux當(dāng)做理想電壓源一樣看待列寫(xiě)基本方程。因?yàn)橐肓穗娏髟磧啥穗妷簎x這個(gè)未知量，所以列出的基本方程就少于未知量數(shù)，必須再找一個(gè)與之相互獨(dú)立的方程才可求解。

這個(gè)方程也是不難找到的，因?yàn)槔硐腚娏髟此谥返闹冯娏鱥3等于is，i3又等于二網(wǎng)孔電流代數(shù)和，這樣就可寫(xiě)輔助方程，即

iB－iA=is

用網(wǎng)孔法求解圖(a)電路所需的方程為

(2.2-11)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-41

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

將圖2.2-5(a)電路伸縮扭動(dòng)變形，使理想電流源所在支路單獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔，如圖2.2-5(b)電路所示。理想電流源支路單獨(dú)屬于網(wǎng)孔B，設(shè)B

網(wǎng)孔電流iB

與is方向一致，則所以只需列出網(wǎng)孔

A

一個(gè)方程即可求解。網(wǎng)孔A

的方程為所以進(jìn)一步可求得電流返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-42

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法(2.2-12)補(bǔ)充例:如圖電路，用回路法求電壓u。解：如圖中所標(biāo)回路電流，可知：i1=0.1u，

i3=4A返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-43

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

補(bǔ)例圖對(duì)回路2列方程為26i2–2i1–20i3=12

對(duì)上方程中出現(xiàn)的受控源的控制變量u，用回路電流表示該控制變量，有u=20(i3–i2)=20(4-i2)=80-20i2解得i2=3.6(A)，u=8(V)。小結(jié)：對(duì)受控源首先將它看成獨(dú)立電源；列出基本方程后，再補(bǔ)一個(gè)方程將控制量用回路電流表示。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-44

頁(yè)2.2網(wǎng)孔分析法

補(bǔ)例圖即2.3.1節(jié)點(diǎn)電位

在電路中，任選一節(jié)點(diǎn)作參考點(diǎn)，其余各節(jié)點(diǎn)到參考點(diǎn)之間的電壓稱為相應(yīng)各節(jié)點(diǎn)的電位。圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖

如圖2.3-1所示電路，選節(jié)點(diǎn)4作參考點(diǎn)(亦可選其他節(jié)點(diǎn)作參考點(diǎn))，設(shè)節(jié)點(diǎn)1、2、3的電位分別為v1、v2、v3。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-45

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

顯然，這個(gè)電路中任何兩點(diǎn)間的電壓，任何一支路上的電流，都可應(yīng)用已知的節(jié)點(diǎn)電位求出。例如，支路電流電導(dǎo)G5

吸收的功率

這就說(shuō)明了:節(jié)點(diǎn)電位是完備的變量。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-46

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖

觀察圖2.3-1可見(jiàn)，對(duì)電路中任何一個(gè)回路列寫(xiě)KVL方程，回路中的節(jié)點(diǎn)，其電位一定出現(xiàn)一次正號(hào)一次負(fù)號(hào)。

例如圖中

A

回路，由KVL列寫(xiě)方程為圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖

將上式中各電壓寫(xiě)為電位差表示，即有這說(shuō)明：節(jié)點(diǎn)電位變量是相互獨(dú)立的變量。

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頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

2.3.2節(jié)點(diǎn)電位法

以各節(jié)點(diǎn)電位為未知量，將各支路電流通過(guò)支路VAR用未知節(jié)點(diǎn)電位表示，依KCL列節(jié)點(diǎn)電流方程(簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)方程)，求解出各節(jié)點(diǎn)電位變量，進(jìn)而求得電路中需要求的電流、電壓、功率等，這種分析法稱為節(jié)點(diǎn)電位法。

下面我們以圖2.3-1電路為例來(lái)看方程的列寫(xiě)過(guò)程，并從中歸納總結(jié)出簡(jiǎn)便列寫(xiě)方程的方法。參考點(diǎn)與各節(jié)點(diǎn)電位如圖中所標(biāo)，設(shè)出各支路電流，由支路VAR將各支路電流用節(jié)點(diǎn)電位表示，即返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-48

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖(2.3-2)圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-49

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

現(xiàn)在依KCL列出節(jié)點(diǎn)1，2，3的KCL方程，設(shè)流出節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)，可得節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)3

圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖(2.3-3)將(2.3-2)式代入(2.3-3)式，得(2.3-4)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-50

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

為了方便應(yīng)用克萊姆法則求解，將(2.3-4)式按未知量順序重新排列，已知的電流源移至等式右端并加以整理，得

(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)

觀察整理后的方程，以(2.3-5)式為例，變量v1前的系數(shù)(G1+G5)恰是與第一個(gè)節(jié)點(diǎn)相連各支路的電導(dǎo)之和，稱為節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)，以符號(hào)G11表示。

變量v2前系數(shù)(-G1),它是1與2節(jié)點(diǎn)間的互電導(dǎo)，以符號(hào)G12表示，它等于與該兩節(jié)點(diǎn)相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號(hào)。v3

前系數(shù)(-G5)是節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)3之間的互電導(dǎo)，以G13表示，它等于與節(jié)點(diǎn)1、3相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號(hào)。

等式右端is1-is2

是流入節(jié)點(diǎn)1的電流源的代數(shù)和，以符號(hào)is11

表示，稱為等效電流源。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-51

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖計(jì)算is11

時(shí)是以流入節(jié)點(diǎn)1的電流源為正，流出節(jié)點(diǎn)1的電流源為負(fù)。同理可找出(2.3-6)、(2.3-7)式的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源，即歸納總結(jié)得到應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法分析具有3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電路的方程通式(一般式)，即(2.3-8)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-52

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圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法分析用圖如果電路有

n

個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，也不難得到列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程的通式為(2.3-9)例2.3-1如圖2.3-2所示電路，求電導(dǎo)G1、G2、G3

中的電流及圖中3個(gè)電流源分別產(chǎn)生的功率。圖2.3-2例2.3-1用圖返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-53

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

解

采用節(jié)點(diǎn)電位法求解。第一步：選參考點(diǎn)，設(shè)節(jié)點(diǎn)電位。圖2.3-2例2.3-1用圖對(duì)本問(wèn)題，選節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn)，設(shè)節(jié)點(diǎn)1、2、3的電位分別為v1、v2,v3。若電路接地點(diǎn)已給出，就不需要再選參考點(diǎn)，只需設(shè)出節(jié)點(diǎn)電位就算完成了這一步。

第二步：觀察電路，應(yīng)用(2.3-8)或(2.3-9)式直接列寫(xiě)方程。一般心算求出各節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)和等效電流源數(shù)值，代入通式寫(xiě)出方程。

當(dāng)然寫(xiě)出求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源的過(guò)程亦可以。對(duì)本例電路，有返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-54

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

將求得的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源代入式(2.3-8)，得(2.3-10)

第三步：解方程，求得各節(jié)點(diǎn)電位。用克萊姆法則解(2.3-10)方程組

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頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

所以，各節(jié)點(diǎn)電位分別為第四步：由求得的各節(jié)點(diǎn)電位，求題目中需要求的各量。我們先求3個(gè)電導(dǎo)上的電流。設(shè)通過(guò)電導(dǎo)G1、G2、G3

的電流分別為i1、i2、i3,參考方向如圖中所標(biāo)，由歐姆定律電導(dǎo)形式可算得3個(gè)電流分別為

再求電流源產(chǎn)生功率。設(shè)ps1、ps2、ps3分別代表電流源is1、is2、is3產(chǎn)生的功率。由計(jì)算一段電路產(chǎn)生功率的公式，算得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-56

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-2例2.3-1用圖例2.3-2如圖2.3-3(a)所示電路中，各電壓源、電阻的數(shù)值如圖上所標(biāo)，求各支路上的電流。圖2.3-3例2.3-2用圖解

在一些電路里，常給出電阻參數(shù)和電壓源形式的激勵(lì)。在這種情況下應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法分析時(shí)，可先應(yīng)用電源互換將電壓源形式變換為電流源形式，各電阻參數(shù)換算為電導(dǎo)參數(shù)，如圖(2.3-3)(b)所示。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-57

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

在(b)圖中，設(shè)節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn)，并設(shè)節(jié)點(diǎn)1、2的電位分別為v1,v2,可得方程組為化簡(jiǎn)上方程組，得(2.3-11)解(2.3-11)方程組，得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-58

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-3例2.3-2用圖所以，各節(jié)點(diǎn)電位分別為(b)圖所求的各節(jié)點(diǎn)電位數(shù)值也就是(a)圖相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電位值。在圖2.3-3(a)中設(shè)出各支路電流，由支路VAR,得返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-59

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法應(yīng)特別注意：列寫(xiě)方程時(shí)電阻要換算為電導(dǎo)；計(jì)算節(jié)點(diǎn)等效電流源時(shí)，該電流源的數(shù)值等于電壓除以該支路的電阻，若電壓源正極性端向著該節(jié)點(diǎn)則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。例2.3-3對(duì)圖2.3-4所示電路，求

u與

i。返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-60

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

圖2.3-3例2.3-2用圖圖2.3-4例2.3-3用圖解本問(wèn)題電路的1、4節(jié)點(diǎn)間有一理想電壓源支路，用節(jié)點(diǎn)法分析時(shí)可按下列步驟處理：(1)

若原電路沒(méi)有指定參考點(diǎn)，可選擇其理想電壓源支路所連的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之一作參考點(diǎn)，譬如本問(wèn)題，選節(jié)點(diǎn)4作為參考點(diǎn)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)1的電位v1=2V，可作為已知量，這樣可少列一個(gè)方程。設(shè)節(jié)點(diǎn)2、3的電位分別為v2、v3,由電路可寫(xiě)方程組(2.3-12)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-61

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

寫(xiě)(2.3-12)方程組時(shí)，把v1=2V當(dāng)作已知量直接代入了方程組。因?yàn)閷?duì)求電路的節(jié)點(diǎn)電位來(lái)說(shuō)，可以把電路中1Ω電阻與4A電流源相串聯(lián)的支路等效為一個(gè)4A電流源支路，所以與4A電流源串聯(lián)的1Ω電阻不能計(jì)入節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3自電導(dǎo)里，也不能計(jì)入節(jié)點(diǎn)2、3之間的互電導(dǎo)里。解(2.3-12)式方程組，得由歐姆定律，求得電流因?yàn)殡妷核噪妷悍祷乇菊履夸浵乱豁?yè)前一頁(yè)第2-62

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(2)若指定3為參考節(jié)點(diǎn)(如圖中所標(biāo))，設(shè)節(jié)點(diǎn)4的電位為v4,并對(duì)2V理想電壓源支路設(shè)電流ix(將該支路視為理想電流源ix支路)，對(duì)這個(gè)電路列寫(xiě)的方程組為圖2.3-4例2.3-3用圖解上4元方程組，得解的結(jié)果與(1)相同，但解的過(guò)程要比(1)情況麻煩很多！返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-63

頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

例2.3-4對(duì)圖2.3-5(a)所示電路，求v1,i1。圖2.3-5例2.3-4用圖解應(yīng)用電導(dǎo)串聯(lián)等效及電源互換等效將(a)圖等效為(b)圖。先將受控電流源視為獨(dú)立電流源參與列寫(xiě)基本方程，然后再補(bǔ)一個(gè)輔助方程，于是所列方程組為化簡(jiǎn)得(輔助方程)

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頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

6S和3S串聯(lián)等效電導(dǎo)為2S呦！應(yīng)用克萊姆法則求該方程組返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-65

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頁(yè)2.3節(jié)點(diǎn)電位法

返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)一、疊加定理1、基本內(nèi)容：對(duì)于具有唯一解的線性電路，多個(gè)激勵(lì)源共同作用時(shí)引起的響應(yīng)（電路中各處的電流、電壓）等于各個(gè)激勵(lì)源單獨(dú)作用時(shí)（其它激勵(lì)源的值置零）所引起的響應(yīng)之和。2、舉例說(shuō)明：(a)圖所示電路求u。先用節(jié)點(diǎn)法求(a)電路與用節(jié)點(diǎn)法算的結(jié)果完全相同。確信這個(gè)結(jié)果正確！第2-66

頁(yè)前一頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理電流源開(kāi)路電壓源短路返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-67

頁(yè)

上面這個(gè)例子的計(jì)算只能說(shuō)驗(yàn)證了疊加定理對(duì)這個(gè)具體電路是正確的，下面證明對(duì)于具有唯一解的任意線性電路，疊加定理均是正確的。3、證明：設(shè)具有唯一解的任意線性電路的網(wǎng)孔方程為（若含有電流源，可仿（2.2-11）式列方程）(1)應(yīng)用克萊姆法則解上方程組求i1,分別求特征行列式及相應(yīng)的代數(shù)余子式為,第2-67

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頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-68

頁(yè)式中：Δj1為Δ中第一列第j行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，j=1，2，…，m，例如usjj為第j個(gè)網(wǎng)孔獨(dú)立電壓源的代數(shù)和，所以第2-68

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頁(yè)(2)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入（2）式中，得式中，k11，k21，…，km1是與電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)及線性受控源有關(guān)的常數(shù)。（3）式說(shuō)明了第一個(gè)網(wǎng)孔中的電流i1可以看作是各網(wǎng)孔等效獨(dú)立電壓源分別單獨(dú)作用時(shí)在第一個(gè)網(wǎng)孔所產(chǎn)生電流的代數(shù)和。同理，其他網(wǎng)孔電流都可如此看待。

因電路中任意支路的電流是流經(jīng)該支路網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，又各網(wǎng)孔等效獨(dú)立電壓源等于各網(wǎng)孔內(nèi)獨(dú)立電壓源的代數(shù)和，所以電路中任意支路的電流都可以看作是電路中各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)在該支路中產(chǎn)生電流的代數(shù)和；

電路中任意支路的電壓與支路電流呈一次函數(shù)關(guān)系，所以電路中任一支路的電壓也可看作是電路中各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)在該支路兩端產(chǎn)生電壓的代數(shù)和。由此可見(jiàn)，對(duì)任意線性電路疊加定理都是成立的。(3)第2-69

頁(yè)返回本章目錄返回本章目錄返回本章目錄下一頁(yè)返回本章目錄下一頁(yè)2.4

疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)第2-70

頁(yè)前一頁(yè)4、在應(yīng)用疊加定理時(shí)應(yīng)注意：(1)疊加定理僅適用于線性電路求解電壓和電流響應(yīng)而不能用來(lái)計(jì)算功率.(2)應(yīng)用疊加定理求電壓、電流是代數(shù)量的疊加，應(yīng)特別注意各代數(shù)量的符號(hào).(3)當(dāng)一獨(dú)立源作用時(shí)，其他獨(dú)立源都應(yīng)等于零(即獨(dú)立理想電壓源短路，獨(dú)立理想電流源開(kāi)路)。(4)若電路中含有受控源，應(yīng)用疊加定理時(shí)，受控源不要單獨(dú)作用(這是勸告!若要單獨(dú)作用只會(huì)使問(wèn)題的分析求解更復(fù)雜化)，在獨(dú)立源每次單獨(dú)作用時(shí)受控源要保留其中，其數(shù)值隨每一獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)控制量數(shù)值的變化而變化。

(5)疊加的方式是任意的，可以一次使一個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用，也可以一次使幾個(gè)獨(dú)立源同時(shí)作用，方式的選擇取決于對(duì)分析計(jì)算問(wèn)題簡(jiǎn)便與否。例2.4–1如圖(a)所示電路，求電壓uab和電流i1。第2-70

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頁(yè)解將(a)圖電路作分解如(b)、(c)電路所示。在(b)、(c)圖中分別求得uab’、i1’，uab”、i1”由疊加定理得第2-71

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頁(yè)例2.4-2如圖(a)電路，含有一受控源，求電流i,電壓u。解將(a)圖電路作分解如(b)、(c)電路所示。特別注意在(b)與(c)圖中保留受控源。在(b)圖中應(yīng)用歐姆定律，求得A對(duì)(c)圖中回路A列KVL方程，有第2-72

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頁(yè)二、齊次定理1、基本內(nèi)容:對(duì)于具有唯一解的線性電路，當(dāng)只有一個(gè)激勵(lì)源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）作用時(shí)，其響應(yīng)（電路任意處的電壓或電流）與激勵(lì)成正比。io=K1uS(常量K1單位為S)uo=K2uS(常量K2無(wú)單位)io=K3iS(常量K3無(wú)單位)uo=K4iS(常量K4單位為Ω)齊次定理內(nèi)容的文字?jǐn)⑹隹蓺w納圖示為下列兩種情況第2-73

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頁(yè)2、應(yīng)用舉例2.4-5如圖電路，N是不含獨(dú)立源的線性電路，當(dāng)US=100V時(shí)，I1=3A，U2=50V，R3消耗功率P3=60W，今若US降為50V，試求相應(yīng)的I1’、U2’和P3’。解：

電路中N是不知內(nèi)部結(jié)構(gòu)的無(wú)獨(dú)立源的網(wǎng)絡(luò)，所以列寫(xiě)方程的各種方法均不能用來(lái)求解該問(wèn)題。但該電路只有一個(gè)獨(dú)立源，根據(jù)齊次定理，各處響應(yīng)與該激勵(lì)成正比，即激勵(lì)增加或減少多少倍，則各處電流電壓也相應(yīng)增加或減少多少倍。現(xiàn)激勵(lì)降為原來(lái)的50/100=0.5倍，所以有I1’=0.5I1=0.5×3=1.5(A)；U2’=0.5U2=0.5×50=25V;I3計(jì)算功率就不能簡(jiǎn)單的正比例關(guān)系計(jì)算，但可這樣處理：第2-74

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頁(yè)例2.4-6如圖梯形電阻電路，求電流I1。解：

該電路只有一個(gè)獨(dú)立源，看起來(lái)是電阻串并聯(lián)簡(jiǎn)單問(wèn)題，但真要求出總電流再經(jīng)3次分流求I1，過(guò)程相當(dāng)麻煩。根據(jù)齊次定理，各處響應(yīng)與該激勵(lì)成正比。故采用逆推方式，設(shè)定I1推出US，找出I1與US之間的比例常數(shù)。再代入現(xiàn)給出的Us數(shù)值求得I1。I7=I5+I6=15+41=56AUS=2I7+Uc=2×56+41=153V故k=I1/US=1/153S所以，當(dāng)US=306V時(shí)電流

I1=kUS=306/153=2A提醒：逆推思維方式與齊次定理的結(jié)合，巧妙地解答了本問(wèn)題。就本問(wèn)題你可用串并聯(lián)等效、經(jīng)多次分流計(jì)算計(jì)算，與本例的計(jì)算做個(gè)比較。設(shè)I1=1A，則利用OL，KCL，KVL逐次求得

Ua=(2+1)I1=3V

I2=Ua/1=3AI3=I1+I2=1+3=4A

Ub=2I3+Ua=2×4+3=11VI4=Ub/1=11A

I5=I3+I4=4+11=15AUC=2I5+Ub=2×15+11=41V

2.4疊加定理、齊次定理、置換定理I6=Uc/1=41A返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-76

頁(yè)3、論述齊次定理的正確性在證明疊加定理時(shí)得到的式(3)中，令us11=us，us22=0、…、usmm=0，則有i1=k11us顯然，電流i1只與激勵(lì)源us成正比例關(guān)系。同理可證其他的響應(yīng)電流或電壓也只與勵(lì)源us成正比例關(guān)系。4、應(yīng)用齊次定理時(shí)注意：(1)齊次定理只適用于具有唯一解的線性電路，不能用于非線性電路。(2)電路的響應(yīng)(response)也稱為輸出(output)，指電路中任意處的電流或電壓；功率不是電路響應(yīng)，與激勵(lì)源之間不存在線性關(guān)系。(3)激勵(lì)源(excitation)也稱為輸入(input)，指電路中的獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源；受控源不是激勵(lì)源。(4)齊次定理常與疊加定理相結(jié)合求解一類(lèi)典型的問(wèn)題。請(qǐng)看例2.4-7。第2-76

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頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-77

頁(yè)例2.4-7

如圖電路，N是含有獨(dú)立源的線性電路，已知當(dāng)us=6V，iS=0時(shí)，開(kāi)路電壓uo=4V；當(dāng)us=0V，iS=4A時(shí)，uo=0V；當(dāng)us=-3V，iS=-2A時(shí)，uo=2V；求當(dāng)us=3V，iS=3A時(shí)的電壓uo解：此類(lèi)型的問(wèn)題，只能應(yīng)用齊次定理與疊加定理相結(jié)合求解。將激勵(lì)源分為三組：①電壓源uS,②電流源iS,③N內(nèi)的全部獨(dú)立源。設(shè)僅由電壓源uS單獨(dú)作用時(shí)引起的響應(yīng)為uo’，根據(jù)齊次定理，令uo’=K1

uS僅由電流源iS單獨(dú)作用時(shí)引起的響應(yīng)為uo”，根據(jù)齊次定理，令uo”=K2

iS；僅由N內(nèi)部所有獨(dú)立源引起的響應(yīng)記為uo”’，于是，根據(jù)疊加定理，有uo=K1

uS+K2

iS+uo”’(1)將已知條件代入得6K1+uo”’=44K2+uo”’=0-3K1-2K2+uo”’=2解得uo”’=2VK2=-1/2ΩK1=1/3前一頁(yè)下一頁(yè)前一頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理將K1、K2、uo”’及us=3V、is=3A代入式(1)，得uo=K1

uS+K2

iS+uo”’=(1/3)×3＋（－1/2）×3＋2＝1.5V返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-78

頁(yè)三、替代定理替代定理也稱為置換定理，它對(duì)于簡(jiǎn)化電路的分析非常有用。它既可用于線性電路，也可用于非線性電路。1、替代定理的基本內(nèi)容具有唯一解的電路中，若知某支路k的電壓為uk，電流為ik，且該支路與電路中其他支路無(wú)耦合,則無(wú)論該支路是由什么元件組成的，都可用下列任何一個(gè)元件去替代：(1)電壓等于uk的理想電壓源；(2)電流等于ik的理想電流源；(3)阻值為uk/ik的電阻。替代以后該電路中其余部分的電壓、電流、功率均保持不變。右圖為替代定理三種情況的示意圖第2-78

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頁(yè)2、替代定理的正確性可作如下理解：(1)在數(shù)學(xué)中我們知道，對(duì)給定的有唯一解的一組方程，其中任何一個(gè)未知量，如用它的解答值來(lái)代替，不會(huì)引起方程中其他任何未知量的解答在量值上有所攺變。(2)對(duì)于電路問(wèn)題，依KCL、KVL列出方程，考慮電路是有唯一解的，即所列方程組有唯一解，電路中的支路電流、電壓是未知量，把k支路用其值等于k支路唯一解電壓值的理想電壓源替代（參見(jiàn)示意圖），就相當(dāng)于把方程組中某未知量用其解答來(lái)代替。

(3)而理想電壓源的輸出電流可以是任意的，它可以滿足該電路對(duì)支路電流的約束要求。所以，這種替代不會(huì)使其余任何一個(gè)支路電壓、電流發(fā)生變化。同理，也可推斷替代定理其他兩種形式亦是正確的。

3、應(yīng)用舉例例2.4-8圖（a）所示電路，求電流i1。第2-79

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頁(yè)

解

這個(gè)電路看起來(lái)比較復(fù)雜，但如果將短路線壓縮，ab合并為一點(diǎn)，3Ω與6Ω電阻并聯(lián)等效為一個(gè)2Ω的電阻，如圖（b）所示。

再把（b）圖中虛線框起來(lái)的部分看作一個(gè)支路k，且知這個(gè)支路的電流為4A（由（b）圖中下方4A理想電流源限定），應(yīng)用替代定理把支路k用4A理想電流源替代，如（c）圖所示。

再應(yīng)用電源互換將（c）圖等效為（d）圖，即可解得如果等效概念熟練之后，在求解問(wèn)題時(shí)并不需要畫(huà)出這么多等效圖，有些過(guò)程只需心算即可。第2-80

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頁(yè)

例2.4-9如圖(a)所示電路，巳知uab=0,求電阻R。解本電路中有一個(gè)未知電阻R，直接應(yīng)用網(wǎng)孔法或節(jié)點(diǎn)法求解比較麻煩。這是因?yàn)槲粗娮鑂在所列方程的系數(shù)里，整理化簡(jiǎn)方程的工作量比較大。

如果根據(jù)已知的條件求得ab支路電流，即先用1A理想電流源替代ab支路，如（b）圖所示。再應(yīng)用節(jié)點(diǎn)電位法求解就比較簡(jiǎn)便。

第2-81

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頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-82

頁(yè)對(duì)(b)圖列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程因uab=0，∴vb＝va＝8V在（a）圖中設(shè)出支路電流i1,iR電壓uR。由歐姆定律及KCL，得說(shuō)明:(1)在分析電路時(shí)，常用替代定理化簡(jiǎn)電路，輔助其他方法求解問(wèn)題

。(2)在推導(dǎo)一些新的定理與等效變換方法時(shí)也常用到它

。(3)實(shí)際工程中，在測(cè)試電路或試驗(yàn)設(shè)備中采用假負(fù)載（或稱模擬負(fù)載）的理論根據(jù)，就是替代定理。(4)替代定理并不滿足等效一般定義中的等效條件。因被替代的k支路與替代電路元件不具有相同的VAR。第2-82

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頁(yè)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-83

頁(yè)2.5等效電源定理等效電源定理說(shuō)明的就是如何將一個(gè)線性有源二端電路等效成一個(gè)電源的重要定理。如果將有源二端電路等效成電壓源形式，應(yīng)用的則是戴維寧定理；如果將有源二端電路等效成電流源形式，應(yīng)用的則是諾頓定理。一、戴維寧定理1、基本內(nèi)容：一個(gè)含獨(dú)立源、線性受控源、線性電阻的二端電路N，對(duì)其兩個(gè)端子來(lái)說(shuō)都可等效為一個(gè)理想電壓源串聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電壓源的數(shù)值為有源二端電路N的兩個(gè)端子間的開(kāi)路電壓uoc，串聯(lián)的內(nèi)阻為N內(nèi)部所有獨(dú)立源等于零（理想電壓源短路，理想電流源開(kāi)路），受控源保留時(shí)兩端子間的等效電阻Req，常記為Ro。以上的表述可用圖1來(lái)表示。N負(fù)載ab負(fù)載abR0uoc(b)(a)第2-83

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頁(yè)圖1戴維寧2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-84

頁(yè)2.如何求uoc？(1)先將負(fù)載支路斷開(kāi)，設(shè)出uoc的參考方向，如圖2所示。Nabuoc(2)計(jì)算該電路的端電壓uoc

：原則上前所學(xué)方法均可使用。但視具體電路形式①或采用串、并聯(lián)等效，分流分壓關(guān)系結(jié)合KCL、KVL求；②或采用電源互換，疊加定理，替代定理求；

③或采用網(wǎng)孔法，節(jié)點(diǎn)法求。3.求R0常用下述方法：(1)開(kāi)路、短路法。

①在求得電路N兩端子間開(kāi)路電壓uoc后，將兩端子短路，并設(shè)端子短路電流isc參考方向，如圖3所示。②應(yīng)用所學(xué)的任何方法求出isc。

③等效內(nèi)阻abiscN注意：若uoc參考方向a為高電位端，則isc的參考方向設(shè)成從a流向b

第2-84

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頁(yè)N內(nèi)所有的獨(dú)立源、受控源均保留。第2-84

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頁(yè)圖2

圖32.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-85

頁(yè)(2)外加電源法。

①令N內(nèi)所有的獨(dú)立源為0（理想電壓源短路，理想電流源開(kāi)路），若含有受控源，受控源要保留，這時(shí)的二端電路用N0表示；②在N0兩端子間外加電源

若加電壓源u，就求電流i

，如(a)圖所示。若加電流源i

，就求電壓u

，如(b)圖所示。N0i(b)uN0iu(a)③

N0兩端子間等效電阻說(shuō)明:(1)上述講的求R0的兩種方法具有一般性。即是說(shuō)無(wú)論N內(nèi)含不含受控源都可用這兩種辦法求R0。

(2)若二端電路N內(nèi)不含受控源，則由N變?yōu)镹0的電路是不含受控源的純電阻二端電路，這種情況的絕大多數(shù)都是可用電阻串、并聯(lián)等效更為簡(jiǎn)單的方法求得R0的，而不再用前述的“開(kāi)路、短路法”、“外加電源法”求R0。

(3)若N內(nèi)含有受控源，這種情況一般使用“開(kāi)路、短路法”或“外加電源法”求等效內(nèi)阻R0

。注意！u、i參考方向?qū)0為關(guān)聯(lián)假設(shè)。

圖42.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-86

頁(yè)4、證明

圖5為線性有源二端電路N與負(fù)載相連，設(shè)負(fù)載上電流為i，電壓為u。

N負(fù)載abui圖5二端電路N接負(fù)載電路

根據(jù)置換定理將負(fù)載用理想電流源i置換，如圖6（a）所示，置換后應(yīng)不影響N中各處的電壓、電流。由疊加定理，電壓u可分成兩部分，寫(xiě)為N(b)uN(a)iN0(c)iu’u’’圖6證明戴維寧定理用圖(1)第2-86

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頁(yè)2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-87

頁(yè)u′由N內(nèi)所有獨(dú)立源共同作用時(shí)在端子間產(chǎn)生的電壓即是端子間的開(kāi)路電壓，如圖6（b）所示。所以

u″是N內(nèi)所有獨(dú)立源為零，僅由電流源i作用在端子間產(chǎn)生的電壓，如圖6（c）所示。對(duì)N0二端電路來(lái)說(shuō)，把它看成一個(gè)等效電阻Ro，且u″與i對(duì)Ro參考方向非關(guān)聯(lián)，由歐姆定律可得(2)(3)將u′、u″代入（1）式，得(4)根據(jù)（4）式可畫(huà)出電路模型如圖7所示。

負(fù)載Rouocui圖7戴維南等效源模型圖戴維寧定理得證。第2-87

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頁(yè)2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-88

頁(yè)二、諾頓定理1、基本內(nèi)容：一個(gè)含獨(dú)立電源、線性受控源和線性電阻的二端電路N，對(duì)兩個(gè)端子來(lái)說(shuō)都可等效為一個(gè)理想電流源并聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電流源的數(shù)值為有源二端電路N的兩個(gè)端子短路時(shí)其上的電流isc，并聯(lián)的內(nèi)阻等于N內(nèi)部所有獨(dú)立源為零時(shí)電路兩端子間的等效電阻，記為Ro。

以上的表述可用圖8來(lái)表示。N負(fù)載(a)負(fù)載isc(b)R0uiui

圖8isc電流源并聯(lián)Ro模型稱二端電路N的諾頓等效源。求isc，Ro的示意圖分別如圖9(a)、(b)所示，求法與戴維南定理中講述的方法相同。這里從略。NiscN0R0(a)(b)

圖9第2-88

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頁(yè)2、證明：諾頓定理可采用與戴維寧定理類(lèi)似的方法證明。用理想電壓源u置換負(fù)載，再應(yīng)用疊加定理求電流i即可證明。

這里采用更簡(jiǎn)便的方法證明，即根據(jù)二端電路N的等效電壓源形式，通過(guò)電源互換即可得到諾頓等效電源形式，如圖10所示。

NabuocRouocRoabab(a)(b)(c)

圖10

應(yīng)用戴維寧定理、諾頓定理分析電路的關(guān)鍵是求二端電路N的開(kāi)路電壓uoc、等效內(nèi)阻Ro、短路電流isc。第2-89

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頁(yè)下面舉幾個(gè)典型的例子進(jìn)一步說(shuō)明這兩個(gè)定理的應(yīng)用，并從中歸納出這兩個(gè)定理分析電路的簡(jiǎn)明步驟。2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-90

頁(yè)三、等效電源定理應(yīng)用舉例例2.5-1圖（a）所示電路，負(fù)載電阻RL可以改變，求RL=1Ω時(shí)其上的電流i；若RL改變?yōu)?Ω，再求電流i。24V4Ω4Ω6Ω3Ω1V1ΩRLab24V4Ω4Ω6Ω3Ωab4Ω4Ω6Ω3ΩabR0uocabRL1V(a)(b)(c)(d)iuocu1u2i

例2.5-1用圖第2-90

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頁(yè)解:（1）求開(kāi)路電壓uoc。自a、b處斷開(kāi)待求支路，設(shè)uoc，u1，u2的參考方向如圖（b）所示。分壓求得（2）求等效內(nèi)阻Ro。

將（b）圖中電壓源短路，電路變?yōu)椋╟）圖。應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效，求得（3）由求得的uoc、Ro畫(huà)出等效電壓源,接上待求支路，求待求量。由（d）圖求得第2-91

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頁(yè)由于RL在二端電路之外，故當(dāng)RL改變?yōu)?Ω時(shí)，二端電路的uoc、Ro均不變化，所以只需將圖（d）中RL由1Ω變?yōu)?Ω，從而可以非常方便地求得此時(shí)電