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2025屆廣東省吳川一中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.632.()A. B. C.1 D.3.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了4.某歌手大賽進(jìn)行電視直播,比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表,場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分,組織方將觀眾評(píng)分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B. C. D.5.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長(zhǎng)為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定6.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20177.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件10.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.11.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在數(shù)列中,,,曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.14.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.15.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng),其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料,則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個(gè)組的概率為__________.16.如圖,的外接圓半徑為,為邊上一點(diǎn),且,,則的面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),試求曲線在點(diǎn)處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.22.(10分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查理解能力,計(jì)算能力,分類討論和應(yīng)用意識(shí).2、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯(cuò)誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯(cuò)誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯(cuò)誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】
計(jì)算出、,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7、A【解析】
分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時(shí)的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價(jià)于,進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當(dāng)時(shí),等價(jià)于,因?yàn)?所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以等價(jià)于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
對(duì)分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
解出兩個(gè)不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧希浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.10、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.11、B【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?,,是偶函?shù),關(guān)于軸對(duì)稱,排除C,D.又,,在必有零點(diǎn),排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.12、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時(shí),退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時(shí)滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時(shí),可以一步一步的書寫,防止錯(cuò)誤,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為:①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個(gè)頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求出總的基本事件數(shù),再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù),然后根據(jù)古典概型求解.【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng),其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個(gè),甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)有:個(gè),所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.16、【解析】
先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進(jìn)一步得到B=C,最后利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意可得,由正弦定理得,即,由圖可知是鈍角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要靈活運(yùn)用正弦定理公式及三角形面積公式,本題屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ),,兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,故,兩式相減可得,,故,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),可以求出曲線在點(diǎn)處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)椋?所以切線方程為;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?,在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)定義域?yàn)?,又在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),設(shè)的兩個(gè)根為且,由韋達(dá)定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域?yàn)?,又?duì)稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題,考查了分類思想.19、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn)為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,.如下圖所示:因?yàn)?,分別是線段和的中點(diǎn),所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因?yàn)椋?,所以四邊形為平行四邊形,所?所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)椋移矫?,故可以為原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將不等式化為,利用零點(diǎn)分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時(shí),不等式化為,∴當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無解當(dāng)時(shí),不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識(shí);考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類與整合思想.21、(1);(2).【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí);(2)由等價(jià)于,解之得.試題解析:(1)當(dāng)時(shí),.解不等式,得.因此,的解集為.(2)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),等價(jià)于.①當(dāng)時(shí),①等
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