4微分方程的應(yīng)用課件

.幾何與物理應(yīng)用微分方程的應(yīng)用1微分方程的應(yīng)用分幾何與物理應(yīng)用，幾何應(yīng)用主要是根據(jù)所滿足的幾何條件列出微分方程，再根據(jù)方程所屬類(lèi)型求解；物理應(yīng)用題型常有兩種類(lèi)型：其一根據(jù)題所涉及的物理意義直接給出方程.所涉及的物理知識(shí)主要是物體的受力分析及牛頓運(yùn)動(dòng)定律等；其二是需要應(yīng)用元素法來(lái)建立微分方程的應(yīng)用題，這類(lèi)問(wèn)題是微分方程的難點(diǎn)；此外還有一類(lèi)綜合應(yīng)用題既要用到幾何知識(shí)又要用到物理知識(shí)；下面我們分類(lèi)通過(guò)例題講解。2一。幾何應(yīng)用題例1.設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)（1,1）曲線上任一點(diǎn)p(x,y)處的切線交x軸于點(diǎn)T，若︱pT︱=︱oT︱求曲線L的方程。3??y??2xy?x2?y2??yx?1?1解為：x2?y2?2y4（例2.光滑曲線L過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（2,3），任取曲線上任一點(diǎn)p(x,y)過(guò)p點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線pA，pB，pA與x軸和曲線L圍成的面積等于pB與y軸和L圍成面積的2倍，求曲線L的方程5x?y(t)dt?23xy,yx?2?3?y??y02x（復(fù)習(xí)分離變量型及齊次方程解法）解得：y2?92x（拋物線）6例3.在上半平面求一條凹弧，其上任一點(diǎn)p(x,y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)法線段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q為曲線與x軸的交點(diǎn)），且曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸平行。y??解：曲線在點(diǎn)P處的曲率為：k(x)?23??y?0;y?0?因k(x)?y??(1?(y?))(1?(y?))23過(guò)該點(diǎn)法線方程為：122Y?y??(X?x),Q(x?yy?,0)?pQ?y[1?(y?)]y?7，初值：yx?1?1,y?x?1?0依題意得初值問(wèn)題：2???yy?1?(y)yx?1?1,y?x?1?0此方程是不顯含x的二階方程，解之并帶入初值得：y?1(ex?1?e?(x?1))（雙曲正弦線），2復(fù)習(xí)二階方程的兩種特殊形式及解法。8例4（考研真題）設(shè)L是一條平面曲線，其上任一點(diǎn)P(x,y)（x>0）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)（1/2,0）點(diǎn)，（1）試求曲線L的方程（2）求L位于第一象限的一條切線使該切線與L及兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積最小。9解（1）x2?y2?y?xy??y?x2?y2?Cy122112x?12?0?C?2?y?x?y?2?y?4?x(2)y?14?x2在P（x，y）處的切線：Y=-2xX+x2?114,(0?x?2)x2?1x，y軸1交點(diǎn)：(4212x,0),(0,x?4)(x2?1)212S(x)?141222x??(?x)dx04與所求面積：10111322S?(x)?2(x?)(3x?)?0?x?4x4為最小值點(diǎn)于是所求切線方程4??33X?13611Y例5.（考研題）求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一個(gè)解y=y(x)使得由曲線y=y(x)與直線：x=1，x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最大。12解：方程為：dydx?2xy??1?y?x?cx22V(c)???(x?cx2)2dx??(31c2?15c?71523)V?(c)?0?c??75124為最小值點(diǎn)，所以解為：y?x?752124x13例6（考研題）設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y?(x)?0,y(0)?1過(guò)曲線y=y(x)上任一點(diǎn)P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線及x軸所圍成的三角形面積記為S1，區(qū)間【0，x】上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1?S2?1，求此曲線的方程。14解：切線方程：Y?y?y?(x)(X?x)與x軸的交點(diǎn)：(x?y?/y,0)在x軸上的截距：x?y?/y因y?(x)?0,y(0)?1?y(x)?0(x?0)2x由題知：S1x?(x?y2y?)?y1?y2y?,S2??y(t)dt0，由，15y22S1?S2?1???y(t)dt?1?yy???(y?)y?0?y(0)?1?y?(0)?12x?yy???(y?)得初值問(wèn)題：??y(0)?1;y?(0)?12具體解法可用1）降階法；2）湊導(dǎo)數(shù)法解得：y(x)?ex2注：微分方程兩端乘1/(y?)可湊成：y?()??0y?16例7.求與拋物線族cy?x2中每條曲線均正交的的曲線（即交點(diǎn)處切線相互垂直）正交軌線。（橢圓族）17解：?cy?x2x?2y2?cy?x?y???消去c得：y=?2xc?y??xc?2即為拋物線上任一點(diǎn)處切線斜率，故正交軌線上任一點(diǎn)處切線斜率為：xy???2y正交軌線滿足的微分方程22解之得：2y?x?c,(c?0)（橢圓族）18二。物理應(yīng)用（一）利用物理意義直接列方程例8設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律.（冷卻定理：物體冷卻速度與溫差成正比）?dT??k(T?20)??kt?T?20?80e?dt?Tt?0?100?19例9在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來(lái)的037按照牛頓冷卻定律開(kāi)始下降．假設(shè)兩個(gè)小0時(shí)后尸體溫度變?yōu)?5并且假定周?chē)諝獾臏?度保持20不變，試求出尸體溫度隨時(shí)間的變0化規(guī)律．又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30時(shí)間是下午4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？20??dT?dt??k(T?20)?T?20?17e?kt??Tt?0?37?kt????T?20?17e??Tt?2?35?k?0.063?20?17e?0.063t?T?30?t?8.4(小時(shí))即謀殺大約在上午7時(shí)36分發(fā)生21T例10設(shè)降落傘從跳傘塔下落后,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)速度為零,求降落傘下落速度與時(shí)間的關(guān)系.???f?mg?kv?mdvdt??vt?0?022例11（考研題）在某一人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的。設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x0，在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x(t)（將x(t)視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌新技術(shù)的人及未掌握新技術(shù)的人的乘積成正比，比例系數(shù)k>0，求x(t)解：?dxkNt?kx(N?x)Nx0e??x??dtkNtN?x0?x0e?xt?0?x0?23例12.（考研題）從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y（從海平面算起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開(kāi)始鉛直下沉，在下沉的過(guò)程中還受到阻力與浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B海水密度為?儀器所受阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k>0，試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).24解：取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)O2，y軸正向鉛直向下，dy由牛頓第二定律得：m2?mg?B??kvdt解法1.上式變?yōu)椋篸ydydykdyB?m2?mg?B??k?2??g?dtdtdtmdtmy(0)?0;y?(0)?v(0)?022解此常系數(shù)二階線性微分方程得解；y=y(t)及v(t)=y?(t)聯(lián)立求出y=y(v).（以下略）注：本題也可按不顯含x的特殊二階方程求解25dpkB??p?g??p?cedxmmk?tmB??(g?)mm由初值y(0)?0;y?(0)?v(0)?0?c?B??gB?B?B?p??(g?)e?(g?)?(g?)[1?e]mmmkk?t?tB?B?mB?y??(g?)[1?em]dt?y?(g?)t?(g?)em?Cmmkmk?tmk?tmB??g由初值得C?k得：k?tmB?B?y?(g?)t?(g?)emmB??g?k262解法2.dydt?v(t)?dydvdvdydvdt2?dt?dydt?vdy代入原式化成微分方程：mvdvdy?mg?B??kv—分離變量方程解得：y??mm(mg?B?)kv?k2ln(mg?B??kv)?Cv??mm(mg?B?)mg?B??kvy?0?0求出C?ykv?k2lnmg?B?復(fù)習(xí)分離變量方程求解方法27例13（-考研題飛機(jī)降落問(wèn)題）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離在觸地的瞬間飛機(jī)尾部張開(kāi)降落傘以增大阻力使飛機(jī)迅速減速并停下?，F(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)著陸時(shí)的水平速度為700km/h經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后飛機(jī)所受的總阻力與6飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k=6.0?10問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？28解：由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量為m=9000kg，飛機(jī)著陸時(shí)的水平速度為V0=700km/h，從著陸點(diǎn)算起設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)滑行的距離為x(t)速度為v(t)解法I根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理：dxdxdxdxdvdvdxdvm2??k,令?v?2???vdtdtdtdtdtdxdtdxmm即dx??dv,積分得：x(t)=?v?C,kkmm由于v(0)?v0,x(0)?0?C?v0,從而：x(t)?(v0?v(t))kkmv0令v(t)?0?x(t)??1.05kmk2922即飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1。05km解法II根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理：mdvdt??kv即dvk?mktv??mdt?v?ce代入初值條件：vt?0?v0?v(t)?v?0emkt??x??v(t)dt??m?mkt??kv0e0?1.05030飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為：解法III根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理：dxdxdxkdxm2??k,2??0,其特征方程為：dtdtdtmdtkk2?+??0??1?0,?2??;其通解為：mmkk?t?tkcdx2mx?C1?C2em,由xt?0?0,vt?0???et?0dtmk?tmv0m得：C1??C2?v0,于是：x(t)?(1?em)kkmv0令t????x(t)??1.05k22t?0?v031注：解法1）是轉(zhuǎn)化為路程x與速度v之間的一階微分方程；解法2）是轉(zhuǎn)化為速度v與時(shí)間t之間的一解微分方程；3）是直接由牛頓公式建立路程x與時(shí)間之間的二階線性微分方程；對(duì)于1）由末速度可直接算出所走路程，對(duì)于2）則要由路程與速度的關(guān)系通過(guò)積分才能求出所走路程，對(duì)于3）得出路程與時(shí)間的關(guān)系后須令t趨于無(wú)窮才能求出所走路程。32例14（子彈穿透木板問(wèn)題）子彈以v0?200m/s的速度射入厚度為h=10cm的木板，穿過(guò)木板后仍有速度假設(shè)木板對(duì)子彈的阻力與其速度的平方成正比，求子彈通過(guò)木板所需的時(shí)間。v1?80m/s33解：設(shè)子彈的質(zhì)量為m，其開(kāi)始射入木板的時(shí)刻為t=0，穿過(guò)木板的時(shí)刻為t?t1，則在0?t?t1的時(shí)間內(nèi)，深度為h(t)，速度為v(t)，依題意可得：dvkdv2222m??kv(k?0)令?a???avdtmdt112??at?C,Qv(0)?v0?200m/s?C?v20011322?at??t?t1,v?80m/s代入上式得：a?v200400t13t?2t1131dhdt3t?2t1??t??;又v???v400t1200400t1dtdh400t1341h分離變量并積分得通解:ln(3t?2t1)??C13400t1t?0,時(shí)h?0代入上式得：C?113ln(2t1)13ln(3t?2t?h11)400t?ln(2t1);又當(dāng)t=t1時(shí)13h=10cm=0.1m，故t31?400ln(5/2)(s)35?例15（食草魚(yú)與食魚(yú)魚(yú)共存問(wèn)題問(wèn)題）設(shè)在同一水域中生存著食草魚(yú)與食魚(yú)之魚(yú)（或同一環(huán)境中的兩種生物）他們的數(shù)量分別為x(t)與y(t)不妨設(shè)x，y是連續(xù)變化，其中x受y的影響而減少（大魚(yú)吃了小魚(yú)）減少的速率與y(t)成正比；而魚(yú)數(shù)y（t）受x的影響而減少（小魚(yú)吃了大魚(yú)的卵）減少的速率與x(t)成正比；如果x(0)?x0,y(0)?y0試建立這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并求這兩種魚(yú)數(shù)量的變化規(guī)律。36解：設(shè)題中比例系數(shù)依次為k1(k1?0),k2(k2?0)依題意此共生問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：????xt??k1y,xt?0?x0??yt???k2x,yt?0?y0在上述方程組中消去yt?得x???k1k2x?0特征方程為：37r2?k1k2?0?r1,2??k1k2故得原方程組的通解為：?x(t)?Ck1k2t1e?C?k1k2t?2e??y(t)?k2(Ck1k2t?k1k2tk1e?C2e)?1代入初始條件得：C1k11k11?2(x0?ky0),C2?(x0?y0)22k238故兩種魚(yú)數(shù)量的變化規(guī)律為：??1k1?x(t)?yk1k2tk1?k1k2t0)e?(x0?y0)e?2[(x0?k2k2?y(t)??1k2[(x?k1y)ek1k2t?(x?k(*)?1k1k2t?2k000y0)e?1k2k239由（*）式分析得如下規(guī)律：（1）當(dāng)k1時(shí)魚(yú)數(shù)x(t)??x0?k2y0?0y(t)雖減少，但最終不會(huì)消失；而魚(yú)數(shù)在經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間變化后最終會(huì)趨于消失；40（2）當(dāng)k1??x0?y0?0k2y(t)時(shí)魚(yú)數(shù)x(t)雖減少，但最終不會(huì)消失；而魚(yú)數(shù)在經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間變化后最終會(huì)趨于消失；（3）2x0k1k1??x0?y0?0即2?k2y0k2兩種魚(yú)在經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間變化后最終都會(huì)趨于消失；41（二）用元素法解微分方程應(yīng)用問(wèn)題：例16有高為1米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米.開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.（元素法）42解由力學(xué)知識(shí)得，水從孔口流出的流量為Q＝dVdt?0.62?S?2gh,①流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度?S?1cm2,?dV?0.622ghdt.43以小孔出口o為坐標(biāo)原點(diǎn)，h軸向上建立坐標(biāo)系設(shè)在微小的時(shí)間間隔[t,t??t],水面的高度由h降至h??h,則dV???r2dh,?r?1002?(100?h)2?200h?h2,dV???(200h?h2)dh.②比較①和②得:??(200h?h2)dh?0.622ghdt,即為未知函數(shù)得微分方程.44?dt???30.622g?(200h?h)dh,?ht?0?100,?C??0.622g?14515?10,所求規(guī)律為t??534.652g(7?10?10h3?3h5).45例17（考研題）某車(chē)間體積為12000立方米,開(kāi)始時(shí)空氣中含有co20.1%的co2為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中co2的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含20.03%的co2新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后車(chē)間內(nèi)co2百分比降低到多少（用元素法求解）46解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后t時(shí)刻CO2的含量為x(t)%,在[t,t?dt]內(nèi)，CO2的通入量?2000?dt?0.03,CO2的排出量?2000?dt?x(t),CO2的通入量—CO2的排出量=CO2的改變量，即12000dx?2000dt?0.03?2000dt?x(t)dxdt??1(x?0.03)x?0.03?Ce?16t6,47由x|t?0?0.1C?0.07?1x?0.03?1?t007e6,x|t?6?0.03?0.07e?0.056,CO2故6分鐘后，車(chē)間內(nèi)的百分比降低到0.056%.注：dx為二氧化碳濃度改變量，或單位體積二氧化碳改變量，故12000dx即為整個(gè)車(chē)間在【t，t+dt】時(shí)間段二氧化碳改變量或直接求法：t時(shí)刻二氧化碳含量為12000x，t+dt時(shí)刻二氧化碳含量為12000（x+dx），故二氧化碳改變量為12000dx48例18（湖泊環(huán)境治理問(wèn)題-考研題（元素法））某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為V/6，流入湖泊內(nèi)不含污染物A的污水量為V/6，流出湖泊的水量為V/3，已知1999年底湖泊內(nèi)含污染物A的含量為5m0超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起規(guī)定排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水濃度不超過(guò)m0/V問(wèn)至少需要經(jīng)過(guò)多少年湖泊內(nèi)含污染物A的含量降至m0以內(nèi)。（設(shè)湖泊內(nèi)含污染物A的濃度是均勻的）49解：設(shè)從2000年初開(kāi)始（設(shè)此時(shí)t=0）第t年湖泊內(nèi)含污染物A的總量為m，濃度為m/V，則在時(shí)間間隔【染物A的量為：m0Vm0V?6dt?6dtmVV?3dt?m3dt則在該時(shí)間間隔【dm=(m0m6?3)dtt，t+dt】?jī)?nèi)排入湖泊內(nèi)污流出湖泊的水的A的量為，t，t+dt】?jī)?nèi)A的改變量為：50（分離變量型）由分離變量法解得：tm0?3，代入初始條件：m??Ce2mt?0?5m0?c??9m0/2?m?m0(1?9e)/2,令m=m0?t?6ln3t?3即至多需要經(jīng)過(guò)6ln3年湖泊內(nèi)含污染物A的含量降至m0以內(nèi)。51例19.在一個(gè)石油精煉廠，一個(gè)存儲(chǔ)罐裝8000L的汽油，其中包含100g的添加劑.為冬季準(zhǔn)備，每升含2g添加劑的石油以40L/min的速度注入存儲(chǔ)罐.充分混合的溶液以45L/min的速度泵出.在混合過(guò)程開(kāi)始后20分鐘罐中的添加劑有多少？（元素法）52解令y是在時(shí)刻t罐中的添加劑的總量.易知y(0)?100.在時(shí)刻t罐中的溶液的總量V?t??8000??40?45?t?8000因此，在【t，t+dt】時(shí)間內(nèi)添加劑流入的量為40×2gdt添加劑流出的量為45y8000?5tdt添加劑的改變量為：dy，故有?5t5345ydy=40?2dt?8000?5tdt，得到微分方程dy45dt?80?y8000?5t即dydt?458000?5t?y?80于是，所求通解為y?e??45458000?5tdt????80?e?8000?5tdtdt?C?????16000?10t??C?t?1600?954由y(0)?100確定C，得?16000?10?0??C?0?1600??09，，10C?81600故初值問(wèn)題的解是109?t?1600?y??16000?10t??81600，所以注入開(kāi)始后20分鐘時(shí)的添加劑總量是109y(20)??16000?10?20??20?1600?8?1600?1512.58g.55注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化學(xué)品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器中可能還裝有一定量的溶解了的該化學(xué)品.把混合物攪拌均勻并以一個(gè)已知的速率流出容器.在這個(gè)過(guò)程中，知道在任何時(shí)刻容器中的該化學(xué)品的濃度往往是重要的.描述這個(gè)過(guò)程的微分方程用下列公式表示：容器中總量的變化率=化學(xué)品進(jìn)入的速率—化學(xué)品離開(kāi)的速率56（三）幾何物理綜合應(yīng)用題例20（雪堆融化問(wèn)題-考研題）一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)k>0，假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為r0的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)融化了其體積的7/8，問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)？57解：設(shè)雪堆在時(shí)刻t的體積V?233?r,側(cè)面積：S?2?r2?S?318?V2由題設(shè)知：dVdt??kS??k318?V2?33V??318?kt?C由Vt=0=V0?C=33V30?3V=33V30?18?kt5813333又由Vt=3=V0?V0=3V0?318?k?k=33V082故得：33V=33V10?32V0t，令V=0得t=6即雪堆全部融化需要6小時(shí)（注：此題也可直接有不定積分求解）2318?59例21（容器倒水問(wèn)題-考研題）有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x??(y),(y?0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器底面圓的3半徑為2m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m/min的速率向容器注入液體時(shí)，液面的面積將以2?m/min的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前）容器內(nèi)無(wú)液體1根據(jù)t時(shí)刻液面的面積寫(xiě)出t與?(y),(y?0)之間的關(guān)系式；2.求曲線的方程6061解（1）設(shè)t時(shí)刻液面高度為y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積??2(y)?4???t?t??2(y)?4（2）液面高度為y時(shí)液體體積為：y???2(u)du?3t?3?2(y)?120兩端對(duì)y求導(dǎo)得：??2(y)?6?(y)??(y)??(y)?Ce?y/6?(0)?2?C?2?x?2e?y/662例22設(shè)河邊點(diǎn)o的正對(duì)岸為點(diǎn)A,河寬oA=h,兩岸為平行直線,水流速度為a,有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O,設(shè)鴨子