2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理六二項(xiàng)式定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE六二項(xiàng)式定理(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.QUOTE·2n+QUOTE·2n-1+…+QUOTE·2n-k+…+QUOTE等于()A.2nB.2n-1C.3n【解析】選C.原式=(2+1)n=3n.2.(2024·全國卷Ⅰ)QUOTE(1+x)6綻開式中x2的系數(shù)為()A.15 B.20 C.30 D.35【解析】選C.QUOTE(1+x)6綻開式中含x2的項(xiàng)為1·QUOTEx2+QUOTE·QUOTEx4=30x2,故x2的系數(shù)為30.【類題·通】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題,用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以其次個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析含x2的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行相加即可.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清晰構(gòu)成這一項(xiàng)的詳細(xì)狀況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)綻開式中的r不同.3.在(QUOTE+QUOTE)12的綻開式中,含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有()A.4項(xiàng)B.3項(xiàng)C.2項(xiàng)D.1項(xiàng)【解析】選B.(QUOTE+QUOTE)12的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=QUOTE(QUOTE)12-r(QUOTE)r=QUOTE(0≤r≤12),6-QUOTE(0≤r≤12)為正整數(shù),有3項(xiàng),即r=0,r=6,r=12.4.(2024·廣州高二檢測)若QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)等于-20,則a=()A.QUOTE B.-QUOTE C.1 D.-1【解析】選C.QUOTE的綻開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=QUOTE(ax)6-kQUOTE=(-1)ka6-kQUOTEx6-2k.當(dāng)k=3時(shí),常數(shù)項(xiàng)為(-1)3a3QUOTE=-20,解得a=1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2024·全國Ⅲ卷)QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是________(用數(shù)字作答).

【解析】因?yàn)門r+1=QUOTEx2(6-r)2rx-r=2rQUOTEx12-3r,由12-3r=0,得r=4,所以QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是:QUOTE·24=QUOTE·16=15×16=240,故常數(shù)項(xiàng)為240.答案:2406.(2024·天津高二檢測)QUOTE的綻開式中,QUOTE項(xiàng)的系數(shù)為________.

【解析】因?yàn)槎?xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=QUOTE(2QUOTE)6-kQUOTE=QUOTE(-1)k×26-k×x3-k;令3-k=-1,所以k=4;故綻開式中含QUOTE項(xiàng)的系數(shù)為QUOTE×22=60.答案:60三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知在QUOTE的綻開式中,第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是14∶3.(1)求n;(2)求綻開式中全部的有理項(xiàng).【解析】(1)依題意有QUOTE∶QUOTE=14∶3,化簡,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合題意,舍去),所以n的值為10.(2)通項(xiàng)公式為Tk+1=QUOTE·(-1)kQUOTE=(-1)kQUOTE·QUOTE,由題意得QUOTE解得k=2,5,8,所以第3項(xiàng)、第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng),它們分別為QUOTEx2,QUOTE,QUOTEx-2.8.設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n的綻開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是19(m,n∈N*).(1)求f(x)的綻開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值.(2)當(dāng)f(x)的綻開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值時(shí),求f(x)的綻開式中含x7項(xiàng)的系數(shù).【解析】(1)由題設(shè)知m+n=19,所以m=19-n,含x2項(xiàng)的系數(shù)為QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=n2-19n+171=(n-QUOTE)2+QUOTE.因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)n=9或n=10時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為QUOTE+QUOTE=81.(2)當(dāng)n=9,m=10或n=10,m=9時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值,此時(shí)x7項(xiàng)的系數(shù)為QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=156.(15分鐘·30分)1.(5分)(2024·昆明高二檢測)QUOTE的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A.1 B.3 C.4 D.13【解析】選D.由于QUOTE表示4個(gè)因式QUOTE的乘積,故綻開式中的常數(shù)項(xiàng)可能有以下幾種狀況:①全部的因式都取1;②有2個(gè)因式取QUOTE,一個(gè)因式取1,一個(gè)因式取QUOTE;故綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為1+QUOTE×QUOTE=13.2.(5分)(多選題)若QUOTE的綻開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6【解析】選BD.QUOTE的綻開式中通項(xiàng)公式:Tk+1=QUOTE·xn-k·QUOTE=QUOTE·(-1)k·xn-2k.因?yàn)榇嬖诔?shù),所以n-2k=0,即n=2k,n,k∈N*.則n的值可以是4,6.3.(5分)(2024·天津高二檢測)將(3+x)n的綻開式根據(jù)x的升冪排列,若倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是90,則n的值是________.

【解析】將(3+x)n的綻開式根據(jù)x的升冪排列,則倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是QUOTE·32=90,求得n=5(負(fù)值舍去).答案:54.(5分)(2024·浙江高考)在二項(xiàng)式(QUOTE+x)9的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)是________,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________.

【解析】綻開式通項(xiàng)是:Tr+1=QUOTE(QUOTE)9-rxr,所以常數(shù)項(xiàng)是T1=QUOTE(QUOTE)9=16QUOTE,若系數(shù)為有理數(shù),則9-r為偶數(shù),所以r為奇數(shù),所以r可取1,3,5,7,9.答案:16QUOTE55.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的綻開式含x2的項(xiàng).(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的綻開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,那么當(dāng)m,n為何值時(shí),含x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值?【解析】(1)當(dāng)m=3,n=4時(shí),f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3綻開式的通項(xiàng)為QUOTExr,(1+2x)4綻開式的通項(xiàng)為QUOTE(2x)r,f(x)g(x)的綻開式含x2的項(xiàng)為1×QUOTE(2x)2+QUOTEx×QUOTE(2x)+QUOTEx2×1=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因?yàn)閔(x)的綻開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,所以QUOTE+2QUOTE=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系數(shù)為QUOTE+4QUOTE=QUOTE+4QUOTE=QUOTE(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4QUOTE+QUOTE,n∈N*,所以n=3,m=6時(shí),x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值.1.若(x+a)2QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為-1,則a的值為________.

【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而QUOTE的綻開式通項(xiàng)為Tk+1=(-1)kQUOTE·xk-5,其中k=0,1,2…,5.于是QUOTE的綻開式中x-2的系數(shù)為(-1)3QUOTE=-10,x-1項(xiàng)的系數(shù)為(-1)4QUOTE=5,常數(shù)項(xiàng)為-1,因此(x+a)2QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依題意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或92.設(shè)QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+arxr+…+anxn,其中q∈R,n∈N*.(1)當(dāng)q=1時(shí),化簡:QUOTE.(2)當(dāng)q=n時(shí),記An=QUOTE,Bn=QUOTEar,試比較An與Bn的大小.【解題指南】(1)當(dāng)q=1時(shí),ar=QUOTE·QUOTE,從而得到結(jié)果.(2)當(dāng)q=n時(shí),由二項(xiàng)式定理可得An=nn+1,Bn=QUOTE,猜想、歸納,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可.【解析】(1)當(dāng)q=1時(shí),ar=QUOTE,由于QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE,其中r=0,1,2,…,n.所以原式=QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)=QUOTE.(2)當(dāng)q=n時(shí),ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1<QUOTE;當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>QUOTE,即n>QUOTE.下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥3時(shí),n>QUOTE,……(☆)①當(dāng)n=3時(shí),3>QUOTE=QUOTE,(☆)式成立;②設(shè)n=k≥3時(shí),(☆)式成立,即k>QUOTE,則n=k+1時(shí),(☆)式右邊=QUOTE=QUOTE<QUOTE<QUOTE·k=QUOTE+k<k+1.也就是說,當(dāng)n=k+1,(☆)式也成立.綜合①②知,當(dāng)n≥3時(shí),n>QUOTE.所以,當(dāng)n=1,2時(shí),An<Bn;當(dāng)n≥3時(shí),An>Bn.【一題多解】當(dāng)q=n時(shí),ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,要比較An與Bn的大小,即可比較QUOTE與QUOTE的大小,設(shè)fQUOTE=QUOTE,則f′QUOTE=QUOTE,由f′QUOTE>0,得0<x<e,所以fQUOTE在QUOTE上遞增,由f′QUOTE<0,得x>e,所以fQUOTE在QUOTE上遞減,所以當(dāng)n=1,2時(shí),QUOTE<QUOTE,An<Bn.當(dāng)n≥3時(shí),QUOTE>QUOTE,即QUOTElnn>nlnQUOTE,即lnnn+1>lnQUOTE,即An>Bn,綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),An<Bn;當(dāng)n≥3時(shí),An>Bn.【一題多解】當(dāng)q=n時(shí),ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1<QUOTE;當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>QUOTE.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:nn+1>QUOTE,n≥3,n∈N*,……(*)①當(dāng)n=3時(shí),33+1=81,QUOTE=64,因?yàn)?1>64,所以(*)式成立;②設(shè)n=k≥3時(shí),(*