2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第29講 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理（解析版）

第29講尺規(guī)作圖與定義、命題、定理

錄

題型07尺規(guī)作圖-找圓心

一、考情分析題型（）8尺規(guī)作圖過圓外一點(diǎn)作圓的切線

二、知識(shí)建構(gòu)題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

題型01尺規(guī)作圖-作線段題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型02尺規(guī)作圖-作角度題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

類型一作一個(gè)角等于已知角考點(diǎn)二定義、命題、定理

類型二尺規(guī)作角的和、差題型01判斷是否命題

類型三過直線外一點(diǎn)作這條線的平行題型02判斷命題真假

類型四作角平分線題型03舉反例說明命題為假命題

題型03尺規(guī)作圖-作三角形：含特殊三角形）題型04寫出命題的逆命題

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高題型（）5反證法證明中的假設(shè)

題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線題型06用反證法證明命題

題型06尺規(guī)作圖-畫圓

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

＞能用尺規(guī)作圖：本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作

①作一個(gè)角等于已知角：作一個(gè)角的平分線.圖和真假命題為主，年年考查，

②作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線.是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為

③過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.6分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中

尺規(guī)作性④己知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形：已知底邊及底考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)

邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.點(diǎn).中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查

⑤過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的涉及多種形式，不再是單一的

內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而

⑥過圓外一點(diǎn)作圓的切線.是把作圖與計(jì)算、證明、分析、

>通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融

>結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)

概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用

定義、命

>知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯，知道可數(shù)學(xué)思考解決問題的能力，為

題、定理

以用不同的形式表述證明的過程，會(huì)用綜合法的證明格式.避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

>了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.

>通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義.

題型01尺規(guī)作圖-作線段

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類型一作一個(gè)角等于已知角

類型二尺規(guī)作角的和、差

先分析題目，讀懂題意,類型三過直線夕一點(diǎn)作這條線的平行

尺判斷題目要求作什么類型四作角平分線

關(guān)題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

規(guī)

鍵讀僮題意后，再運(yùn)用幾種迤型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高

作

基本作圖方法解決問題題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線

圖

題型06尺規(guī)作圖-畫圓

切記作圖中一定要保留作題型07尺觀作圖-找回心

圖痕跡題型08尺視作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線

題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

定

義題型01判斷是否命題

命題型02判斷命題真假

題型03舉反例說明命題為假命題

應(yīng)

題型04寫出命題的逆命題

定

題型05反證法證明中的假設(shè)

理

題型06用反證法證明命題

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖

―夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖.

五種基本作圖：

類型圖示作圖依據(jù)

I

作一條線段等a?

圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

于已知線段

.\A

d一r—尸

作一個(gè)角等于

1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

已知角

2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

X茗二3）兩點(diǎn)確定一條直線.

B

作一個(gè)角的平

分線上

作一條線段的8

L1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條

理直平分線

線段的垂直平分線上；

2）兩點(diǎn)確定一條直線.

MX

過一點(diǎn)作己知

1）等腰三角形“三線合一”；

直線的垂線

A——^p—BA—.....,，二R2）兩點(diǎn)確定一條直線.

根據(jù)基本作圖作三角形

已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形

B~~m

已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角a

三角形c

根據(jù)基本作圖作圓

過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓

（即三角形的外接圓）

作三角形的內(nèi)切圓

尺規(guī)作圖的關(guān)鍵：

】）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題;

3）切記作圖中?定要保留作圖痕跡.

提升?必考題型歸納

題型01尺規(guī)作圖作線段

【例1】（2021上.遼寧撫順.九年級(jí)校聯(lián)考周測(cè)）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,根據(jù)下列要求畫圖.

.B

D

（1）畫直線AB：

（2）作射線BC；

⑶畫線段AD；

（4）連接CQ,并延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E,使。E=C。；（保留作圖痕跡）

（5）在四邊形A3C。內(nèi)找一點(diǎn)0,使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和0A+03+0C+0。最小.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶見解析

（4）見解析

（5）見解析

【分析】（1）根據(jù)直線的概念作圖即可；

（2）根據(jù)射線的概念作圖即可；

（3）根據(jù)線段的概念作圖即可；

（4）以點(diǎn)。為圓心、OC為半徑，畫弧交C。延長(zhǎng)線于點(diǎn)已

（5）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AC、BD,交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。.

【詳解】（1）如圖所示，直線即為所求；

（2）如圖所示，射線8c即為所求；

（3）如圖所示，線段AO即為所?。?/p>

（4）如圖所示，線段DE即為所求；

（5）如圖所示，點(diǎn)。即為所求.

B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線，射線和線段的定義和作圖.熟練地掌握直線，射線和線段的定義，并正確

的根據(jù)定義作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023上?廣西河池.九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在同一平面上有A,B,C三個(gè)點(diǎn)，按要求作圖：

C

AB

(1)作直線AC,射線8C,連接4B；

(2)延長(zhǎng)A8到點(diǎn)。，使得8。=48；

(3)直接寫出248。+乙CBD=。.

【答案】(1)圖見解析；

(2)圖見解析：

(3)180°

【分析】(1)按照題意用直尺作出圖形；

(2)按照題意作出圖形即可；

(3)由題意可知，Z.ABC+Z.CBD=180°.

【詳解】(1)解：如圖所示，直線4C,射線BC,線段4B即為所求;

(2)解：如圖所示線段8。即為所求；

(3)解：/-ABC+LCBD=180°,理由是：

???延長(zhǎng)AB到點(diǎn)。，使得8。=48

???乙48。是平角

：.LABC+LCBD=180°

【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線的作圖，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作圖.

【變式『2】（2023?山西太原?山西大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c.

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線段力&使它等于Q+C-從（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點(diǎn)C是線段A8的中點(diǎn)，求47的長(zhǎng).

【答案】（1）作圖見解析

⑵4.5

【分析】（1）作射線AM,在射線AM上順次截取4E=a,EF=c,在線段凡4上截取FB=b,則線段4B即為

所求：

（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得力8的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得力C的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖，線段48即為所求：

（2）如圖,

ACB\]EIFM

va=6>b=4,c=7,

4B=a+c—b=6+7—4=9

??,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

11

???i4C=-/IS=-x9=4.5

乙乙

即/IC的長(zhǎng)4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022上.廣西梧州.七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段4,瓦用直尺和圓規(guī)作圖,分別作

下列兩條線段.

①48=a+b；

②CD=2a-b.

ab

（2）已知：如圖，LAOB=Z.COD=90°,乙BOD=25°.求4AOC的度數(shù).

OA

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）155。

【分析】（1）①先作線段AC=a,再以點(diǎn)C為一端點(diǎn)，往AC延長(zhǎng)線方向作線段。84即可;

②先作線段。石=%，再以點(diǎn)石為一端點(diǎn)，往EC延長(zhǎng)線方向作線段斯。即可；

（2）先根據(jù)已知條件求出乙4。。的度數(shù)，再由44。。=4。。。+乙4。0計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：

AacbB

①WB=a+b；

CD

'-----L----r-----------'E

aba

@CD=2a-b

(2)解：vZ.AOB=90°,4BOD=25。

AZ.AOD=Z.AOB-乙BOD=90°-25°=65°

vZ.COD=90°

￡AOC=乙COD+Z-AOD=90°+65°=155°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-線段的和差及計(jì)算角的和差，熟練掌握作圖技巧及知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類型一作一個(gè)角等于已知角

【例2】（2022?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考一模）如圖，在△力8c中，Z.ACB=90°,AC^BC.用無刻度的直尺和圓規(guī)在

48邊上找一點(diǎn)。，使N8CD=44則符合要求的作圖是（）

cc

【答案】c

【分析】過點(diǎn)。作A6的垂線，利用同角的余角相等證明即可.

【詳解】根據(jù)題意，4作圖是構(gòu)造等腰三角形，

不符合題意；

8是作的角的平分線，

故不符合題意；

C是過點(diǎn)。作AB的垂線，

AZA=90°-ZB,ZBCD=90°-ZB,

/.BCD=Z.A,

故C符合題意；

。作的是線段AC的垂直平分線，

故不符合題意，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的基木作圖，余角的性質(zhì)，熟練掌握作圖，靈活運(yùn)用互余性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【變式2-1](2023?山東青島??？家荒?如圖，8。平分NA8C,點(diǎn)足為48上一點(diǎn).

(1)尺規(guī)作圖：以E為頂點(diǎn)，作乙4七尸=N/WC,交BO于點(diǎn)〃[不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)在(1)的條件下,若ND尸E=150°,求的度數(shù).

【答案】(1)見解析

⑵120。

【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于己知角的方法即可作NAM=NA8C,交BD于點(diǎn)F.

（2）根據(jù)NOFE=150。，可得到NEFB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的制定及性質(zhì)，角平分線的定義即可得到

的度數(shù).

【詳解】（1）解：如圖，N4EF即為所求；

NEFB=180。-150。=30。，

?：AAEF=AARC,

^FBC=NEFB=30°,NEBC+NBEF=180°.

;班＞平分NABC,

：.ZEBC=2ZFBC=60°,

NBEF=180°-60°=120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，掌握作一個(gè)角等于已知角，熟練

運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2021下.上海閔行.上海上師初級(jí)中學(xué)校考期中）加圖，已知乙/1。8=70。，4a=53。，在圖中

用尺規(guī)作4a,并計(jì)算NBOC的值.（保留作圖痕跡，不得使用量角器）

【答案】見解析

【分析】分兩種情況：OC在N/1OB內(nèi)和。C在乙40B夕卜進(jìn)行作圖解題即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)OC在4AOB內(nèi)時(shí)，

乙B0C=/.AOB-^AOC=70°-53°=17°,

A

c

如圖，當(dāng)OC在乙4。8夕卜時(shí)，

乙BOC=/-AOB+Z.AOC=70°+53°=123°,

綜上所述，LBOC=17?；?BOC=123°.

【點(diǎn)睛】本題考查限定工具作圖一尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角的和差，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵.

類型二尺規(guī)作角的和、差

【例3】（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特??？茧A段練習(xí)）如圖，已知NABC.

（1）請(qǐng)以射線DG為邊作一個(gè)角，使它等于乙48C的補(bǔ)角；（尺規(guī)作圖，不必寫作法，保留作圖痕跡）

G

（2）若4ABe的補(bǔ)角是ZABC的5倍，則NABC=_.

【答案】（1）詳見解析

（2）30°

【分析】（1）作一個(gè)角等于已知角，反向延長(zhǎng)所作角的一邊，得其鄰補(bǔ)角即為所求.

（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義知互為補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180。，構(gòu)建方程求解.

【詳解】（1）解：作乙M/）F=4ABC,反向延長(zhǎng)射線DM,得射線。G,4GCF即為所求;

（2）解：由題意，得，A8C+54ABe=180°,

解得：^ABC=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作一個(gè)角等于已知角，補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方

法和步驟，以及相加等于180。的兩個(gè)角互補(bǔ).

【變式3-1］（2023上?陜西榆林?校考階段練習(xí)）已知如圖4%“，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作，使乙4。8=

一/a.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法先作乙AOC=Z/?,再以0C為角的一邊作N80C=4a,則乙40B即為所求.

【詳解】解：如圖，乙408即為所求.

斤A

?c

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角的計(jì)算，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?陜西商洛?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△4BC中，AB=AC,〃BC的平分線交AC于點(diǎn)E,

請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線BE上求作一點(diǎn)。，使得乙4DE=：乙C.（保留作圖痕跡，不寫作法）

BV----------------

【答案】見解析

【分析】如圖所示，作乙。40=4。交射線8E于。，點(diǎn)。即為所求.

【詳解】解：如圖所示，作“力。="交射線8E于。，點(diǎn)。即為所求;

，：￡CAD=",

'：AD||BC,

：.LADE=乙CBE,

???"BC的平分線交AC于點(diǎn)E,

：?“BE=/乙BAC,

'：AB=AC,

乙C=Z.ABC,

???"=*

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，等邊

對(duì)等角等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

類型三過直線外一點(diǎn)作這條線的平行

【例4】(2022.廣東佛山.西南中學(xué)?？既?如圖，在中，。為力。邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖:

①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交力P、力B于點(diǎn)M,M②以點(diǎn)戶為圓心，以長(zhǎng)為半徑作

弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在△ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)八④作射線PF交

BC于點(diǎn)、Q.若4A=60°,乙C=40°,則乙PQC=()

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到乙8=80。，再根據(jù)作圖方法可知NCPQ=44則PQII48,由此即可

得到乙PQC==80°.

【詳解】解：'：LA=60°,=40°,

=180°-Z.A-Z,C=80°,

由作圖方法可知乙CPQ=24

：?PQIIAB,

：.LPQC=LB=80°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，證

明PQ||力8是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023下?河南焦作?統(tǒng)考期中）如圖，已知NBOP與射線OP上的點(diǎn)4小亮用尺規(guī)過點(diǎn)/作08的

平行線，步驟如下.

①取射線0P上的點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，0C長(zhǎng)為半徑畫弧，交0B于點(diǎn)D；

②以點(diǎn)A為圓心，。。長(zhǎng)為半徑畫弧，交。力于點(diǎn)M；

③以點(diǎn)M為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點(diǎn)E,直線EA即為所求.

A.同位角相等，兩直線平行

B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)先互補(bǔ)，兩直線平行

D.以上結(jié)論都不正確

【答案】B

【分析】由作法可知：W=WAE,結(jié)合平行線的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由作法可知：

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得4EII08

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到乙。=△。4￡是關(guān)鍵.

【變式4-2］（2024上?陜西商洛?統(tǒng)考期末）如圖，在△48。中，延長(zhǎng)8。至點(diǎn)。，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作射線CE,

使得CE||48,且點(diǎn)石在8。上方.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】本題考查了角的基本作圖，利用同位角相等，兩直線平行，畫一個(gè)角等于4B,且是一對(duì)同位角即

可.

【詳解】根據(jù)題意，畫圖如下:

A

E,

BCD

則CE即為所求.

【變式4-3］（2023上?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考期末）圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△/8C的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖

圖①圖②圖③

⑴在圖①中的邊BC上確定一點(diǎn)E,連結(jié)OE,使。EIIAC.

（2）在圖②中44BC的邊AC上確定一點(diǎn)F,連結(jié)。凡使乙力尸。=zC.

（3）在圖③中△力BC的邊AC上確定一點(diǎn)G,連結(jié)DG,使4=

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶見解析

【分析】本題考查網(wǎng)格作圖，中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì);

（1）利用網(wǎng)格特征作出6c的中點(diǎn)E,連接OE即可；

（2）利用網(wǎng)格特征作出線段4c的中點(diǎn)F,連接。尸即可；

（3）利用網(wǎng)格特征作出乙4）￡=乙。，交AC于點(diǎn)G,即可.

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

【詳解】（1）解：如圖1中，點(diǎn)E即為所求；

圖①

（2）如圖2中，點(diǎn)尸即為所求;

圖②

（3）如圖3中，利用網(wǎng)格特征作出乙ADE=4。，交4C于點(diǎn)G,

由三角形的內(nèi)角和可知：Z.AGD=Z.B,

故點(diǎn)G即為所求.

圖③

類型四作角平分線

【例5】（2024上.內(nèi)蒙古包頭.統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑作弧，分別交于點(diǎn)。和E；②分別以點(diǎn)D,E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；

③作射線8r交4C于點(diǎn)G；④過點(diǎn)G作G/7II8C交力8于點(diǎn)，，若乙BHG=110。，貝此HGB=（）

【答案】C

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握角平分線的基本作圖思想是解決問題的關(guān)鍵.也考查了平行

線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和.由題意可知BG是乙18C的平分線，得到=根據(jù)平行線的性質(zhì)得

至叱，GB=ZCBG,等量代換得到ZJ/G8=41",根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意可知BG是乙48c的平分線，

:.Z.ABG=乙CBG,

???HGIIBC,

:.乙HGB=乙CBG,

???4HGB=Z.ABG,

???Z.BHG=110%

AZ.AGB=(HBG=；x(180°-110°)=35。，

故選：C.

【變式5-1](2023上?廣東廣州?廣州市第七十五中學(xué)校考期中)如圖,已知△48C.

(1)尺規(guī)作圖：作乙4cB的角平分線，與48交于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不用寫作法)

⑵若乙4=50。,28=70。,求上CZM的大小.

【答案】(1)見解析

(2)LCDA=100°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可；

(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義乙4cD=/BCZ)=30。，由三角形內(nèi)角和定理求出/CDA大小即可.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求；

(2)解：Vz/1=50°,乙B=70°,

：,LACB=1800=60°,

?1D平分乙4C8,

：,Z.ACD=乙BCD=-AACB=30°,

2

：,ACDA=180°-ACD-/.A=180°-30°-50°=100°.

【點(diǎn)睛】此題考查/基本作圖一角平分線，利用角平分線的定義求角度，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023上?河南駐馬店?統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，已知△48C,過點(diǎn)八的直線N8C.

8

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）：

（2）若（I）中所作的角平分線與直線/交于點(diǎn)。.求證：△718。是等腰三角形.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出乙480=4408,即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，8E即為乙B的平分線；

???Z.ADB=Z.DBC

???BD平分4ABC,

???Z.ABD=乙CBD,

???乙40。=乙AD。,

???AB=AD,

是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——角平分線，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，熟練掌握

等腰三角形判定條件是解題關(guān)鍵.

題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

【例6】（2024上.山西呂梁?統(tǒng)考期末）如圖，已知△48C.

實(shí)踐操作：

（1）作使△力BD三△力8c.（要求：尺規(guī)作圖，點(diǎn)￡）在直線力8的下方，保留作圖痕跡，不寫作法）.

推理與探究：

（2）點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),AE||BD.探究：線段CE+4E與08有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

c

AL------------

【答案】（1）見解析；（2）CE+AE=DB,見解析

【分析】本題考查了作三角形以及全等三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)：

（1）以點(diǎn)A為圓心，4c為半徑在下方畫弧，同時(shí)以點(diǎn)8為圓心，BC為半徑，在48下方畫弧，兩弧相交

一點(diǎn)，即為點(diǎn)。，因?yàn)?c=4D,AB=AB,BC=BD,所以△4BD三△ABC,即可作答.

（2）先由全等三角形的性質(zhì)，^LCBA=LDBA,CB=DB,結(jié)合平行線的性質(zhì)，^￡.CBA=LEAB,以及

等角對(duì)等邊，即可作答.

【詳解】解：（1）如圖△4BD即為所求；

（2）CE+AE=DB.理由：

v△ABD=△ABC

LCBA=乙DBA,CB=DB

???AEIIBD

???LEAB=乙ABD

???LCBA=Z.EAB

:.EA=EB

vCB=CE+EB

:.DB=CE+AE.

【變式6-1］（2023上?湖北襄陽?統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,如圖,為了

得到乙M8N=ZP4Q,在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到△4C0三4BEF的依據(jù)是（）

（2）如圖，直線〃是一條公路，M,N是公路〃同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路〃上修建一個(gè)公交候車

亭。，及修建兩居民區(qū)M,N之間的道路，為了使OM+ON+A1N最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O的位置（尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

?N

M

【答案】（1）B；（2）見解析

【分析】（1）本題考查了全等三角形的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及作一個(gè)角等于已

知角，根據(jù)用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角的步驟，據(jù)此即可求解.

（2）本題考查將軍飲馬模型，作M關(guān)于直線〃的對(duì)稱點(diǎn)連接NM，與直線。交于點(diǎn)。，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和

兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到OM+ON+MN最短.

【詳解】（1）解：根據(jù)做法可知：AC=BE,AD=BF,CD=EF,

AA/1CD^A^EF（SSS）,

故選：B.

（2）解：點(diǎn)。的位置如圖所示：

y/

-/

A

?z

M'

【變式6-2］（2024上?湖北襄陽?統(tǒng)考期末）我們定義：頂角等于36。的等腰三角形為黃金三角形.

如圖，△48C中，=4C且NA=36。，則△力BC為黃金三角形.

腔--------1c（1）利用尺規(guī)作圖，在圖中構(gòu)造出一個(gè)“黃金三角形”；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）說說（1）中的三角形是“黃金三角形''的理由.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)

及角平分線的作圖是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)定義可知，黃金三角形需滿足兩個(gè)條件：①等腰三角形，②頂角為36。.因此滿足條件的黃金三

角形不唯一，例如以4c=72。為一個(gè)角構(gòu)造黃金三角形，只需作48的平分線交AC于點(diǎn)。，則△BDC是黃金

三角形；

（2）由48=4C及三角形內(nèi)角和定理可知乙48c=zC=72°,由角平分線的定義可得=LCBD=36。,

則/BDC=72°,所以NBDC=〃，故ZkMC是黃金三角形.

【詳解】(1)如圖，ABDC就是所求作的黃金三角形;

180°—4A

Z.ABC—Z.C—=72°,

2

由作圖可知，8。平分乙1BC,

?“…加沁BC=36。,

乙BDC=Z.A+Z.ABD=72°,

???Z.BDC=乙C,

所以△8DC是黃金三角形.

【變式6-3](2024上?江西南昌?校聯(lián)考期末)如圖是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,僅

用無刻度直尺在圖①和圖②中按要求作圖.

圖①圖②

(1)在圖①中，畫等腰三角形48C,使其面積為3(畫出一個(gè)即可)；

(2)在圖②中，畫等腰直角三角形使其面積為[(畫出一個(gè)卻可).

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定:

(1)取格點(diǎn)C，連接AC、BC,則△ABC即為所求;

(2)取格點(diǎn)。，連接40、BD,則△48。即為所求;

【詳解】(1)解：如圖所示，△4BC即為所求;

（2）解：如圖所示，△48。即為所求。

【變式6-4］（2023上江蘇南京校聯(lián)考期末）如圖，已知線段力夕，用兩種不同的方法作一個(gè)含30。角的直角

三角形ABC,使其斜邊為48（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

jI________________________?

ABAB

【答案】見解析

【分析】方法一，作線段的垂直平分線，交48于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)4為

圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧與前弧相交于點(diǎn)C△48C即為所作；

方法二，作線段48的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D,再作射線力C,在射線4c上截取力。過點(diǎn)。作力。的

垂線CB,以點(diǎn)A為圓心，48長(zhǎng)為半徑作弧，交CB于點(diǎn)、B,△ABC即為所作.

【洋解】解：方法一：含30。角的直角三角形4BC如圖所示：

方法二：含30。角的直角三角形力8C如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-復(fù)雜作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-5］（2022下.福建漳州.統(tǒng)考期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30。，則它所對(duì)的直角

邊等于斜邊的一半.要求:

（I）根據(jù)給出的線段48及以線段48為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出RtA/BC的斜邊4C,使得

44=30。，保留作圖痕跡，不寫作法；

（2）根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

（2）根據(jù)圖形和命題的己知事項(xiàng)寫出己知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫出求證，再寫出證明過程即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段4c為所求作的線段；

（2）已知：如圖，△48C是直角三角形，/.ABC=90%乙4=30。.

求證：BC=-AC.

解法一：如圖，在AC上截取一點(diǎn)D,使得CD=C8,連接DB.

*：LABC=90°,匕力=30°,：.LACB=60°.

?:CD=CB,,,?△BCD是等邊三角形.

:,BC=CD=BD,乙CBD=60°.

,：LABC=90°,，乙ABD=LABC-ABD=30°.

工乙ABD=4力.：.DA=DB.

■:BC=CD=DB,.\BC=-AC.

2

解法二：如圖，延長(zhǎng)C8至點(diǎn)。，使CB=BD,連接40.

*：LABC=90°,ABAC=30°,

：.￡ABD=90°,LACB=60°,

*：AB=AB,BC=BD,/.ABC=Z.ABD,

：.LABC^^ABD（SAS）.：.AC=AD.

???AAG）是等邊三角形.

*.AC-CD.

VBC=-CD,：.BC=-AC.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題

的美鍵.

【變式6-6].（2022?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，已知線段小兒用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作二個(gè)等腰

三角形ASC（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）.

⑴△A4C的底邊長(zhǎng)為小底邊上的高為/?；

⑵△ABC的腰長(zhǎng)為〃，腰上的高為江

【答案】（1）作圖及理由見解析；

（2）作圖及理由見解析.

【分析】（1）首先作線段8C=a,再作出BC的垂宜平分線，然后截取高為/?,連接人8、CA即可.

（2）首先作直線G"垂直于直線。E,垂足為凡再直線上取線段尸。=力，然后4B=4C=a,連接AB、

C3即可.

作法：1.作線段8C=a,（如圖1）

2.作線段4c的垂直平分線MM最足為0,

3.在直線MN上取線段0A=h,

4.連接A3、AC,

△48C為所求作的三角形；

理由：???線段8。的垂直平分線是WN,0A=h,

???AB=AC,△ABC的高為力，

??.△ABC為等腰三角形，

vBC=a,

.??△48C是底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h的等腰三角形:

G

圖2

(2)解:

作法：I.作直線G”垂直于直線。E,垂足為F,（如圖2）

2.在直線QE上取線段/C二〃,

3.以點(diǎn)。為圓心，。的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線GH于點(diǎn)A,

4.以點(diǎn)A為圓心，〃的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線4尸于點(diǎn)

5.連接8C、AC,

△48C為所求作的三角形:

理由：vAB=AC=a,

??.△ABC為等腰三角形,

???直線GH垂直于直線OE,垂足為F,FC=h,

??.△A3C是腰長(zhǎng)為〃，腰上的高為〃的等腰三角形;

【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線段垂直平分線的作法和等腰三角形的性質(zhì).

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高

【例7】（2023小江蘇泰州?泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△力8C,按要求進(jìn)

行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）

c

（1）分別畫出△ABC的中線BG、高CH；

（2）畫出先將4A8C向右平移6格，再向上平移3格后的△OEF；

（3）畫一個(gè)直曲三角形MNP（要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），使其面積等干△48。的面積的2倍.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的高和中線的定義結(jié)合網(wǎng)格作圖即可；

（2）根據(jù)平移變換的定義和性質(zhì)作圖即可；

（3）由△A8C的面積為3知所作三角形的面積為6,據(jù)此結(jié)合網(wǎng)格作圖即可得解.；

【詳解】（I）如圖所示，中線8G、高CH即為所求；

（3）如圖所示，直角三角形MNP即為所求;

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-基本作圖及平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高，中線的定義和平移變換

的定義與性質(zhì).

【變式7-1］（2023?吉林?一模）如圖，圖①、圖②均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每

（1）在圖①中，作的BC邊上的高：

（2）在圖②中，過點(diǎn)3作直線1，使得直線I平分△ABC的面積.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）在C8的延長(zhǎng)線上，找到格點(diǎn)。，使得是直角三角形，且Z498=90。，連接4）,即可求

解.

（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到4C的中點(diǎn)，過AC的中點(diǎn)與點(diǎn)8作直線I,即可求解.

【詳解】（1）解.：線段AO即為所求；

*：AB=22+44=20,AD=324-33=18,8。=I2+I2=2

：.AB2=AD2+BD2

???A480是直角三角形，且4408=90。，

??"/）即為所求；

（2）直線，即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，作三角形的高，中線，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2024.陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△48C中，/W是BC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC

邊上作一點(diǎn)P,使得，A8C=4S-”.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線，與三角形中線有關(guān)的面積的計(jì)算，分別以點(diǎn)力、。為圓心，大于

的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于M、N,作直線MN角力C于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求,

?.?在AABC中，左。是8c邊上的中線，

S“8c=2SdACD?

由作圖可得：MN垂直分AC,

???AP=CP,

S“CD=2sMPD>

S&ABC=4SMPD?

【變式7-3］（2023?吉林長(zhǎng)春?吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）圖①、那②，圖③積是6x6的間格，每個(gè)小正

方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在圖①，圖②，圖③給定網(wǎng)格中按要求作圖，并

保留作圖痕跡.

圖①圖②圖③

(D網(wǎng)格中的度數(shù)是°:

(2)在圖①中畫出△A8C中8C邊上的中線A。；

(3)在圖②中確定一點(diǎn)E,使得點(diǎn)￡在力C邊上，且滿足BE_LAC：

(4)在圖③中畫出aBM/V,使得ABMN與ABCA是位似圖形，旦點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在BC、AB邊

上，位似比為

【答案】(1)45

⑵見解析

(3)見解析

(4)見解析

【分析】(1)直接根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)求解即可；

(2)找到8C的中點(diǎn)。，連接4。即可;

(3)根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)畫出4c的垂線，與4C交于點(diǎn)七即可；

(4)在BC上找到點(diǎn)M,使得器=：,再過點(diǎn)M畫AC的平行線，與AB交于點(diǎn)、N,即可得解.

BC3

【詳解】(1)解：由圖可知：

乙8的度數(shù)是45。

(2)在圖①中，中線AD即為所求；

(3)在圖②中，點(diǎn)E即為所求;

圖②

圖③

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握位似變換.

題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線

【例8】（2023下?河北石家莊??？奸_學(xué)考試）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）

A.FH>HGB.FH=HGC.EF>FHD.EF=FH

【答案】A

【分析】由作圖可得；PC是，的角平分線，QE是線段PQ的垂直平分線，過H作于K,證明HG=

HK,結(jié)合HKVHF,可得HGVHF,故A符合題意，B不符合題意；由作圖可得，E,。是隨著作圖需要

可以變化位置的，可判斷C,D,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：PC是乙4PB的角平分線，OE是線段戶Q的垂直平分線，過H作HK_L4P于K,

A

*：HG1PB,PC平分乙4PB,HKLAP,

:,HG=HK,

*：HK<HF,

：.HG<HF,故A符合題意，B不符合題意；

由作圖可得，E,。是隨著作圖需要可以變化位置的，

:,EF,FH不能確定其大小，故C,D不符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的作圖與性質(zhì)，線段的垂直平分線的作圖，垂線段最短，理解題意是解本

題的關(guān)鍵.

【變式8-1］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模）如圖，在△4BC中，AB=AC,乙4=36。.按照如下步驟作圖：

①分別以點(diǎn)48為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)MN；

②作直線MN,交AC點(diǎn)D；

③以。為圓心，8C長(zhǎng)為半徑作弧，交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)邑

④連接

下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.4。=DEB."8E=2C.Be?=AC-CDD謂=|

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得=4/1。8=72。，再根據(jù)題意可得：BC=

DE,MN是AB的垂直平分線，從而可得。4=03,進(jìn)而可得乙力==36。，然后利用角的和差關(guān)系可

得/DBC=36。，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得乙。。8=乙4cB=72。，進(jìn)而可得80=8C,再根據(jù)等量代

換可得8。=DE,從而可得4D8E=乙DEB=54°,進(jìn)而可得/CBE=18°,即可判斷A、B,然后證明^BCD?

△71C8,從而利用相似三角形的性質(zhì)可得號(hào)=W，即可判斷C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)，

ACCB

可得黑=早即可判斷D.

【詳解】解：；力