黑龍江省大慶外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期大慶外國語學(xué)校期中考試高三數(shù)學(xué)試題出題人：楊美金校對人：張晶注意事項1.考試時間120分鐘，滿分150分2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名?班級?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并準(zhǔn)確填涂.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號.非選擇題答案使用0.5毫米中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.按照題號在各答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫答案無效.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.1B.C.D.4.給出下列四個命題，其中正確命題為（）A.“”的否定是“”B.在上單調(diào)遞減C.若為的導(dǎo)函數(shù)的一個零點，則為函數(shù)的一個極值點D.若是奇函數(shù)，則5.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則的最小值是（）A.2B.C.4D.6.已知雙曲線兩個焦點為分別為，過點的直線與該雙曲線的右支交于兩點，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，則為（）A.B.C.D.7.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（）A.B.C.D.8.將函數(shù)圖象上每點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.若隨機變量，且，則B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為15C.在一元線性回歸模型分析中，決定系數(shù)用來刻畫模型的擬合效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D.設(shè)隨機事件，，已知事件發(fā)生的概率為，在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為，在事件不發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為10.在三棱錐中，已知，點M，N分別是AD，BC的中點，則（）A.B.異面直線AN，CM所成的角的余弦值是C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球的表面積為11.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為，，是圓：上一動點，線段的垂直平分線交直線于上的點，則（）A.的離心率為2B.的漸近線方程為C.到的漸近線的距離為D.內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中的常數(shù)項為___________.13.在中，，的平分線與交于點，且，，則的面積為___________.14.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點是：從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第___________項.四?解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.近年來，解放軍強軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學(xué)子獻身國防，投身軍營.2024年高考，很多高考畢業(yè)學(xué)生報考了軍事類院校.從某地區(qū)內(nèi)學(xué)校的高三年級中隨機抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報考軍事類院校意向的男生?女生各100名.（1）完成給出的列聯(lián)表，并分別估計該地區(qū)高三男?女學(xué)生有報考軍事類院校意向的概率；有報考意向無報考意向合計男學(xué)生女學(xué)生合計（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生有報考軍事類院校的意愿與性別有關(guān).參考公式及數(shù)據(jù)：.α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816.記的內(nèi)角的對邊分別為已知，且，（1）求的面積；（2）若，求A.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，分別是的中點，（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；（3）若方程有兩個實數(shù)根.證明：19.已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個數(shù)為.（1）若數(shù)列，且，，求數(shù)列和集合T；（2）若是遞增的等差數(shù)列，求證：；（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由參考答案：題號12345678910答案CBCBBDCCADABD題號11答案ABD1.C【詳解】解：，故.2.B【詳解】因為，所以，所以.3.C【詳解】因為，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.4.B【詳解】對于A，易知“”的否定是“”，所以A錯誤；對于B，由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，可得B正確；對于C，若，則；顯然是的一個零點，但在上單調(diào)遞增，沒有極值點，所以C錯誤；對于D，若是奇函數(shù)，不妨取，不滿足，即D錯誤；5.B【詳解】①，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，②，①+②得①-②得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，的最小值為，6.D【詳解】試題分析：設(shè)，由已知，.由雙曲線的定義得：，又由得，，又，選D.7.C【詳解】如下圖，四棱錐中，連接交分別于點，連接，因底面為平行四邊形，則是中點，也是中點，而點是中點，于是得點是重心，從而得，因平面平面，平面平面，因此得，于是得，所以.8.C【詳解】由已知得函數(shù)，由圖象過點以及點在圖象上的位置，知，由在上恰有一個最大值和一個最小值，，.9.AD【詳解】A選項，因為，且，所以，故A正確；B選項，數(shù)據(jù)共有9個數(shù)，，所以第70百分位數(shù)是第7個數(shù)16，故B錯誤；C選項，在一元線性回歸分析中可以用決定系數(shù)來刻畫回歸的效果，若的值越小，則模型的擬合效果越差，故C錯誤；D選項，，所以，又因為，則，所以，故D正確.10.ABD【詳解】三棱錐中，已知，三棱錐補形為長方體，如圖所示，則有解得，以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點分別是的中點，則有，，，所以選項正確；，，所以異面直線所成的角的余弦值是選項正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長方體體積減去這四個三棱錐體積，為，C選項錯誤；長方體的外接球的半徑為，這個外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，D選項正確.11.ABD【詳解】由題意，可知，所以.又由題意，知，所以，所以，故的方程為，所以的離心率為，漸近線方程為，故A，B正確；焦點到漸近線的距離為，所以C錯誤；設(shè)的內(nèi)切圓與軸相切于點，則由雙曲線定義得，所以，即內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，所以D正確，12.60【詳解】展開式的通項為.令，得，則的常數(shù)項為.13.【詳解】因為為的平分線，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以V的面積.14.2017【詳解】依題意有：，所以：，15.【詳解】（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表如下：有報考意向無報考意向合計男學(xué)生100400500女學(xué)生100300400合計200700900男生有報考軍事類院校意向的概率為，女生有報考軍事類院校意向的概率為.（2），所以能認(rèn)為學(xué)生有報考軍事類院校的意愿與性別有關(guān).16.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，得，整理得，而，所以的面積.（2）由（1）及正弦定理得，即，于是，即，整理得，即，因此，即，由，得，解得或，所以或.17.【詳解】（1）取的中點，連接，因為分別是的中點所以且且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以平面，所以平面又因為平面，所以平面平面（2）取的中點，連接，因為，所以，平面平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為原點，向量的方向為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)是平面的法向量，則，取，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，則，所以，，由圖可知，二面角的為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，設(shè)切點為，則切線斜率，切線方程為，，所以，令，則，由，可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為；（3）由，可得，令，則，由，可得，由，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，不妨設(shè)，則，故，令，所以，要證，只要證，只要證，令，則，設(shè)，則，由，可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，所以.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或，進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19.【分析】（1）根據(jù)新定義列舉出集合的元素即可求；根據(jù)題意可知，求出，即可求解；（2）設(shè)公差為，則，即可分析得.（3）利用的定義結(jié)合特例可判斷存在最大值.【詳解】（1）由，且，得均不相等，則都是集合中的元素，而，于