數(shù)學(xué)學(xué)案：學(xué)習(xí)導(dǎo)航函數(shù)的奇偶性用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1。4函數(shù)的奇偶性—2.1.5用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象自主整理1。函數(shù)的奇偶性（1）定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有—x∈D,且f(-x)=-f(x）,則稱f（x）為奇函數(shù);設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D且g(-x）=g（x）,則稱g(x)為偶函數(shù).(2)分類:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,函數(shù)可分為:①是奇函數(shù)但不是偶函數(shù);②是偶函數(shù)但不是奇函數(shù);③是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；④既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。(3）圖象的對(duì)稱性質(zhì)：①如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。2。用計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)作函數(shù)圖象的指令步驟（1）給自變量x賦值;（2)給出計(jì)算法則，求對(duì)應(yīng)的y值;（3)由x和對(duì)應(yīng)的y值組成有序數(shù)對(duì)集合；（4)建立直角坐標(biāo)系，并根據(jù)有序數(shù)對(duì),在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集;(5)通過(guò)這些點(diǎn)集描出函數(shù)的圖象.注意:只要函數(shù)的表達(dá)式已知,就能畫(huà)出函數(shù)的圖象。高手筆記1。在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中，都要求x∈D，-x∈D,這就是說(shuō)一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。2.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在x=0處有意義,那么一定有f（0）=0.這個(gè)結(jié)論可以當(dāng)作一個(gè)定理來(lái)使用.但要注意,反之結(jié)論是不成立的.3.存在有既奇且偶的函數(shù)，例如f(x)=。當(dāng)f(-x）與f（x）之間的關(guān)系較隱蔽時(shí)，容易產(chǎn)生“非奇非偶”的錯(cuò)覺(jué)，萬(wàn)萬(wàn)不可草率下結(jié)論.4。設(shè)f（x）、g(x)的定義域分別是D1、D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇,奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶,奇×偶=奇。5.奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;若奇函數(shù)f（x)在區(qū)間［a,b]（0〈a〈b）上有最大值M，最小值m，則f（x）在區(qū)間［—b,-a］上的最大值為-m,最小值為—M;偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]，[-b，—a]（0〈a〈b）上有相同的最大(小)值.6.記憶口訣:奇函數(shù),偶函數(shù)，函數(shù)奇偶看f.同號(hào)偶，異號(hào)奇,非奇非偶不離奇。對(duì)折偶，旋轉(zhuǎn)奇,圖象重合在一起。名師解惑1.應(yīng)如何理解函數(shù)的奇偶性？剖析:(1)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)x”即x是定義域內(nèi)任意的，不可只對(duì)部分特殊值滿足條件。如f(x)=x2,x∈（-2，2］，f(-1)=f(1）,f(）=f(），f(2）雖然存在，但f(-2）無(wú)定義，故f（—2)=f(2)不成立,所以此時(shí)f（x）是無(wú)奇偶性的。(2）定義中“都有f（-x)=f（x)或f（—x)=-f（x)”即遍布定義域內(nèi)的所有x都滿足f(-x）等于f（x)或-f(x).（3)通過(guò)對(duì)定義歸納出函數(shù)奇偶性的以下幾個(gè)性質(zhì)，從而完整地認(rèn)識(shí)函數(shù)的奇偶性:①對(duì)稱性：奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②整體性:奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立;③可逆性：f(—x）=f(x）f(x)是偶函數(shù)，f（—x)=—f(x)f（x）是奇函數(shù)；④等價(jià)性:f（-x)=f(x)f（x)-f(—x）=0,f(-x)=—f（x）f（x）+f(—x）=0；⑤可分性:根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類:奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),非奇非偶函數(shù).2.應(yīng)如何判斷函數(shù)奇偶性?剖析：（1)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷，其基本步驟為:①先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)沒(méi)有標(biāo)明定義域,應(yīng)先找到使函數(shù)有意義的x的集合，因?yàn)樗桥袛嗪瘮?shù)奇偶性的一個(gè)重要依據(jù)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。如函數(shù)f(x）=x4+1,x∈［—1，2]。由于它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)1<x≤2時(shí)，-x沒(méi)有定義,所以它不符合奇、偶函數(shù)的定義,故f（x）=x4+1,x∈[-1，2]是非奇非偶函數(shù)。②再看f(—x）與f(x）的關(guān)系,這是因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)也不一定是奇偶函數(shù)。如f(x）=x2+x,g（x）=x3+1，它們的定義域都是R,因?yàn)閒（—x)=(—x）2+（—x）=x2-x≠±f（x），所以它是非奇非偶函數(shù).同理可證g（x）=x3+1也是非奇非偶函數(shù)。③然后得出結(jié)論.(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足f(-x)=—f（x）=f（x)的函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，如f(x）=0(x∈R）、f（x）=0（x∈［—2,2］）、f(x）=0（x∈(—1，1））等,應(yīng)注意：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).(3)分段函數(shù)奇偶性判定方法的關(guān)鍵是搞清x與-x的所在范圍,及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并且函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的奇偶性都應(yīng)進(jìn)行判斷,而不能以其中一個(gè)區(qū)間來(lái)代替整個(gè)定義域。(4)判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可用定義域的等價(jià)形式f（—x）±f(x)=0或=±1（f（x)≠0）來(lái)代替。（5）有時(shí)可以直接借助函數(shù)的圖象或相關(guān)性質(zhì)，如:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱等,從而直觀地判斷函數(shù)的奇偶性.講練互動(dòng)【例題1】判斷下列函數(shù)的奇偶性;(1）f（x）=;（2）f（x)=x3-2x；（3)f(x)=a(x∈R);(4)f(x)=分析：按奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義或幾何特征進(jìn)行判斷即可.解：（1)函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x≠—1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f（x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x)=(-x）3-2（—x）=2x—x3=—f(x)，所以f(x）是奇函數(shù)。(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(—x)=a=f(x)，即f(x)是偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí),—x<0，此時(shí)f（—x)=—x［1+（—x)］=—x（1-x）=—f(x）；當(dāng)x<0時(shí),—x>0,此時(shí)f（-x）=—x［1—（-x)]=—x(1+x)=—f(x);當(dāng)x=0時(shí),—x=0，此時(shí)f(-x)=0，f（x）=0，即f(—x)=-f（x）。綜上,f(-x)=—f(x），所以f（x）為奇函數(shù).綠色通道根據(jù)奇函數(shù)以及偶函數(shù)的定義，判斷是不是有關(guān)系f（—x）=f（x）或f（-x）=-f（x），前者是偶函數(shù)，后者是奇函數(shù)；如果這兩個(gè)都不成立,則是非奇非偶函數(shù)。說(shuō)一個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，只要說(shuō)明它的定義域不合要求即可,而不必套用作差法進(jìn)行檢驗(yàn)。有時(shí)根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行判斷也是捷徑之一。黑色陷阱要注意的是，有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),解題中容易忽視這一點(diǎn).變式訓(xùn)練1.判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:（1）f(x)=x3;（2）f（x)=2x4+3x2;（3）f(x）=x3+x；（4)f（x)=x+1。分析：按定義證明即可。解：(1）f(—x)=（—x）3=—f（x）,所以f（x）是奇函數(shù);(2）f(-x)=2(-x）4+3（-x）2=2x4+3x2=f（x），所以f(x)是偶函數(shù)；(3)f（—x）=(-x）3+(—x）=-(x3+x）=-f（x)，所以f(x）是奇函數(shù);(4)f(x)=x+1中，既沒(méi)有f（—x)=f（x),也沒(méi)有f(-x)=-f(x）,所以f（x）為非奇非偶函數(shù).【例題2】關(guān)于下列命題:①兩個(gè)奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù),兩個(gè)偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù);②f（x）是任意函數(shù)，那么｜f（x）|與f(|x|)都是偶函數(shù);③如果函數(shù)f(x）滿足:|f（x)|=｜f(—x）｜,那么f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù);④函數(shù)f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x)—f(—x)是奇函數(shù)。其中正確的個(gè)數(shù)為（）A。1B.2C。3解析:①錯(cuò)誤。如果這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是空集,那么它們的和或差沒(méi)有意義；還有兩個(gè)奇函數(shù)的差,或兩個(gè)偶函數(shù)的差,可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),如f（x）=x（x∈［-1,1］），g(x)=x（x∈[-2，2］）,可以看出函數(shù)f（x)與g（x)都是定義域上的奇函數(shù),它們的差只在區(qū)間［-1，1］上有意義且f（x）—g(x)=0，而在此區(qū)間上函數(shù)f（x）—g（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。②錯(cuò)誤.一方面,對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)f（x）而言，不能保證它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;另一方面,對(duì)于任意一個(gè)分段函數(shù)不能保證f(—x）=f（x)或f(—x）=-f(x），所以不能保證|f(—x)|=｜f(x)|或｜f（—x)｜=｜—f(x)|,所以｜f(x)｜不一定是偶函數(shù).如果所給函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么函數(shù)f（|x|）是偶函數(shù).③錯(cuò)誤.如函數(shù)f(x）=0，顯然滿足|f(x）｜=|f（—x)|,但是它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).④正確。由函數(shù)奇偶性的定義易證.答案：A綠色通道此題是關(guān)于函數(shù)奇偶性考查的很好的一類題型，做這種選擇題要注意充分地利用反例排除法。解題的關(guān)鍵是緊扣奇偶性定義，此外還應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)f(x）=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，因?yàn)槠涠x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且既滿足f（x）=f(-x）也滿足f(x）=—f(—x）；（2)在公共定義域內(nèi)，奇函數(shù)與奇函數(shù)的和為奇函數(shù)，偶函數(shù)與偶函數(shù)的和為偶函數(shù)，奇函數(shù)與奇函數(shù)的積為偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的積為奇函數(shù).變式訓(xùn)練2。f(x）是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是……(）A。f（x)f（—x)是奇函數(shù)B.f（x)｜f（-x)|是奇函數(shù)C。f（x)-f（-x)是偶函數(shù)D。f(x）+f(—x)是偶函數(shù)解析:A中F（x）=f（x）f（—x）,則F(-x)=f(-x)f（x）=F(x）,即函數(shù)F（x）=f（x)f(-x)為偶函數(shù);B中F（x)=f（x)｜f(—x)|，F(xiàn)（—x)=f(-x）|f（x）｜,此時(shí)F(x)與F（—x）的關(guān)系不能確定，即函數(shù)F(x）=f(x)|f(-x）｜的奇偶性不確定;C中,F（x）=f（x）—f(-x),F（-x)=f（-x)—f(x）=-F(x)，即函數(shù)F（x）=f(x）-f(-x）為奇函數(shù);D中F（x）=f(x)+f（—x),F（-x）=f（-x）+f(x）=F（x）,即函數(shù)F(x)=f(x)+f（—x)為偶函數(shù)。答案：D【例題3】（2007廣東中山高三期末統(tǒng)考，理19)已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)定義域內(nèi)的任意x、y,f(x)都滿足f（xy）=yf(x）+xf（y）。（1)求f（1）、f（—1）的值;(2)判斷f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由。分析：(1）利用賦值法，令x=y=1,得f（1)的值,令x=y=—1,得f（—1)的值;（2）利用定義法證明f(x）是奇函數(shù),要借助于賦值法得f（—x)=-f（x）。解：(1）∵f（x)對(duì)任意x、y都有f(x·y)=yf(x）+xf(y）,∴令x=y=1時(shí)，有f(1×1）=1·f(1)+1·f(1).∴f（1)=0；令x=y=—1時(shí)，有f［(—1）×（-1）］=（-1)·f（—1）+(—1）·f(-1)，∴f（-1)=0。（2）∵f(x)對(duì)任意x、y都有f（x·y）=yf（x）+xf（y）,令y=-1，有f（-x)=-f（x)+xf(-1),將f(—1)=0代入,得f（—x)=—f（x),∴函數(shù)f(x）是（—∞，+∞）上的奇函數(shù).黑色陷阱不能直接用定義進(jìn)行判斷，可通過(guò)賦值,找出f（—x)與f(x）的關(guān)系。抽象函數(shù)常以函數(shù)方程的形式出現(xiàn)，求解這類問(wèn)題通常讓變量取一些特殊值或特殊式，以便尋求解題方法。變式訓(xùn)練3。已知函數(shù)y=f（x)（x∈R且x≠0),對(duì)于任意兩非零實(shí)數(shù)x1、x2，恒有f（x1·x2)=f(x1）+f（x2），試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。分析：對(duì)抽象函數(shù)奇偶性的判定,因無(wú)具體的解析式,因此需要利用給定的函數(shù)方程式，對(duì)變量x1、x2賦值，將其變成含有f(x）、f(-x)的式子加以判斷.解：由題意知f（x）的定義域?yàn)椋ā?0）∪(0，+∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。令x1=x2=1，得f(1)=f（1）+f（1），即f(1）=0。令x1=x2=—1,得f（1）=f（—1）+f(-1），即f（—1)=0.取x1=—1,x2=x，得f(-x)=f（-1）+f(x)=f（x）?！嗪瘮?shù)f(x）是偶函數(shù).【例題4】若f（x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí)，f(x）=x(1—x)，求當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式。解:由f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),—x〈0，且f(x）=—f（-x)=—{（—x)［1—(—x)］｝=x(1+x）;當(dāng)x=0時(shí),f(0）=—f(0）,即f（0）=0?！喈?dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x）。綠色通道判斷分段函數(shù)的奇偶性,應(yīng)對(duì)x在各個(gè)區(qū)間上分別討論，注意由x的取值范圍確定應(yīng)用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式