數學學案：學習導航函數的奇偶性用計算機作函數的圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1。4函數的奇偶性—2.1.5用計算機作函數的圖象自主整理1。函數的奇偶性（1）定義：設函數y=f（x）的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有—x∈D,且f(-x)=-f(x）,則稱f（x）為奇函數;設函數y=g(x)的定義域為D,如果對D內的任意一個x，都有-x∈D且g(-x）=g（x）,則稱g(x)為偶函數.(2)分類:根據函數奇偶性的定義,函數可分為:①是奇函數但不是偶函數;②是偶函數但不是奇函數;③是奇函數又是偶函數；④既不是奇函數也不是偶函數。(3）圖象的對稱性質：①如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形,則這個函數是奇函數.②如果一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之,如果一個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數。2。用計算機圖形技術作函數圖象的指令步驟（1）給自變量x賦值;（2)給出計算法則，求對應的y值;（3)由x和對應的y值組成有序數對集合；（4)建立直角坐標系，并根據有序數對,在直角坐標系中作出對應的點集;(5)通過這些點集描出函數的圖象.注意:只要函數的表達式已知,就能畫出函數的圖象。高手筆記1。在奇函數和偶函數的定義中，都要求x∈D，-x∈D,這就是說一個函數不論是奇函數還是偶函數，它的定義域一定關于坐標原點對稱。2.若函數f(x)是奇函數，且在x=0處有意義,那么一定有f（0）=0.這個結論可以當作一個定理來使用.但要注意,反之結論是不成立的.3.存在有既奇且偶的函數，例如f(x)=。當f(-x）與f（x）之間的關系較隱蔽時，容易產生“非奇非偶”的錯覺，萬萬不可草率下結論.4。設f（x）、g(x)的定義域分別是D1、D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇,奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶,奇×偶=奇。5.奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性相同,偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反;若奇函數f（x)在區(qū)間［a,b]（0〈a〈b）上有最大值M，最小值m，則f（x）在區(qū)間［—b,-a］上的最大值為-m,最小值為—M;偶函數f（x）在區(qū)間[a,b]，[-b，—a]（0〈a〈b）上有相同的最大(小)值.6.記憶口訣:奇函數,偶函數，函數奇偶看f.同號偶，異號奇,非奇非偶不離奇。對折偶，旋轉奇,圖象重合在一起。名師解惑1.應如何理解函數的奇偶性？剖析:(1)定義中“定義域內的任意一個x”即x是定義域內任意的，不可只對部分特殊值滿足條件。如f(x)=x2,x∈（-2，2］，f(-1)=f(1）,f(）=f(），f(2）雖然存在，但f(-2）無定義，故f（—2)=f(2)不成立,所以此時f（x）是無奇偶性的。(2）定義中“都有f（-x)=f（x)或f（—x)=-f（x)”即遍布定義域內的所有x都滿足f(-x）等于f（x)或-f(x).（3)通過對定義歸納出函數奇偶性的以下幾個性質，從而完整地認識函數的奇偶性:①對稱性：奇偶函數的定義域關于原點對稱;②整體性:奇偶性是函數的整體性質,對定義域內任意一個x都必須成立;③可逆性：f(—x）=f(x）f(x)是偶函數，f（—x)=—f(x)f（x）是奇函數；④等價性:f（-x)=f(x)f（x)-f(—x）=0,f(-x)=—f（x）f（x）+f(—x）=0；⑤可分性:根據奇偶性可將函數分為四類:奇函數，偶函數，既是奇函數又是偶函數,非奇非偶函數.2.應如何判斷函數奇偶性?剖析：（1)根據函數奇偶性定義判斷，其基本步驟為:①先看定義域是否關于原點對稱，若函數沒有標明定義域,應先找到使函數有意義的x的集合，因為它是判斷函數奇偶性的一個重要依據，如果一個函數的定義域關于坐標原點不對稱,那么這個函數既不是奇函數，也不是偶函數。如函數f(x）=x4+1,x∈［—1，2]。由于它的定義域不關于原點對稱,當1<x≤2時，-x沒有定義,所以它不符合奇、偶函數的定義,故f（x）=x4+1,x∈[-1，2]是非奇非偶函數。②再看f(—x）與f(x）的關系,這是因為定義域關于原點對稱的函數也不一定是奇偶函數。如f(x）=x2+x,g（x）=x3+1，它們的定義域都是R,因為f（—x)=(—x）2+（—x）=x2-x≠±f（x），所以它是非奇非偶函數.同理可證g（x）=x3+1也是非奇非偶函數。③然后得出結論.(2)定義域關于原點對稱，滿足f(-x)=—f（x）=f（x)的函數既是奇函數也是偶函數，如f(x）=0(x∈R）、f（x）=0（x∈［—2,2］）、f(x）=0（x∈(—1，1））等,應注意：既是奇函數又是偶函數的函數有無數個.(3)分段函數奇偶性判定方法的關鍵是搞清x與-x的所在范圍,及其對應的函數關系式,并且函數在每一個區(qū)間上的奇偶性都應進行判斷,而不能以其中一個區(qū)間來代替整個定義域。(4)判斷函數的奇偶性有時可用定義域的等價形式f（—x）±f(x)=0或=±1（f（x)≠0）來代替。（5）有時可以直接借助函數的圖象或相關性質，如:奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于y軸對稱等,從而直觀地判斷函數的奇偶性.講練互動【例題1】判斷下列函數的奇偶性;(1）f（x）=;（2）f（x)=x3-2x；（3)f(x)=a(x∈R);(4)f(x)=分析：按奇函數或偶函數的定義或幾何特征進行判斷即可.解：（1)函數的定義域為｛x｜x≠—1}，不關于原點對稱,所以f（x)既不是奇函數也不是偶函數。(2)函數的定義域為R,關于原點對稱，f（-x)=(-x）3-2（—x）=2x—x3=—f(x)，所以f(x）是奇函數。(3)函數的定義域為R，關于原點對稱，當a=0時，f（x）既是奇函數又是偶函數；當a≠0時，f(—x)=a=f(x)，即f(x)是偶函數.(4)函數的定義域為R,關于原點對稱，當x>0時,—x<0，此時f（—x)=—x［1+（—x)］=—x（1-x）=—f(x）；當x<0時,—x>0,此時f（-x）=—x［1—（-x)]=—x(1+x)=—f(x);當x=0時,—x=0，此時f(-x)=0，f（x）=0，即f(—x)=-f（x）。綜上,f(-x)=—f(x），所以f（x）為奇函數.綠色通道根據奇函數以及偶函數的定義，判斷是不是有關系f（—x）=f（x）或f（-x）=-f（x），前者是偶函數，后者是奇函數；如果這兩個都不成立,則是非奇非偶函數。說一個函數是非奇非偶函數，只要說明它的定義域不合要求即可,而不必套用作差法進行檢驗。有時根據函數圖象的對稱性進行判斷也是捷徑之一。黑色陷阱要注意的是，有的函數既是奇函數又是偶函數,解題中容易忽視這一點.變式訓練1.判斷下列函數是否具有奇偶性:（1）f(x)=x3;（2）f（x)=2x4+3x2;（3）f(x）=x3+x；（4)f（x)=x+1。分析：按定義證明即可。解：(1）f(—x)=（—x）3=—f（x）,所以f（x）是奇函數;(2）f(-x)=2(-x）4+3（-x）2=2x4+3x2=f（x），所以f(x)是偶函數；(3)f（—x）=(-x）3+(—x）=-(x3+x）=-f（x)，所以f(x）是奇函數;(4)f(x)=x+1中，既沒有f（—x)=f（x),也沒有f(-x)=-f(x）,所以f（x）為非奇非偶函數.【例題2】關于下列命題:①兩個奇函數的和或差仍是奇函數,兩個偶函數的和或差仍是偶函數;②f（x）是任意函數，那么｜f（x）|與f(|x|)都是偶函數;③如果函數f(x）滿足:|f（x)|=｜f(—x）｜,那么f（x）是奇函數或偶函數;④函數f（x）+f（-x）是偶函數，函數f（x)—f(—x)是奇函數。其中正確的個數為（）A。1B.2C。3解析:①錯誤。如果這兩個函數的定義域的交集是空集,那么它們的和或差沒有意義；還有兩個奇函數的差,或兩個偶函數的差,可能既是奇函數又是偶函數,如f（x）=x（x∈［-1,1］），g(x)=x（x∈[-2，2］）,可以看出函數f（x)與g（x)都是定義域上的奇函數,它們的差只在區(qū)間［-1，1］上有意義且f（x）—g(x)=0，而在此區(qū)間上函數f（x）—g（x）既是奇函數又是偶函數。②錯誤.一方面,對于任意一個函數f（x）而言，不能保證它的定義域關于原點對稱;另一方面,對于任意一個分段函數不能保證f(—x）=f（x)或f(—x）=-f(x），所以不能保證|f(—x)|=｜f(x)|或｜f（—x)｜=｜—f(x)|,所以｜f(x)｜不一定是偶函數.如果所給函數的定義域關于原點對稱,那么函數f（|x|）是偶函數.③錯誤.如函數f(x）=0，顯然滿足|f(x）｜=|f（—x)|,但是它既是奇函數又是偶函數.④正確。由函數奇偶性的定義易證.答案：A綠色通道此題是關于函數奇偶性考查的很好的一類題型，做這種選擇題要注意充分地利用反例排除法。解題的關鍵是緊扣奇偶性定義，此外還應注意以下兩點：（1）函數f(x）=0既是奇函數也是偶函數，因為其定義域關于原點對稱且既滿足f（x）=f(-x）也滿足f(x）=—f(—x）；（2)在公共定義域內，奇函數與奇函數的和為奇函數，偶函數與偶函數的和為偶函數，奇函數與奇函數的積為偶函數，偶函數與奇函數的積為奇函數.變式訓練2。f(x）是R上的任意函數，則下列敘述正確的是……(）A。f（x)f（—x)是奇函數B.f（x)｜f（-x)|是奇函數C。f（x)-f（-x)是偶函數D。f(x）+f(—x)是偶函數解析:A中F（x）=f（x）f（—x）,則F(-x)=f(-x)f（x）=F(x）,即函數F（x）=f（x)f(-x)為偶函數;B中F（x)=f（x)｜f(—x)|，F（—x)=f(-x）|f（x）｜,此時F(x)與F（—x）的關系不能確定，即函數F(x）=f(x)|f(-x）｜的奇偶性不確定;C中,F（x）=f（x）—f(-x),F（-x)=f（-x)—f(x）=-F(x)，即函數F（x）=f(x）-f(-x）為奇函數;D中F（x）=f(x)+f（—x),F（-x）=f（-x）+f(x）=F（x）,即函數F(x)=f(x)+f（—x)為偶函數。答案：D【例題3】（2007廣東中山高三期末統(tǒng)考，理19)已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的不恒為零的函數,且對定義域內的任意x、y,f(x)都滿足f（xy）=yf(x）+xf（y）。（1)求f（1）、f（—1）的值;(2)判斷f（x）的奇偶性，并說明理由。分析：(1）利用賦值法，令x=y=1,得f（1)的值,令x=y=—1,得f（—1)的值;（2）利用定義法證明f(x）是奇函數,要借助于賦值法得f（—x)=-f（x）。解：(1）∵f（x)對任意x、y都有f(x·y)=yf(x）+xf(y）,∴令x=y=1時，有f(1×1）=1·f(1)+1·f(1).∴f（1)=0；令x=y=—1時，有f［(—1）×（-1）］=（-1)·f（—1）+(—1）·f(-1)，∴f（-1)=0。（2）∵f(x)對任意x、y都有f（x·y）=yf（x）+xf（y）,令y=-1，有f（-x)=-f（x)+xf(-1),將f(—1)=0代入,得f（—x)=—f（x),∴函數f(x）是（—∞，+∞）上的奇函數.黑色陷阱不能直接用定義進行判斷，可通過賦值,找出f（—x)與f(x）的關系。抽象函數常以函數方程的形式出現，求解這類問題通常讓變量取一些特殊值或特殊式，以便尋求解題方法。變式訓練3。已知函數y=f（x)（x∈R且x≠0),對于任意兩非零實數x1、x2，恒有f（x1·x2)=f(x1）+f（x2），試判斷函數f(x)的奇偶性。分析：對抽象函數奇偶性的判定,因無具體的解析式,因此需要利用給定的函數方程式，對變量x1、x2賦值，將其變成含有f(x）、f(-x)的式子加以判斷.解：由題意知f（x）的定義域為（—∞,0）∪(0，+∞)，關于原點對稱。令x1=x2=1，得f(1)=f（1）+f（1），即f(1）=0。令x1=x2=—1,得f（1）=f（—1）+f(-1），即f（—1)=0.取x1=—1,x2=x，得f(-x)=f（-1）+f(x)=f（x）?！嗪瘮礷(x）是偶函數.【例題4】若f（x)是定義在R上的奇函數,當x<0時，f(x）=x(1—x)，求當x≥0時,函數f(x)的解析式。解:由f(x)是奇函數，當x>0時,—x〈0，且f(x）=—f（-x)=—{（—x)［1—(—x)］｝=x(1+x）;當x=0時,f(0）=—f(0）,即f（0）=0?！喈攛≥0時，f（x）=x（1+x）。綠色通道判斷分段函數的奇偶性,應對x在各個區(qū)間上分別討論，注意由x的取值范圍確定應用相應的函數表達式