高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：平面與直線

平面與直線一、平面的方程二、直線的方程三、平面、直線的位置關(guān)系

1．平面的點法式方程法向量

因為

所以有

該方程稱為平面的點法式方程

一、平面的方程解由平面方程的點法式得所求平面方程為例1

求過點

且垂直于向量的平面方程即且和平面

例2

求過點

垂直的平面方程．

解因為在該平面上,已知平面的法向量故

所求平面的法向量與向量和都垂直即

由公式得該平面的方程為例3

求過點和三點的平面方程

故

解所求平面的法向量與向量和都垂直，而由公式得該平面方程為

即從平面的點法式方程得令該方程稱為平面的一般式方程.則———①2．平面的一般式方程①

—

②得它表示過點且以為法向量的平面

可見，任一三元一次方程①（不全為零）都表示一個平面.系數(shù)為平面法向量的坐標(biāo)設(shè)是其任一組解，即———②平面通過原點(圖9.16)

圖9.16(2)當(dāng)時，

圖9.17

方程 的特殊情況:(1)當(dāng)時，

該平面平行于軸（圖9.17）

圖9.18(3)當(dāng)時,

表示的平面通過軸(圖9.18)

同理,方程

分別表示平行于軸和軸的平面;

分別表示通過

軸和

軸的平面.(4)當(dāng)

時，圖9.19當(dāng)時,該平面平行于坐標(biāo)面(圖9.19)

它表示坐標(biāo)面

同理，方程和分別表示平行面和面的平面;方程和分別表示面和面.方程為

代入原方程并化簡,得所求平面方程為例4

求通過軸和點的平面方程.解因平面通過

軸,由以上討論,可設(shè)其方程為

又點在平面上,因此即解設(shè)所求平面方程為例5

一平面經(jīng)過三點，求此平面的方程.又因

三點都在平面上,所以有

后兩個方程分別減去第一個方程,得所以

代入第一個方程得即因為

不能同時為零,所以

,于是有即得所求平面方程為3．平面的截距式方程

解此方程組得

設(shè)一平面過三點(圖9.20),求此平面方程．圖9.20

設(shè)平面方程為，因為

三點在該平面上,所以有

即得所求平面方程為

此方程稱為平面的截距式方程,其中

分別稱為平面在

軸、

軸、

軸上的截距.

代入所設(shè)方程(因平面不過原點,)得解方程兩邊同除以5,得平面的截距式方程為其中

例6

將平面化為截距式方程．

得

由1．直線的點向式方程與參數(shù)方程方向向量:向向量為,它的一個方

已知直線L上任意一點求直線L的方程（圖9.21）．圖9.21

二、直線的方程所以由兩向量平行的充要條件可知

此方程組稱為直線的點向式方程（或稱標(biāo)準(zhǔn)方程）

設(shè)點

為直線L上任意一點則點在直線上的充要條件是∥因為注：當(dāng)中有一個或兩個為零時，就理解為相應(yīng)的分子也為零．

記其比值為t,則有此式稱為直線L的參數(shù)方程，t為參數(shù)．例7

求過點的直線方程．方向向量

故所求直線的方程為

上式也稱為直線的兩點式方程．

解解因所求直線平行于兩平面.故直線的方向向量s垂直于兩平面的法向量及例8

求過點且平行于兩平面及

的直線方程.所以取因此,所求直線方程為即

2．直線的一般方程

設(shè)平面的方程分別為：

則兩個平面的交線L的方程為

此方程稱直線的一般方程．例10

將直線方程

化為點向式方程及參數(shù)方程．

解先求直線上的一點不妨令,代入原方程組得

解得，即點在直線上再求該直線的一個方向向量,因為分別垂直于平面及的法向量

所以可取所以直線的點向式方程為

令上式為,可得已知直線的參數(shù)方程為

三、平面、直線的位置關(guān)系1．平面與平面的位置關(guān)系

兩平面的夾角:兩平面法向量的夾角(通常取銳角).法向量

因此與的夾角的余弦為：

特別地

∥∥例11

求兩平面

的夾角．

兩平面的法向量分別為

所以兩平面的夾角的余弦為

所以兩平面夾角

解2．直線與直線的位置關(guān)系

兩直線的夾角:兩直線方向向量的夾角(取銳角).方向向量因此與的夾角的余弦為

∥∥例12

求直線

和直線

的夾角．的方向向量分別為解則兩直線與的夾角的余弦為

所以兩直線的夾角

3．直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的夾角:直線和它在平面上的投影直線的夾角

設(shè)直線與平面的垂直線的夾角為，與的夾角為,則