高等數(shù)學（經(jīng)濟類-上冊第2版）課件：定積分

定積分定積分的概念與性質一、引例二、定積分的概念三、定積分的性質四、小結一、引例設某物體做直線運動，已知速度v=v(t)為連續(xù)函數(shù)，且求該物體從時刻a到時刻b這段時間內所經(jīng)過的路程.1、變速直線運動的路程解決思路：把整段時間分割成若干小段，在每個小時間段上，變速直線運動可以近似地看成勻速直線運動.求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值.最后通過對時間的無限細分，求得路程的精確值．

速度是隨時間變化的變量，不能直接利用：

計算變速直線運動的路程.路程=速度*時間（1）分割用分點將[a,b]任意分成n個小區(qū)間：（2）近似任取作乘積則物體在這段時間內走過的路程（3）求和（4）取極限變速直線運動路程s的近似值為即當令時，取極限即得到路程的精確值.第i個小區(qū)間的的長度記為一、引例2、曲邊梯形的面積解決思路：曲邊梯形的高時變化的，與引例1類似，可以把曲邊梯形分成若干個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形的高可以近似是固定的，這樣曲邊梯形的面積就近似于若干個小矩形面積的和，最后通過對區(qū)間的無限細分，求得曲邊梯形面積的精確值．曲邊梯形：由連續(xù)曲線直線x=a、x=b及x軸所圍成的平面圖形.我們能否利用矩形面積來研究曲邊梯形的面積？y0xaby=f(x)（1）分割用分點將[a,b]任意分成n個小區(qū)間：第i個小區(qū)間的長度記為（2）近似過作垂直于x軸的直線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.小矩形面積為底，以為高的任取近似代替第i個曲邊梯形的面積，即y0xaby=f(x)（3）求和將n個小矩形的面積求和，即得曲邊梯形面積的近似值為（4）取極限當令時，取極限即得到曲邊梯形面積的精確值.y0xaby=f(x)一、引例3、收益問題解決思路：曲邊梯形的高時變化的，與引例1類似，可以把曲邊梯形分成若干個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形的高可以近似是固定的，這樣曲邊梯形的面積就近似于若干個小矩形面積的和，最后通過對區(qū)間的無限細分，求得曲邊梯形面積的精確值．設某商品的價格p是銷量x(連續(xù)變量)的函數(shù)p=p(x),當銷售量從a增長到b時的收益R是多少？

由于價格隨銷售量的變化而變化，因此不能直接用銷售量乘價格的方法計算收益！（1）分割用分點將[a,b]任意分成n個小區(qū)間，每個銷售量段的銷售量為（2）近似（3）求和（4）取極限把n段的收益相加，得收益的近似值為當令時，取極限即所求收益的精確值.則在這段的近似收益為任取把作為這段內的近似價格,二、定積分的概念定義設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，(1)分割在[a,b]中插入n-1個分點把[a,b]分成n個小區(qū)間第i個小區(qū)間的長度記為(2)近似在每個小區(qū)間作乘積上任取一點(3)求和

將(2)所得的各近似值加起來，得(4)取極限如果無論[a,b]怎么分割記及點在區(qū)間上怎樣選取，1、定積分的定義極限的值都為同一常數(shù)，則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，并稱此的極限值為f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為即積分和積分號被積函數(shù)積分變量積分上限積分下限被積表達式[a,b]稱為積分區(qū)間.注意：(1)定義中和式的極限存在是指，無論區(qū)間[a,b]怎么分割，點怎么選取，當時，和式的極限都存在且為同一個數(shù).無關，即（2）定積分的值只與f(x)及[a,b]有關，與積分變量的字母（3）為了以后研究方便，補充規(guī)定：當時，當時，有了定積分的定義后，我們就可以用定積分把引例中所求的量用定積分表示出來：（1）變速直線運動的路程：（2）曲邊梯形的面積：（3）收益問題：2、定積分存在的條件定理2若函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理1若函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.注：（1）若函數(shù)可積，則函數(shù)一定有界；若函數(shù)有界，未必可積；無界函數(shù)一定不可積分.（2）定理2中的有限個間斷點，一般為可去間斷點.例1利用定義計算定積分解：由于定積分的值與區(qū)間的分法無關，我們將區(qū)間[0,1]n等分，每個區(qū)間的長度為分點為取于是有當時，必有則即3、定積分的幾何意義當時，定積分表示曲邊梯形的面積.當時，定積分表示曲邊梯形的面積的負值.AA3、定積分的幾何意義＋＋－－幾何意義：函數(shù)f(x)與x軸所圍圖形面積的代數(shù)和，圖形在x

軸上方取正，下方取負.例2利用定積分幾何意義，寫出的值.解：該定積分即為所圍三角形的面積，即為三、定積分的性質性質1性質2（函數(shù)線性可加性）證明：由定積分的定義，有性質3（區(qū)間可加性）設a,b,c為三個實數(shù)，則有取時的極限，則有證明：時，由于函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，故定積分的值與區(qū)間的分法無關，取c作為分點,則當時，由上面證明，有當無論a,b,c的相對位置如何，總有這個等式成立！則有性質4（比較定理）當時，證明：由假設知且故上式極限值非負，從而有推論1（保號性）當時，推論2證明：因為由性質2和4，有即性質5（估值定理）設M和m分別為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有證明：已知由性質4，得即性質6（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點使得證明：因為函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在區(qū)間[a,b]上存在最大值M和最小值m，由估值定理即由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在使得即性質6（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點使得幾何意義：在區(qū)間[a,b]上至少存在一點使得以區(qū)間[a,b]為底邊，以曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積的矩形等于同一底邊而高為面積.稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值.yx0aby=f(x)例3估計定積分值的范圍.解：先求函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最值.由得又故有最大值M=1,最小值由估值定理，得例4比較定積分的大小.解：在區(qū)間[1,2]上則故由比較定理，有例5求函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的平均值.解：由定積分的幾何意義知故有例6證明不等式證明：由于得故由比較定理，有即四、小結1.三個引例：物理、幾何、經(jīng)濟2.定積分的概念定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積3.定積分的性質解決思路：分割、近似、求和、取極限定積分微積分基本定理一、積分上限的函數(shù)二、微積分基本定理三、小結一、積分上限的函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對于區(qū)間內的任意一點x，1、變速直線運動的路程這個函數(shù)的自變量是積分上限x，因此稱為積分上限的函數(shù)，一的定積分值與之對應，從而確定了一個以[a,b]為定義的新函

數(shù).都有定積分存在，即對于每一個取定的x值，都有唯記為yx0xab定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導，且有證明：(1)當時，設則由積分中值定理，得其中，在x與之間，且當時，定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導，且有證明：于是，利用導數(shù)的定義及f(x)的連續(xù)性，得在(a,b)內的每一點都可導，且有由x的任意性知，(2)當x為端點時,若x=b，取同理可證同理可證若x=a，取推論設函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且存在復合函數(shù)和其中皆為可導函數(shù)，則證明：令a為f(x)的連續(xù)區(qū)間內取定的點，則由鏈式法則，有定理2（原函數(shù)存在定理）設函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的原函數(shù).(2)定理2揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.注：(1)定理2說明：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).在引例變速直線運動的路程中,物體從a時刻到b時刻走過的路程為若物體位置函數(shù)為s(t),則從a時刻到b時刻走過的路程為從而有s(t)是v(t)的原函數(shù)，即定積分的值為原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量，這對其他可積的函數(shù)也適用嗎？設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)F(x)是f(x)在[a,b]上的原函數(shù)，則有二、微積分基本定理定理3（微積分基本定理）證明：由于F(x)和都是f(x)的原函數(shù)，則C為常數(shù)即令則由上式，令得微積分基本公式，也稱為牛頓-萊布尼茲公式.當a>b時，微積分基本公式仍成立.例1計算定積分解：例2計算定積分解：例3計算定積分解：的一個原函是則例4計算定積分例5設求解：利用區(qū)間可加性，有解：利用區(qū)間可加性，去掉絕對值，有被積函數(shù)帶絕對值時，要根據(jù)積分區(qū)間去掉絕對值再積分.例6證明改進的積分中值定理：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得證明：因為函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，故存在原函數(shù)F(x)，則有對函數(shù)F(x)，由微分中值定理，有即解：求例7設例8設求解：解：求例9設熟記變限積分求導公式熟記變限積分求導公式例10求極限解：這是一個型的未定式，利用洛必達法則，有極限表達式中含變限積分時，不需要求出積分，而是先判斷極限是否為的未定式，然后利用洛必達法則求極限.

三、小結1.積分上限的函數(shù)2.微積分基本定理變限積分的導數(shù)公式：微積分基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）：定積分定積分的基本積分法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法三、小結一、定積分的換元法滿足定理1設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函（1）（2）函數(shù)在以為端點的區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)，且其值域為[a,b].則有定積分的換元公式證明：由題意知f(x)和都可積，且原函數(shù)都存在，設是的一個原函數(shù)，由牛-萊公式，有由于故是的一個原函數(shù)，由牛-萊公式，有故有注：（1）用換元法計算定積分時，應注意同時改變積分限，

即：換元要換限，不換元則不換限.積分限要對應；（2）當找到新變量的原函數(shù)后不必代回原變量，直接

用牛頓-萊布尼茲公式即可；（3）求定積分時，代換的選取原則與用換元法求相應的不定積分的方法完全相同；（4）定積分的換元法也可以反過來使用，即例1計算定積分解：令則當x=0時，t=0；當x=2時，于是還能用什么方法計算？例2計算定積分解：令則當x=0時，t=0；當時，t=1，于是也可以不寫換元過程，直接積分，有可以直接湊微分牢記：換元則必換限，不換元則不換限！例3計算定積分解：令則當x=1時，t=0；當時，于是定積分的根式

換元法.例4設函數(shù)解：令則當x=0時，

t=1;當x=2時，t=1；求定積分分段函數(shù)求定積分，要先換元，再利用區(qū)間可加性計算.于是例5計算定積分解：由于故有例6(奇偶函數(shù)的積分)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，證明證明：(2)

當f(x)為區(qū)間[-a,a]上的奇函數(shù)時，(1)

當f(x)為區(qū)間[-a,a]上的偶函數(shù)時，由區(qū)間可加性，有對于右端第一個積分，令x=-t,則dx=-dt，x=-a時，t=a;x=0時，t=0,由此得于是有例6(奇偶函數(shù)的積分)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，證明證明：(2)

當f(x)為區(qū)間[-a,a]上的奇函數(shù)時，(1)

當f(x)為區(qū)間[-a,a]上的偶函數(shù)時，(1)

當f(x)為偶函數(shù)時，則有(2)

當f(x)為偶函數(shù)時，則有注：例7計算定積分(1)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0；解：故由例6的結論有函數(shù)在對稱區(qū)間[-1,1]上是連續(xù)的奇函數(shù)，(2)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于在y軸一側區(qū)域

上積分的2倍.例8若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，證明并由此計算證明：令則當x=0時，t=;當x=時，t=0；于是有故移項整理得利用這一結論，我們來計算顯然故有上式可作為公式使用，例如可直接寫出二、定積分的分部積分法定理2

設函數(shù)，在上有連續(xù)的導函數(shù)，則有證明：因為故是在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，由牛-萊公式，得移項，即得可簡記為定積分的分部積分

公式.例9計算定積分解：由分部積分公式，得例10計算定積分解：令則當x=0時，t=0；當x=1時，t=1.于是證明：例11證明其中n為正整數(shù).并求令則當x=0時，當時，t=0故例11證明其中n為正整數(shù).并求證明：移項并整理可得遞推公式：易得當n為正奇數(shù)時，當n為正偶數(shù)時，綜上，我們有：例12計算定積分解：華里士公式.三、小結1.定積分的換元法2.定積分的分部積分法注意：積分要對應；換元要換限，不換元則不換限對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分華里士公式定積分反常積分與函數(shù)一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）三、函數(shù)四、小結一、無窮限的反常積分定義1(1)設函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，任取b>a，存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，記作即若極限此時也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(2)設函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限類似地，可定義存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，即記作此時也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(3)設函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限同時收斂，則稱反常積分收斂.即上述2個反常積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，否則稱反常積分發(fā)散.上述定義的反常積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.設函數(shù)

F(x)為f(x)在區(qū)間上的原函數(shù)，如果記當不存在時，反常積分發(fā)散.其他情形類似.無窮限的廣義積分的計算則當存在時，此時，反常積分收斂.例1計算反常積分解：下方，幾何意義:表示位于函數(shù)x軸上方圖形的面積.能應用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的結論嗎？例2判斷反常積分的斂散性，若收斂求其值.解：的原函數(shù)為由于不存在，故反常積分發(fā)散.例3計算反常積分解：例4計算反常積分解：解：例5證明反常積分當p>1時收斂，當時發(fā)散.當p=1時,當

時,收斂發(fā)散發(fā)散所以，反常積分當p>1時收斂，當時發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）如果函數(shù)f(x)在點a的任意鄰域內都無界，則a稱為f(x)的瑕點.例如點x=2是函數(shù)的瑕點；點x=0是函數(shù)的瑕點.定義2(1)設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，a為其瑕點.若對任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,b]上的反常積分，又稱為瑕積分，記作即此時，稱瑕積分收斂，如果極限不存在，就稱瑕積分發(fā)散.類似地，可定義

(2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，b為其瑕點.若對任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b)上的反常積分，記作即此時，稱瑕積分