高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：反常積分與τ函數(shù)

定積分反常積分與函數(shù)一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）三、函數(shù)四、小結(jié)一、無窮限的反常積分定義1(1)設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，任取b>a，存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，記作即若極限此時(shí)也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(2)設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限類似地，可定義存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，即記作此時(shí)也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限同時(shí)收斂，則稱反常積分收斂.即上述2個(gè)反常積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，否則稱反常積分發(fā)散.上述定義的反常積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.設(shè)函數(shù)

F(x)為f(x)在區(qū)間上的原函數(shù)，如果記當(dāng)不存在時(shí)，反常積分發(fā)散.其他情形類似.無窮限的廣義積分的計(jì)算則當(dāng)存在時(shí)，此時(shí)，反常積分收斂.例1計(jì)算反常積分解：下方，幾何意義:表示位于函數(shù)x軸上方圖形的面積.能應(yīng)用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的結(jié)論嗎？例2判斷反常積分的斂散性，若收斂求其值.解：的原函數(shù)為由于不存在，故反常積分發(fā)散.例3計(jì)算反常積分解：例4計(jì)算反常積分解：解：例5證明反常積分當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.當(dāng)p=1時(shí),當(dāng)

時(shí),收斂發(fā)散發(fā)散所以，反常積分當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任意鄰域內(nèi)都無界，則a稱為f(x)的瑕點(diǎn).例如點(diǎn)x=2是函數(shù)的瑕點(diǎn)；點(diǎn)x=0是函數(shù)的瑕點(diǎn).定義2(1)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，a為其瑕點(diǎn).若對(duì)任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,b]上的反常積分，又稱為瑕積分，記作即此時(shí)，稱瑕積分收斂，如果極限不存在，就稱瑕積分發(fā)散.類似地，可定義

(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，b為其瑕點(diǎn).若對(duì)任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b)上的反常積分，記作即此時(shí)，稱瑕積分收斂，如果極限不存在，則稱瑕積分發(fā)散.

(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外皆連續(xù)，c為其瑕點(diǎn)，則瑕積分定義為它當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)才收斂，并且其值為兩個(gè)瑕積分值的和.若右端兩個(gè)瑕積分有一個(gè)發(fā)散，則瑕積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)

F(x)為f(x)在區(qū)間上的原函數(shù)，a為f(x)的瑕點(diǎn)，其中類似地，b為瑕點(diǎn)時(shí)，有無界函數(shù)的廣義積分的計(jì)算記例6計(jì)算瑕積分解：由于知x=1是瑕點(diǎn)，于是幾何意義:表示位于曲線上方，直線x=0,x=1之間圖形面積為下方，x軸有限值例7討論瑕積分的斂散性.解：顯然x=0是函數(shù)的瑕點(diǎn)，由于所以瑕積分發(fā)散，從而有瑕積分發(fā)散.注：如果我們疏忽了瑕點(diǎn)x=0，就會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤：需要注意的是積分是瑕積分，不是定積分.若瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部，就把區(qū)間分成2段，分別討論這兩個(gè)區(qū)間上的瑕積分，只要有一個(gè)發(fā)散，原瑕積分就發(fā)散.例8證明反常積分當(dāng)q<1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.解：當(dāng)q=1時(shí),發(fā)散當(dāng)

時(shí),收斂發(fā)散故，反常積分當(dāng)q<1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.三、函數(shù)定義3含參變量s(s>0)的無窮限反常積分稱為函數(shù).

函數(shù)是收斂的，具有下列性質(zhì)：(1)(2)

特別地，當(dāng)s=n為正整數(shù)時(shí)，有(3)(4)證明：(1)(2)由定積分的分部積分公式，有

特別地，當(dāng)s=n為正整數(shù)時(shí)，有證明：(3)因?yàn)樗?4)在中，令則再令得這里利用了