湖南省師大附中2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

湖南省師大附中2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．3．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的，村支書對(duì)三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國(guó)之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明4．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．5．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．6．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．1 D．7．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．208．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．11．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加12．過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．14．已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則可取到的最大值為__________.15．設(shè)函數(shù)，則______.16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知a,b∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間：(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，f(x)的最小值為0，求a+5b的最大值.注：19．（12分）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn)，直角梯形所在平面與圓所在平面垂直，且，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè)．第一次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．22．（10分）在銳角中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.2、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因?yàn)榛?所以，又因?yàn)?所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.3、B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.5、D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時(shí)，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7、B【解析】

化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.9、A【解析】

由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn)，求出，由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長(zhǎng)為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準(zhǔn)線方程為，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，．拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)．10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對(duì)稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題．14、4【解析】

由于曲線與直線相交，存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的周期，可得到的取值范圍，再由解出的兩類不同的值，然后列方程求出，再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】，可得，由，則或，即或，由題意得，所以，則或，所以可取到的最大值為4.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.15、【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對(duì)應(yīng)解析式，再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則因?yàn)?，則故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商，可得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題18、(I)詳見解析；(II)2【解析】

(I)求導(dǎo)得到f'(x)=ex-a，討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=e當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=ex-a=0，x=lna當(dāng)x∈lna,+∞時(shí)，綜上所述：a≤0時(shí)，fx在R上單調(diào)遞增；a>0時(shí)，fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b，a+5b=2e取a=3e4，b=f'(x)=ex-a-故當(dāng)x∈0,+∞上時(shí)，x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，故fx在0,12上單調(diào)遞減，在1綜上所述：a+5b的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，證明,則平面平面，則可證平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接、.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面平面,故平面在直角梯形中，，且，∴四邊形是平行四邊形，，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn)，又∵平面平面，平面平面平面，可得是三棱錐的高線.在直角梯形中，.設(shè)到平面的距離為，則，即由已知得，由余弦定理易知：，則解得，即點(diǎn)到平面的距離為故答案為：.【點(diǎn)睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.20、（1）；.；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；（2）通過定義法證明出是首項(xiàng)為8