專題08 計數(shù)原理、概率及統(tǒng)計-2020-2024年五年高考1年模擬數(shù)學真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08計數(shù)原理、概率及統(tǒng)計考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1計數(shù)原理（5年幾考）2024：二項式定理指定項系數(shù)；2023：二項式定理指定項系數(shù)；2022：奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)和；2021：二項式定理指定項系數(shù)；2020：二項式定理指定項系數(shù)；該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對事件進行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;該部分考查的必備知識在選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等問題為主,注重概率和其他知識的綜合考查.重點考查知識的應用性與基礎性,考查的關鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)學建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學應用和數(shù)學探索?？键c2概率（5年幾考）2024：用頻率估計概率；離散型隨機變量的均值；2023：古典概型的概率；獨立事件的乘法公式；2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機變量的均值；2021：二項分布求分布列；2020：離散型隨機變量分布列及均值；考點3統(tǒng)計（5年幾考）2022：折線統(tǒng)計圖考點01計數(shù)原理1．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B．40 C． D．80【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意結合二項式定理寫出的展開式的通項即可.【詳析】的展開式的通項為，令，解得所以的展開式中的系數(shù)為.故選：D.2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.【詳析】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B〖祥解〗利用賦值法可求的值.【詳析】令，則，令，則，故，故選：B.4．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C〖祥解〗首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【『點石成金』】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．5．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．【答案】〖祥解〗利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳析】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.考點02概率6．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值大于（i）中估計值〖祥解〗（1）根據(jù)題設中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.【詳析】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設保費的變化為，故（萬元），從而.7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；(2)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)不變〖祥解〗（1）計算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進行推斷第天的情況.【詳析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.8．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙〖祥解〗(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳析】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.【詳析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【『點石成金』】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．〖祥解〗（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳析】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.考點03統(tǒng)計11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關系圖可得正確的選項.【詳析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D1．（2010·陜西·高考真題）展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a等于【】A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【詳析】解：∵Tr+1=C5r?x5-r?（a/x）r=arC5rx5-2r，又令5-2r=3得r=1，∴由題設知C51?a1=10?a=2．故選D2．（2024·北京通州·三模）若，則（

）A．80 B． C．40 D．81【答案】C〖祥解〗利用二項展開式即可得到答案.【詳析】由題意，.故選：C.3．（2023·北京西城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗利用二項式定理的性質(zhì).【詳析】設的通項，則，化簡得，令，則的系數(shù)為，即A正確.故選：A4．（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】D〖祥解〗寫出通項，令的次數(shù)為零，求出，再計算常數(shù)項即可.【詳析】展開式的通項為，令，所以，所以常數(shù)項為240.故選：D.5．（2024·河北唐山·一模）在的展開式中，常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】〖祥解〗先由二項式定理求出的展開式的通項公式，再求出常數(shù)項即可．【詳析】因為展開式的通項公式為：，令，解得，所以常數(shù)項為：.故答案為：6．（2024·北京通州·三模）已知隨機變量，，且，，則．【答案】〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再由二項分布的期望公式計算可得.【詳析】因為且，所以，則，又且，所以，解得.故答案為：7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.【答案】7〖祥解〗根據(jù)題意可得，即可由不等式求解.【詳析】由題意可知的二維碼共有個，由可得，故，由于，所以，故答案為：78．（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項式系數(shù)的和等于，則，此時的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】6135〖祥解〗利用二項式系數(shù)的和等于，求解值，利用通項公式求解的系數(shù).【詳析】由二項式系數(shù)的和等于，則，；通項公式為，令，所以的系數(shù)為.故答案為：；.9．（2024·北京房山·一模）設，則；當時，．【答案】〖祥解〗令可求出；先求出的通項，令和，求出，再由，即可求出的值.【詳析】令可得：，的通項為：，令可得，令可得，所以由可得，所以.故答案為：；.10．（2024·北京海淀·一模）若，則；.【答案】〖祥解〗借助賦值法，分別令、、計算即可得.【詳析】令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，則，即，則，故.故答案為：；.11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)【答案】15〖祥解〗集合二項式展開式的通項公式即可求出結果.【詳析】由二項式的展開式的通項公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.12．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對應的概率，得到分布列和期望；（3），運用二項分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳析】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，所以從10個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量，，所以.13．（2024·北京順義·三模）高度重視體育運動的發(fā)展，將體育與國家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強調(diào)體育“是實現(xiàn)中國夢的重要內(nèi)容”“體育強則中國強，國運興則體育興”，為了響應的號召，某中學組織全體學生開展了豐富多彩的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：時間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學段初中10高中41312754(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從該校參加體育實踐活動時間在學生中隨機抽取2人，在的學生中隨機抽取1人，求其中至少有1名初中學生的概率；(3)假設同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)記為，初中、高中學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關系.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解即可；（3）補全初中段的人數(shù)表格，再分別計算，即可得解.【詳析】（1）女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在”，由題意可知，，因此，所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為.（2）時間在的學生有人，活動時間在的初中學生有人，記事件C為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取2人，抽到初中學生”，事件D為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，由題意知，事件C，D相互獨立，且,所以至少有1名初中學生的概率；（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補全初中學生各區(qū)間人數(shù)：時間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學段初中781111108高中41312754初中生的總運動時間，高中生的總運動時間，又，，，可得由.14．（2020·北京·模擬預測）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結果，判斷至少增加2人．【詳析】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學期望；(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【『點石成金』】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.15．（2024·北京海淀·二模）圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識別結果真實性別男女無法識別男902010女106010假設用頻率估計概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.(1)從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率；(2)在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當首次出現(xiàn)識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設表示測試的次數(shù)，估計的分布列和數(shù)學期望；(3)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為.試比較的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析；(3)〖祥解〗（1）利用用頻率估計概率計算即可（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可（3）分別求出方案一?方案二?方案三進行識別正確的概率，然后比較大小可得【詳析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概率為.（2）設事件輸入男性照片且識別正確.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計為.由題意知的所有可能取值為..所以的分布列為123所以.（3）由題可知，調(diào)查的200張照片中，其中女生共有80個，男生共有120個，程序?qū)⒛猩R別正確的頻率為，識別為女生的頻率為，無法識別的頻率為，程序?qū)⑴R別正確的頻率為，識別為男生的頻率為，無法識別的頻率為，由頻率估計概率得，，，所以16．（2024·北京朝陽·二模）科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據(jù)統(tǒng)計，2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區(qū)（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區(qū)（單位：萬輛）7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.(1)在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；(2)從2023年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5的概率；(3)記2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）由表中數(shù)據(jù)找出符合的月份個數(shù)即可求解.（2）先由表中數(shù)據(jù)找出月銷量比超過8的月份個數(shù)和低于5的月份個數(shù)再結合組合分配情況即可求解.（3）由表中數(shù)據(jù)和方差定義即可判斷.【詳析】（1）設事件C為“A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量”，在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9個月，所以.（2）設事件D為“這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5”，在2023年1月至12月中，月銷量比超過8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，則.（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動較大；相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動幅度較小，變化較為平穩(wěn)；故.17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機構統(tǒng)計了年歲到歲來體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機構進一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統(tǒng)計情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結節(jié)等余種常見健康問題．(1)根據(jù)上表，求從年該體檢機構歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；(2)用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計結果，有人認為“該體檢機構年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題個數(shù)平均值一定大于個，且小于個”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望(3)不正確，理由見解析.〖祥解〗（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)直接求解即可；（2）由題意可知，根據(jù)二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，從而得到分布列；根據(jù)二項分布期望公式可得；（3）根據(jù)平均數(shù)的估計方法，通過反例可說明論斷錯誤.【詳析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：從年該體檢機構歲到歲體檢人群中抽取人，此人年齡不低于歲的頻率為：.（2）用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（3）這種說法不正確，理由如下：假設在體檢人群年齡歲到歲（不含歲）中，、、、體檢人群所占頻率分別為、、、，則歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題平均值為個，與該說法結論不同，該說法是不正確的．18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術等級標準》（單位：m）（部分摘抄）：項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員男子跳遠8.007.807.306.505.60女子跳遠6.656.355.855.204.50在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，(1)估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；(2)設X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望；(3)在跳遠考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當時，寫出a的值．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)或.〖祥解〗（1）由已知數(shù)據(jù)計算頻率，用頻率估計概率；（2）由X的取值，計算相應的概率，由公式計算數(shù)學期望；（3）當兩人成績滿足的模型，方差相等.【詳析】（1）甲以往的10次比賽成績中，有4次達到國家二級及二級以上運動員標準，用頻率估計概率，估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率為；（2）設甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員分別為事件，以往的比賽成績中，用頻率估計概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總人數(shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，，，，，估計X的數(shù)學期望；（3）甲的6次試跳成績從小到大排列為：，設這6次試跳成績依次從小到大為，丙的5次試跳成績從小到大排列為：，設丙的6次試跳成績從小到大排列依次為，當時，滿足，成立；當時，滿足，成立.所以或.19．（2024·北京海淀·一模）某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，要求所有學生在學年中完成規(guī)定的學習任務，并獲得相應過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302(1)當時，（i）從該校隨機抽取一名學生，估計這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學生中隨機抽取2名，記X為這2名學生的科普過程性積分之和，估計X的數(shù)學期望；(2)從該?？破者^程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學生科普測試成績的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.【答案】(1)（i）；（ⅱ）；(2)7.〖祥解〗（1）（i）求出科普過程性積分不少于3分的學生數(shù)，再求出頻率，并用頻率估計概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的結論結合獨立重復試驗的概率問題求出各個取值的概率，再求出期望即得.（2）求出的最大值，再求出100名學生科普測試成績的平均值的最小值，由題設信息列出不等式求解即得.【詳析】（1）當時，（i）由表知，科普過程性積分不少于3分的學生人數(shù)為，則從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為.（ⅱ）依題意，從樣本中成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的頻率為，所以從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的概率估計為，同理，從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為4分的概率估計為，的所有可能值為6，7，8，，，，所以的數(shù)學期望.（2）由表知，，則，從該?？破者^程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，則的最大值為69，100名學生科普測試成績的平均值記為，要恒成立，當且僅當，顯然的最小值為各分數(shù)段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.20．（2024·北京朝陽·一模）為提升學生用數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活或其他學科領域中的問題的能力，發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學生開展數(shù)學建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委乙負責評審的論文中隨機抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示.序號評委甲評分評委乙評分初評得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273(1)從這篇論文中隨機抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的概率；(2)從這篇論文中隨機抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)對于序號為的論文，設評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，，標準差為，，以作為序號為的論文的標準化得分.對這10篇論文按照初評得分與標準化得分分別從高到低進行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結果是否相同?（結論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)相同〖祥解〗（1）直接利用古典概型的公式求解即可；（2）的可能取值為，，，利用超幾何分布分別求出概率，然后再求期望即可；（3）計算序號為2的論文和序號為3的論文的標準化得分的排名即可.【詳析】（1）設事件為從這10篇論文中隨機抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過，又在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的有篇，所以；（2）由已知的可能取值為，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學期望為；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)序號為2的論文初評得分排名為第，由已知，，明顯序號為7的論文甲乙兩評委評分均最高，故初評得分排名為第，標準化得分排名仍然為第，現(xiàn)在就看初評得分排名為第的序號為的論文其標準化得分排名是否會發(fā)生變化，根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評委甲的評分波動大，故，所以，即，所以序號為2的論文標準化得分排名為第，所以序號為2的論文的兩種排名結果相同.專題08計數(shù)原理、概率及統(tǒng)計考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1計數(shù)原理（5年幾考）2024：二項式定理指定項系數(shù)；2023：二項式定理指定項系數(shù)；2022：奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)和；2021：二項式定理指定項系數(shù)；2020：二項式定理指定項系數(shù)；該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對事件進行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;該部分考查的必備知識在選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等問題為主,注重概率和其他知識的綜合考查.重點考查知識的應用性與基礎性,考查的關鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)學建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學應用和數(shù)學探索?？键c2概率（5年幾考）2024：用頻率估計概率；離散型隨機變量的均值；2023：古典概型的概率；獨立事件的乘法公式；2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機變量的均值；2021：二項分布求分布列；2020：離散型隨機變量分布列及均值；考點3統(tǒng)計（5年幾考）2022：折線統(tǒng)計圖考點01計數(shù)原理1．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B．40 C． D．80【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意結合二項式定理寫出的展開式的通項即可.【詳析】的展開式的通項為，令，解得所以的展開式中的系數(shù)為.故選：D.2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.【詳析】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B〖祥解〗利用賦值法可求的值.【詳析】令，則，令，則，故，故選：B.4．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C〖祥解〗首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【『點石成金』】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．5．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．【答案】〖祥解〗利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳析】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.考點02概率6．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與（i）中估計值的大?。ńY論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值大于（i）中估計值〖祥解〗（1）根據(jù)題設中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.【詳析】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設保費的變化為，故（萬元），從而.7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；(2)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)不變〖祥解〗（1）計算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進行推斷第天的情況.【詳析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.8．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙〖祥解〗(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳析】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.【詳析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【『點石成金』】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．〖祥解〗（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳析】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.考點03統(tǒng)計11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關系圖可得正確的選項.【詳析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D1．（2010·陜西·高考真題）展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a等于【】A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【詳析】解：∵Tr+1=C5r?x5-r?（a/x）r=arC5rx5-2r，又令5-2r=3得r=1，∴由題設知C51?a1=10?a=2．故選D2．（2024·北京通州·三模）若，則（

）A．80 B． C．40 D．81【答案】C〖祥解〗利用二項展開式即可得到答案.【詳析】由題意，.故選：C.3．（2023·北京西城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗利用二項式定理的性質(zhì).【詳析】設的通項，則，化簡得，令，則的系數(shù)為，即A正確.故選：A4．（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】D〖祥解〗寫出通項，令的次數(shù)為零，求出，再計算常數(shù)項即可.【詳析】展開式的通項為，令，所以，所以常數(shù)項為240.故選：D.5．（2024·河北唐山·一模）在的展開式中，常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】〖祥解〗先由二項式定理求出的展開式的通項公式，再求出常數(shù)項即可．【詳析】因為展開式的通項公式為：，令，解得，所以常數(shù)項為：.故答案為：6．（2024·北京通州·三模）已知隨機變量，，且，，則．【答案】〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再由二項分布的期望公式計算可得.【詳析】因為且，所以，則，又且，所以，解得.故答案為：7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.【答案】7〖祥解〗根據(jù)題意可得，即可由不等式求解.【詳析】由題意可知的二維碼共有個，由可得，故，由于，所以，故答案為：78．（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項式系數(shù)的和等于，則，此時的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】6135〖祥解〗利用二項式系數(shù)的和等于，求解值，利用通項公式求解的系數(shù).【詳析】由二項式系數(shù)的和等于，則，；通項公式為，令，所以的系數(shù)為.故答案為：；.9．（2024·北京房山·一模）設，則；當時，．【答案】〖祥解〗令可求出；先求出的通項，令和，求出，再由，即可求出的值.【詳析】令可得：，的通項為：，令可得，令可得，所以由可得，所以.故答案為：；.10．（2024·北京海淀·一模）若，則；.【答案】〖祥解〗借助賦值法，分別令、、計算即可得.【詳析】令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，則，即，則，故.故答案為：；.11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)【答案】15〖祥解〗集合二項式展開式的通項公式即可求出結果.【詳析】由二項式的展開式的通項公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.12．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對應的概率，得到分布列和期望；（3），運用二項分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳析】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，所以從10個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量，，所以.13．（2024·北京順義·三模）高度重視體育運動的發(fā)展，將體育與國家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強調(diào)體育“是實現(xiàn)中國夢的重要內(nèi)容”“體育強則中國強，國運興則體育興”，為了響應的號召，某中學組織全體學生開展了豐富多彩的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：時間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學段初中10高中41312754(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從該校參加體育實踐活動時間在學生中隨機抽取2人，在的學生中隨機抽取1人，求其中至少有1名初中學生的概率；(3)假設同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)記為，初中、高中學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關系.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解即可；（3）補全初中段的人數(shù)表格，再分別計算，即可得解.【詳析】（1）女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在”，由題意可知，，因此，所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為.（2）時間在的學生有人，活動時間在的初中學生有人，記事件C為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取2人，抽到初中學生”，事件D為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，由題意知，事件C，D相互獨立，且,所以至少有1名初中學生的概率；（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補全初中學生各區(qū)間人數(shù)：時間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學段初中781111108高中41312754初中生的總運動時間，高中生的總運動時間，又，，，可得由.14．（2020·北京·模擬預測）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結果，判斷至少增加2人．【詳析】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學期望；(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【『點石成金』】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.15．（2024·北京海淀·二模）圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識別結果真實性別男女無法識別男902010女106010假設用頻率估計概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.(1)從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率；(2)在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當首次出現(xiàn)識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設表示測試的次數(shù)，估計的分布列和數(shù)學期望；(3)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為.試比較的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析；(3)〖祥解〗（1）利用用頻率估計概率計算即可（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可（3）分別求出方案一?方案二?方案三進行識別正確的概率，然后比較大小可得【詳析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概率為.（2）設事件輸入男性照片且識別正確.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計為.由題意知的所有可能取值為..所以的分布列為123所以.（3）由題可知，調(diào)查的200張照片中，其中女生共有80個，男生共有120個，程序?qū)⒛猩R別正確的頻率為，識別為女生的頻率為，無法識別的頻率為，程序?qū)⑴R別正確的頻率為，識別為男生的頻率為，無法識別的頻率為，由頻率估計概率得，，，所以16．（2024·北京朝陽·二模）科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據(jù)統(tǒng)計，2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區(qū)（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區(qū)（單位：萬輛）7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.(1)在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；(2)從2023年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5的概率；(3)記2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）由表中數(shù)據(jù)找出符合的月份個數(shù)即可求解.（2）先由表中數(shù)據(jù)找出月銷量比超過8的月份個數(shù)和低于5的月份個數(shù)再結合組合分配情況即可求解.（3）由表中數(shù)據(jù)和方差定義即可判斷.【詳析】（1）設事件C為“A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量”，在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9個月，所以.（2）設事件D為“這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5”，在2023年1月至12月中，月銷量比超過8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，則.（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動較大；相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動幅度較小，變化較為平穩(wěn)；故.17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機構統(tǒng)計了年歲到歲來體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機構進一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統(tǒng)計情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結節(jié)等余種常見健康問題．(1)根據(jù)上表，求從年該體檢機構歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；(2)用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計結果，有人認為“該體檢機構年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題個數(shù)平均值一定大于個，且小于個”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望(3)不正確，理由見解析.〖祥解〗（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)直接求解即可；（2）由題意可知，根據(jù)二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，從而得到分布列；根據(jù)二項分布期望公式可得；（3）根據(jù)平均數(shù)的估計方法，通過反例可說明論斷錯誤.【詳析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：從年該體檢機構歲到歲體檢人群中抽取人，此人年齡不低于歲的頻率為：.（2）用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（3）這種說法不正確，理由如下：假設在體檢人群年齡歲到歲（不含歲）中，、、、體檢人群所占頻率分別為、、、，則歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題平均值為個，與該說法結論不同，該說法是不正確的．18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術等級標準》（單位：m）（部分摘抄）：項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員男子跳遠8.007.807.30