2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：空間向量與立體幾何（解析版）

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結(jié)

一、思維導(dǎo)圖

空

間

向

量空間向量分解定理

與

立

體平行與垂直的條件

幾

空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

何

空

間

向

量直線的方向向量與直線的向量方程

在

立

體平面的法向量與平面的向量表示

幾

何

直線與平面的夾角

中

的

應(yīng)二面角及其度量

用

L距離

二、題型精講

題型01空間向量的概念及運(yùn)算

【典例1】（2023春?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）平行六面體/BCD-431GA中，已知底面四邊形/BCD

為矩形，Z4/8=Z4/D=120。，A4=2,AB=AD=\,貝（MG=（）

A.V2B.2C.V10D.10

【答案】A

【詳解】由圖可得Q=AA.+AC=AA+AC=AA.+AB+AD,

-------?2/--?\2--------2-2?2-------??-------?

則AQ=(蟲+AB+AD\=/?+AB+AD+lAA1-AB+2%-AD

故祠=］裔

+2AB?40=4+1+1-2-2+0=2,xq=|=a,

故選：A

【典例2】（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量向量％與

的夾角都是60。,且同=1,揚(yáng)|=2,忖=3,試求

⑴(@+23-寸；

(2)(3a-2by(b-3c\

【答案】(1)11

(2)-|

【詳解】(1)向量2,九向量)與的夾角都是60。，且同=1,同=2,忖=3,

a2=\,b2=4,c2=9,a-b=Q,a-c=|5|-|c|cos60°=-,b-c=|^|-|c|cos60o=3,

(a+26-c)2=a2+(2&)2+c2+2a-2i-2a-c-4^-c=l+16+9+0-3-12=11；

(2)(33-2&)-(^-3c)=3a-^-35-3c-2P+2ft-3c=0-y-8+18=-1

【典例3]（2023春?山東淄博?高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量

rr|i-iin,rr

/4卜|=2,%=1傘,9x=60。，則使向量q+泥與花一25的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)A的取值范圍是

【答案】（-l-6,-l+G）

【詳解】因?yàn)榭?2陣1,〈瑟〉=60。,

所以=|a|'l^lcos^a,b^=2xlxg=1,-2|一|2-2

Cl—67—4,bB1=l,

故（。+刀）.（4。-2否）=+（分-2）。.否-2與=44+（/V-2）-24=%?+24-2,

I—?—12—2—?—*,—2

\ci+Ab\=a+24。?b+Ab—A+24+4,

|2a-2^|2=A2a2-4^a-5+462=422-4A+4=4（22-/I+1）,

因?yàn)橄蛄?+必與蘇-2坂的夾角為鈍角，

i（a+Ab）-（Aa-2b）<0（2+花）.（府-2司<0

所以〈--

cos5+Ab,Aa-2bw-1（5+癡.（須一2月）片一歸+悶2-2b\

［12+22-2<0

'［分+22_2H-2722+22+4-V22-A+l'

解—1—y/3<A<—1+，即2e（—1—V3,—1+V3）.

故答案為：（-1-V3,-1+A/3）.

【變式1］（2023秋?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角4-E尸-C的大小為45。，四邊形4BFE、

CDE尸都是邊長為1的正方形，則B、。兩點(diǎn)間的距離是（）

A.yp2B.百C.J3-D.-^3+V2

【答案】C

【詳解】因?yàn)樗倪呅?加E、CDE尸都是邊長為1的正方形，則/E_LEF,DE1EF,

又因?yàn)槎娼?一￡尸一C的大小為45。，即41即=450,則（或，麗）=45°,

因?yàn)辂?詼+應(yīng)+方=也一而+方，由圖易知而_L或，在_L而，

------?2-------2--------?--------->---------?---------?---------?---------?

所以,ED+AB—2EA?ED+2EA,AB—2ED,AB

=Vl+l+l-2xlxlxcos45°+0-0=^3-42?

故選：C.

【變式2】（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體48CD—4耳GA中，設(shè)40=44=1，45=2,

尸是G"的中點(diǎn).試確定向量存在平面BCG上的投影向量，并求配.乖.

AB

【答案】向量4P在平面BCQ上的投影向量為qq；BC&P=

【詳解】因?yàn)樾F(tuán)，平面BCG,尸平面3CG,

所以向量4尸在平面BCQ上的投影向量為與G.

BB+8cH而+?。?/p>

所以4c?4尸t

=耶?麗+印.印+反.而+前.印

=0+0+12+0=1.

【變式3]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間向量Z,旅滿足2+坂+"=0，同=1，囪=2同=近，貝安

與否的夾角為.

【答案】號(hào)/120。

【詳解】由￡+3+"=。，即之區(qū)）可構(gòu)成三角形，

又＜a,B＞e[0,?i],故?,.

2兀

故答案為：y

題型02四點(diǎn)共面問題

【典例1】（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使河與4,B,C-?定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=0

D.OM+OA+OB+OC^Q

【答案】AC

【詳解】空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共線，且A,B,C,M共面，則

其充要條件是x+y+z=l；

對于A,因?yàn)?-1-1=1,所以可以得出A,B,C,M四點(diǎn)共面；

對于B,因?yàn)椋?；=所以不能得出A,B,C,M四點(diǎn)共面；

對于C,MA=-MB-MC＞則祝5，礪，前為共面向量，所以"與A,8,C一定共面；

對于D,\S^JOM+OA+OB+OC^O＞所以兩"=-刀-礪-反，因?yàn)?,所以不能得出A,

B,C,M四點(diǎn)共面.

故選：AC.

【典例2】(2023?江蘇?高二專題練習(xí))設(shè)尸-48C是正三棱錐，G是“3C的重心，。是PG上的一

點(diǎn)，且麗=方不，若而=乂或+＞方+2卮，貝!|(x,%z)為()

A-件0B.層，「C［巖《［，巖)

【答案】B

【詳解】因?yàn)槿忮F尸-4BC是正三棱錐，G是“8C的重心，

----1―■1—1——1——1—1—2—

因?yàn)?。是尸G上的一點(diǎn)，且麗=而，

一1--■

所以PD=5尸G,

因?yàn)榉?刀+割，

所以麗」麗」蘇就

222

1—?1(1—?1—.2―

=-PA+-\-PB+-PC——PA

22(333J

1—?1—?1—?1—

=—PA+—PB+—PC——PA

2663

1—1—?1—?

=-PA+-PB+-PC,

666

因?yàn)辂?加+'麗+z2

所以x=y=z=L

6

所以(x,y,z)為,

故選：B

【典例3】(2023春?高二課時(shí)練習(xí))在正方體48co-4片GA中，P為C4的中點(diǎn)，￡為0。的中點(diǎn)，

廠為3G的中點(diǎn)，。為所的中點(diǎn)，直線P￡交直線于點(diǎn)。，直線P尸交直線班?于點(diǎn)及，貝！1()

A.AO=-AP+-AQ+-ARB.AO=-AP+-AQ+-AR

777244

C.AO=-AP+-AQ+-ARD.AO=-AP+-AQ+-AR

366999

【答案】B

1一一

—a+b+c=AP

2

3一一一

【詳解】，己而=￡,AB=b>ZD=c>則，—a+b=AR

2

3——

—+c=AQ

2一—一.

a=-(AR+AQ-AP)

_233

解得b=-ARAQ+-AP

555

-1市+g而+［方

—?2—?—?—>3(2—?3—?3—?3—?2—?3—

所以/O=W(/R+/0-/2)+木/氏-10+1夕+-1/尺+10+1。)

—?1—>1―?1—?

整理得40=—/尸+—40+—ZR.

244

【變式1］（多選）（2023秋?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形。45c中，M,N分別是

邊CM,C5上的點(diǎn)，且力M=2MO,CN=2NB,點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是

（）

-5—?1—?1—?.1—?2―?1―?

A.AG=-OA+-OB+-OCB.BG=-OA——OB+-OC

636636

C.CG=-OA--OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

636636

【答案】BD

【詳解】空間四邊形。NBC中，AM=2M0＞函=2福，點(diǎn)G是線段MV的中點(diǎn),

________2__?___2__?___1___2__?

ON=OC+CN=OC+-CB=OC+-(OB-OC)=-OC+-OB,

3333

—?1——?—?11—?11—??-?1—?1—?1—?

OG=-(OM+ON)=--OA+-(-OC+-OB)=-OA+-OB+-OCD正確；

223233636f

對于A,AG=OG-OA=--OA+-OB+-OC,A錯(cuò)誤；

636

__k___2__?i___

對于B,BG=OG-OB=-OA——OB+-OC,B正確；

636

對于C,CG=OG-OC^-OA+-OB--OC,C錯(cuò)誤.

636

故選：BD

【變式2］（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形CMBC,其對角線為05、AC,M、N分

別是對邊。/、8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上，且礪=26，現(xiàn)用基向量力，OB，反表示向量，設(shè)

OG=xOA+yOB+zOC,則x、了、z的值分別是（）

B

【答案】D

【詳解】?;M、N分別是對邊04、3c的中點(diǎn),

:.OM=^OA,dJv=1（ds+oc）.

—????2?

/.OG=OM+MG=OM+-MN

3

-2/—?x1.2—,

=OM+-\ON-OM\=-OM+-ON

3、J33

=;吊E+3?礪+前)

1―?1—?1—?

=-OA+-OB+-OC,

633

因止匕x=l，y=z=-.

63

故選：D

題型03平面法向量的求解

【典例1】(2023春?高二課時(shí)練習(xí))已知4(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2),則平面4SC的一個(gè)單位法向量

是()

A.(1,1,1)B.rv3vivji

C(1V3間fV3至Q

cD.

【答案】B

【詳解】因?yàn)?(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2)

所以初=(-2,2,0),AC=(-2,0,2)

令平面ABC的一個(gè)法向量為E=(x,y,z)

ii-AB=0f-2x+2y=0一

可得｛—，即｛rqc，令A(yù)x=l,則y=z=l,所以"=(1,1,1)

n-AC=Q[-2x+2z=0

故平面NBC的單位法向量是培，即或[TTY].

MI333JI333)

故選：B.

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知空間四點(diǎn)Z(2,7,1),S(-l,-l,2),C(-l,0,-l),。(0,0,0).求

平面ABC的一個(gè)法向量為；

【答案】(1,9,3)(答案不唯一)

【詳解】由題知，^8=(-3,0,1),3C=(O,l,-3).

設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

n■AB=0(-3x+z=0

一n3ac令z=3,則x=l,7=9,/./7=(1,9,3)

n-BC=0[y-3z=0

所以平面ABC的一個(gè)法向量n=(1,9,3).

此外，所有％工(2w0"eR)都是平面N5C的法向量，任寫一個(gè)皆可.

故答案為：(1,9,3)(答案不唯一).

【變式1](2023秋?云南昆明?高二昆明一中?？计谀?空間直角坐標(biāo)系。-型中，已知點(diǎn)

/(2,0,2),8(2,l,0),C(0,2,0),則平面NBC的一個(gè)法向量可以是()

A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-1,2)

【答案】A

【詳解】解：由題知刀=(0,1,-2),左=(-2,1,0),

設(shè)平面48c的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AB=0[y=2z-/、

所以_，即廠c,令x=l得〃=1,2,1

所以，平面45。的一個(gè)法向量可以是3=(1,2,1).

故選：A

【變式2](2023?全國?高二專題練習(xí))平面a經(jīng)過/(-3,5,1),8(2,1,4)且垂直于法向量為為=(1,-2,3)的

一個(gè)平面，則平面。的一個(gè)法向量是()

A.(2,1,2)B.(1,2,1)C.(4,1,4)D.(0,1,0)

【答案】B

【詳解】由已知)〃a，又刀=(5,-4,3),

設(shè)平面a的一個(gè)法向量是用=(x,y,z),

n.\m-AB=5x-4y+3z=0口.口1一

貝叫__/,取x=，w0,則y=2/,z=%,即加=02,。，

m'n=x-2y+3z=0

比較只有B滿足，

故選：B.

題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系

【典例1】(2023秋?北京大興?高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱柱NBC-446中，CG，平面

ABC,AB=BC=?AC=A4=2.D,E,戶分別為4G，8耳的中點(diǎn)，則直線EF與平面88的位置

關(guān)系是()

A.平行B.垂直C.直線在平面內(nèi)D.相交且不垂直

【答案】D

【詳解】解：如圖取4c中點(diǎn)M,連接及密，BM

因?yàn)?3=BC=右,M為/C中點(diǎn)，所以

又在三棱柱/8C-44G中，CG，平面/8C,￡為4G中點(diǎn)，所以￡M//cq

則￡M_L平面/8C,又/C,M8u平面/8C,所以EM_LNC,EMVMB,

又/c=A4[=2,則/A/=；/C=I,所以MB=NAB。+/"=2，

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，"4,MB,ME為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則8(0,2,0),C(-l,0,0),23(1,0,1),￡(0,0,2),尸(0,2,1),

設(shè)平面BCD的法向量為為=(x,y,z),

n-BC=01x+2y=0

則〈__.，即■{,令>=-1,貝!jx=2,z=—4,故云=(2,-1,-4),

n-BD=0[x-2y+z=0

又訪=(0,2,-1),反=(-2,0,-1)

因?yàn)榱?麗=2x0+(-l)x2+(Y)x(-l)=2wO,又而灰=0+0+(_1)X(_1)=1R0

所以直線E尸與平面相交，且不垂直于平面BCD.

故選：D.

【典例2】(多選)(2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在正方體/BCD-481G〃中，P是線段

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.4P_L平面B.4P_L平面4Ao

C.4P〃平面4gD.4P〃平面8CQ

【答案】ABD

建系如圖，設(shè)正方體棱長為2,

則A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A,(2,0,2),男(2,2,2),￡(0,2,2),Dx(0,0,2),

設(shè)麗=反+幾西=(0,2,0)+(0,-2/l,2/l)=(0,2-22,22),

所以設(shè)尸(0,2-22,22),0W/W1,所以后=(-2,2-24,2孫

對于A,因?yàn)?片，平面48CD,/Cu平面48。，所以BgL/C,

又因?yàn)?r)_LNC,且8綜BDu平面即％,BB、CBD=B,

所以NCL平面即A，

因?yàn)閗=(-2,2,0),由于0W/W1,所以不與%不一定共線，故A錯(cuò)誤;

設(shè)平面45D的一個(gè)法向量為加=(x,y,2),DB=(2,2,0),DA=(2,0,2),

DB?應(yīng)=2x+2y=0

令x=l,則y=-l,z=-l,所以應(yīng)=(1,-1,-1),

Z>4?應(yīng)=2x+2z=0

t=-2

若4P4平面4aD,則力=標(biāo)，即＜一/=2-2彳無解,

—t—2A

所以/尸上平面4出。不成立，故B錯(cuò)誤；

對于C,設(shè)平面45cl的一個(gè)法向量為3=(Q也c),45=(。,2,-2),4cl=(-2,2,0),

11—」-XJ_?

，令〃=1,則b=l,c=1,所以“=(1,1,1),

-n=-2a+2b=0

AP-n=—2+2—22+22=0，

且/尸。平面4BC1,所以/尸〃平面48。，故c正確；

對于D,設(shè)平面3CQ的一個(gè)法向量為力=(d,e,/),麗=(2,2,0),西=(0,2,2),

p=2d+2e=0一

，令d=L則e=-lj=l,所以p=(l,-l,l),

-p=2e+2f=Q

方?力=-2-2+22+22=42-4不恒等于0,

所以NP〃平面3G。不一定成立，故D錯(cuò)誤.

故選:ABD.

【典例3］（2023春高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱A8CD-4片GA中，底面48。）為等腰梯形，ABHCD,

48=4,BC=CD=2,AA1=2,尸是棱A8的中點(diǎn).求證：平面44。。〃平面尸CC1.

A____C,

AFB

【答案】證明見解析

【詳解】因?yàn)閆8=4,8C=CD=2,尸是棱的中點(diǎn)，

所以BF=BC=CF,所以△8CF為正三角形.

因?yàn)锳BCD為等腰梯形，4B=4,BC=O2,

所以ZBAD=ZABC=60°.

取/尸的中點(diǎn)M,連接DM,

則DW248,所以DM_LCO.

以。為原點(diǎn)，所在直線分別為》軸，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝1JD(0,0,0),D,(0,0,2),A(V3,-1,0),F(V3,1,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),

所以西=(0,0,2),53=(73-1,0),CF=(V3,-l,0),西=(0,0,2),

所以國//兀，DAHCF^

又。O，cq不重合，。4c尸不重合，

所以。D1〃CG，DA//CF,

因?yàn)镃C”CFu平面廠CC],00,0/0平面尸CC],

所以叫〃平面"G,DAII平面FCC〉

又DRCD4=D,。。],。4（=平面明￡>[。，

所以平面44。?！ㄆ矫媸珻。

【典例4]（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-48c中，PB工平面ABC,AB上BC,AB=PB=2,

BC=2C,￡、G分別為尸。、尸/的中點(diǎn).

P

（1）求證：平面8CG_L平面P/C；

（2）在線段/C上是否存在一點(diǎn)N,使尸N,BE?證明你的結(jié)論.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在，證明見解析

【詳解】（1）證明：?.?尸8,平面NBC,BCu平面4BC,

BCLPB,

又AB，BC,AB[}BP=B,平面尸48

:.8C_L平面尸4B,Hu平面尸4B,

BCLPA.

又AB=PB=2,為等腰直角三角形，G為斜邊P4的中點(diǎn)，

BG1PA,XSG^\BC=B,BG,BCu平面3CG,

P4_L平面3CG,尸Zu平面上4C,

平面BCG_L平面尸NC；

（2）解：以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，切為x軸，BC為了軸，3尸為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則”（2,0,0）,

C（0,2A/3,0）,尸（0,0,2）,E（0,73,1）,

設(shè)存在點(diǎn)NeZC,使尸N，8￡,點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)為N（X0，A，0）,

所以5E=(0,百,1),麗=(%,%,—2),

由相似三角形得/=去，即甘=當(dāng)，

IAb||nC|22<3

”=2A/3-V3x0.

PN=(x0,2A/3-V3x0,-2j,

又PNLBE,

屜?麗=0.

/.0xx0+V3x(2A/3-V3x0)+lx(-2)=0,

4

=ye[0>2]，

故存在點(diǎn)Ne/C,使PNLBE.

【變式1](2023春?高二課時(shí)練習(xí))在正方體4BCD-48?。中，P，。分別為48，的中點(diǎn)，則

()

A./與，平面43。B.異面直線/月與4c所成的角為30°

C.平面/片?！ㄆ矫?G0D.平面4。，平面4〃尸

【答案】D

【詳解】對于選項(xiàng)A,假設(shè)/4，面43。，則/耳，4。，這與已知/耳與4G不垂直相矛盾，所以假設(shè)

不成立.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,連接?！?DAl,

因?yàn)锳B{//DC,,所以/DG4為異面直線ABX與4G所成的角或補(bǔ)角,

又因?yàn)椤?G。為等邊三角形，所以4匕4=60°,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,

因?yàn)?2〃80,AD"/BCi，由面面平行的判定定理可得平面平面灰）G，而平面與平面

BOC］相交，所以平面/4口與平面BC?也相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,以Z）為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示，

設(shè)正方體的棱長為I,則。(0,0,0),4(1,1,1),c(o,i,o),尸卜;0；可得西=0,1,1),5c=(0,1,0),

=,設(shè)平面用CO的法向量為4=(x,y,z),

n-DB,=x+y+z=0一,、

則x_，可取x=l,貝lJv=0,z=—1,即々=(1,0,—1),

nx-DC=y=0

n2?DB[=a+b+c=0

設(shè)平面耳。尸的法向量為“2=（。也。），則，——?1

n-DP=a-\■—b=0

9一2

可取。=1,則6=-2,c=l,可得平面耳。尸的一個(gè)法向量為后=（1,-2,1）,

由多=1+°-1=°，所以即平面耳C。平面片DP,故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

【變式2］（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體/3CD-44GA的體積為48血，

yr

ZAMB=ZA/D,44=6,底面邊長均為4,且//MB=尸分別為，及CC；,CQ的中點(diǎn)，則下列選

A.MN//APB.4c，平面BZW

C.APl^CD.4尸〃平面MNC

【答案】ABC

【詳解】解：因?yàn)榈酌鏋檫呴L為4的菱形，且所以四邊形的面積為4x4xsin（=86,

又平行六面體48co-的體積為48血，所以平行六面體Z5CD-44GA的高為4=2n,

8V3

因?yàn)橐?/8=/440,所以4在底面的投影在/C上，設(shè)4在底面的投影為O,

貝1|4。=2幾,又41=6,所以Q4=y/AA；-GM；=26,又/C=46=20/,

所以。為/C的中點(diǎn)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則/(2g,0,0),C(-273,0,0),5(0,2,0),D(0,-2,0),M(V3,l,0),

4(0,0,276),#(-3^3,0,76),P(-3A/3,-1,276),

所以礪=卜4百,一1,旬，AP=(-573,-1,276),4C=(-273,0,-276),

CM=(373,1,0),麗=13百2,痛)

因?yàn)榧悠芟拢訫V、4尸不平行，故A錯(cuò)誤;

又麗?荏=卜2百卜卜3百）+（-2*0+卜2次卜痛片0,所以BN與4c不垂直，故B錯(cuò)誤;

因?yàn)槿f?麗=卜26卜卜5百）+卜2灰,2卡片0,所以ZP與4c不垂直，故C錯(cuò)誤;

n-MN=0-4月x-y+屈z=0

設(shè)平面MAC的法向量為〃=（x,y,z）,貝1|<—,即

n-CM=03gx+了=0

不妨取1（行,-3而1卜

所以/尸?〃=J^x(―5>^)+卜3代")x卜1升lx26"=0,所以

又/尸。平面ACVC,所以/尸〃平面MVC,故D正確;

故選：ABC

【變式3］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-48CD中，底面4BCD為矩形，側(cè)棱P4,底

面48cD,AB=s/3,BC=1,PA=2,E為P。的中點(diǎn).

P

⑴求直線AC與PB所成角的余弦值；

(2)在側(cè)面P45內(nèi)找一點(diǎn)N,使平面上4c.

【答案】(1)十工

14

⑵答案見解析

【詳解】(1)設(shè)zcn8￡>=。，連。￡、AE,則。E〃,

二AEOA即為/C與PB所成的角或其補(bǔ)角

在ZUQE中，AO=\,OE=-PB=—.AE=-PD=—,

2222

715

“皿二”衛(wèi)工二二1377

2OE,AO.S14,

2x--x

2

即AC與PB所成角的余弦值為近.

14

(2)分別以AB.4P為1軸、V軸Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

Z八

C

X

則可得N（0,0,0）、8（0,百,0）、C（l,百,0）、0（1,0,0）、尸（0,0,2）、E'，。」]，

萬=（0,0,2）,就=（1,百,0）

設(shè)N（0,y,z）,則屜=[g,fl-z],由于平面尸ZC,

（—?—?2—2z=f）

NE?AP=GG

所以______,化簡得1r-,可得y=組，z=l,

NE?AC=0--V3y=0-6

,12

因此，點(diǎn)N的坐標(biāo)為0,^,1,

I6J

A

從而側(cè)面尸48內(nèi)存在一點(diǎn)N,當(dāng)N到48、4P的距離分別為1和立時(shí)，平面尸/C.

6

【變式4]（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱/3C-44G中，4鳥=4。，尸為的中

點(diǎn)，D,￡分別是棱8C,上的點(diǎn)，且/。工8C.

B

（1）求證：直線4月〃平面ADE；

（2）若“8C是正三角形，E為G。中點(diǎn)，能否在線段48上找一點(diǎn)N,使得4N〃平面/DE?若存在，確

定該點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵在直線用3上存在一點(diǎn)N,且BN=：BB1,使得&N〃平面NOE.

【詳解】（1）在直三棱柱/8C-446中,

VAB=AC,/。_18。,，。是3。的中點(diǎn)，

又；尸為耳G的中點(diǎn):.DF//AA},\^DF=AAif

四邊形是平行四邊形，.14尸〃ND

AXF<Z平面ADE,ADu平面ADE,^AXFH平面ADE.

（2）在直線用8上找一點(diǎn)N,使得4N〃平面ZDE,證明如下：

在直三棱柱/3C—4BG中，-：DFHAAX.-.DF1AD,DF1DC

又?；4D_LBC:.D4DC,Z)尸兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，QC為x軸，D4為了軸，。產(chǎn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)44=2,AAX=2t,

QN在線段上,^BN=ABB1,O<A<1,則N(—1,0,2加)，

則A(O,V3,0),D(0,0,0),E(l,0,/),5(-1,0,0),

司(-1,0,2/),4(0,62),則方=(0,G,0),DE=(l,0,t),lJV=(-l,^3,2lt-2t),

設(shè)平面的法向量五=(x,y,z),

貝"2=后=0,取得—1),

[五-DE=x+￡z=0

___.1

???/[N〃平面/。5，二.4N?方=/+0+2?-2%=0,解得力二一，

12

...在直線48上存在一點(diǎn)N,RBN'BB、,使得4N〃平面/DE.

題型05異面直線所成角

【典例1】(2023春?貴州?高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，圓錐的軸截面N3C為等邊三角形,

。為弧N8的中點(diǎn)，￡為母線3C的中點(diǎn)，則異面直線48和。E所成角的余弦值為()

A.IB.正C.變D.-

3344

【答案】C

【詳解】解法一：

c

D

圖1

如圖1,取/C中點(diǎn)產(chǎn)，連接EF,DF,。為N3的中點(diǎn)，連接OD,CO,OE,。尸,

易知CO，底面048,

因?yàn)镃Ou平面N3C,所以平面/5C1底面Q1B.

又平面4BCc底面。43=/3,DOLAB,

所以DO_L平面48c.

因?yàn)镋Ou平面N3C,所以DO_LO￡.

同理可得，DOLOF.

設(shè)底面半徑為r，EF=r,DE=DF=^DO2+OE2=M-

因?yàn)橥呤謩e為CB,C/的中點(diǎn)，所以EF//AB,

則在SE廠中，NDE尸或其補(bǔ)角等于異面直線48和DE■所成的角.

DE?+EF2-DF22+1-2_A/2

所以cos/DEF=

2DE-EF2A/2-1-4

解法二:

如圖2,。為48的中點(diǎn)，連接OD,C。，

易知CO,底面Q1B,

因?yàn)镃Ou平面N3C,所以平面/3C1底面。18.

又平面4BCc底面OAB=4B,DOLAB,

所以。O_L平面48c.

圖2

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=2,

則/(0,-1,0),5(0,1,0),。(1,0,0),E

2,2

所以通=（0,2,0）,DE

ABDE

記所求角為凡貝l]cosO=

\AB\-\DE\

故選：c.

【典例2】（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的軸截面/BCD是邊長為2的正方形，￡為下

底面圓周上一點(diǎn)，滿足前=2成，則異面直線NE與所成角的余弦值為（）

【答案】B

【詳解】法一：如圖，連接EQ并延長，交底面圓于尸，連接尸q,FB,易知/E//B尸且/E=8尸,

E

所以/尸叫為異面直線AE與BO、所成的角或其補(bǔ)角.

因?yàn)楦?2靛，貝匕/。2￡=60°，所以為正三角形，故4E=BF=1.

由圓柱的性質(zhì)知0尸=QB=《BC?+O?=V5,

法二：以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,5（0,2,0）,&（0,1,2）,E

Zb

―??V311___.

所以4E=-y,-,0,5a=(O,—l,2),

I---?----?iAF?RC')<)

所以異面直線4E與BQ所成角的余弦值為MsZ￡,BQ卜弱病=3

10

故選：B

【典例3】(2023?江蘇?高三專題練習(xí))如圖，已知正三棱柱/3C-446的各條棱長都相等，P為仲

上一點(diǎn)，常=2還，(0<A<l),APC1AB.

(1)求人的值;

(2)求異面直線PC與AQ所成角的余弦值.

【答案】(叫

(2)正

8

【詳解】(I)設(shè)正三棱柱Z8C-446的棱長為2,

分別取AC,4G中點(diǎn)為。a點(diǎn)，連結(jié)OBQO1.

因?yàn)椤癇C為等邊三角形，所以O(shè)BL/C,OA=1,OB=6

又。,a點(diǎn)分別為取AC,4G的中點(diǎn)，所以oox//AAx.

又由正三棱柱的性質(zhì)可知，幺4,平面N3C,所以平面N8C.

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OC,O。1所在的直線為x,y,z軸，如圖建立。-中Z空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,5（V3,0,0）,/（0,-1,0）,C（0,l,0）,O,（0,0,2）,4（0,-1,2）,Q（0,1,2）,

UUUzI—\---?/r—\LXLILL

所以，45=（6,1,-2）,/B=（j3,l,0）,布=（0,2,2）,4c=（0,2,-2）,

UULUHULLL1L111,、

所以尸C=40—4尸二（0,2,—2）—4（J3,1,—2）=（—J34—4+2,—2+22）.

因?yàn)樗郧?方=0，

所以有一3%—％+2=0,解得4=：.

2

UUDrfV331

（2）由（1）可知，PC=—,—,—1,

I22J

UUHIU

/零用'PCAC,0+3-2<2

所以COS（PC,4G）=IUUTHuf.=—F=-L=——.

所以\/園園|V8.V48，

所以，異面直線尸。與ZG所成角的余弦值為半.

【變式1】（2023春?山東濟(jì)南?高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體4BCD滿足48/3C,

BCLCD,4B=BC=CZ）=2G，且該四面體的體積為6,則異面直線/。與3c所成角的大小為（）

A.45°B.60°C.45°或60°D.60°或30°

【答案】C

【分析】將四面體放入長方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到CE=3,建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，

根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：將四面體放入長方體中，

JZ=1X-X2V3X2V3XC￡1=6,解得CE=3,

32

故OE=4CD1-CE2=J12-9=V3>

以E4,FC,尸G為x,P,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

/（2后0,0）,8（2百,2后0）,C（0,2^,0）,。（0,6,3）或0（0,3a3）,

AD=(-273,后3)或訪=卜2百,3瓜3),SC=(-2^3,0,0),

設(shè)異面直線AD與BC所成的角的大小為e,0<6?<90°,

\AD-BC\1241

Pf)Qf)—J----------L則6=45。；

R-KI273x276-2

阿?西12J

或cose二

|Zo|-|sc|2百x4百2

綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為45。或60°.

故選：C

【變式2］（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱