江蘇省常州市新北區(qū)河海實驗學校2024-2025學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷

2024-2025學年江蘇省常州市新北區(qū)河海實驗學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是(

)A. B. C. D.3.若關于x的一元二次方程的一個根是，則m的值是(

)A. B. C. D.4.如圖，在中，點D，E分別為邊AB，AC的中點.下列結(jié)論中，錯誤的是(

)A.

B.∽

C.

D.

5.如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC上的點，，，且，那么等于(

)

A. B. C. D.6.如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點H，若，，則DH的長為(

)A.2

B.3

C.

D.7.我國古代數(shù)學家趙爽公元世紀在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程正根的幾何解法．以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此則在下面四個構(gòu)圖中，能正確說明方程解法的構(gòu)圖是(

)A. B. C. D.8.有關于x的兩個方程：與，其中，下列判斷正確的是(

)A.兩個方程可能一個有實數(shù)根，另一個沒有實數(shù)根

B.若兩個方程都有實數(shù)根，則必有一根互為相反數(shù)

C.若兩個方程都有實數(shù)根，則必有一根相等

D.若兩個方程都有實數(shù)根，則必有一根互為倒數(shù)二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。9.一元二次方程的實數(shù)根為______，______.10.用配方法解一元二次方程，配方后的方程為，則n的值為______.11.已知均不為，求______.12.設關于x的方程的兩根是m和n，且，則k值為______.13.若a是方程的一個根，則代數(shù)式的值=______.14.某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤12元，為擴大銷量，增加利潤，超市準備適當降價，據(jù)測算，每箱每降價1元平均每天可多售出20箱，若要使每天銷售飲料獲利1440元，則每箱應降價______元.15.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是______填序號

16.如圖，AD是的中線，E是AD上一點，AE：：3，BE的延長線交AC于F，AF：FC為______.

17.如圖，在?ABCD中，，，E為AD上一點，且，，則______

18.如圖，在中，，AD是的一條角平分線，E為AD中點，連接若，，則______.

三、解答題：本題共7小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題8分

解方程：

；

20.本小題8分

已知關于x的一元二次方程

求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

如果方程的兩個實數(shù)根為，，且，求m的值.21.本小題8分

新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形.

驗證：矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形，其中矩形ABCD的長為12、寬為2，矩形EFGH的長為4、寬為

探索：一矩形的長為2、寬為1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由.22.本小題8分

如圖，已知點B、C在線段AD上，且，，是邊長為6的等邊三角形．求證：∽

23.本小題10分

如圖，已知梯形ABCD中，是邊AB上一點，CE與對角線BD交于點F，且求證：

∽；

24.本小題10分

如圖，在四邊形ABCD中，，，，，點P從A開始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達終點時運動停止.設運動時間為t秒.

求證：當時，四邊形APQD是平行四邊形；

是否可能平分對角線BD？若能，求出當t為何值時PQ平分BD；若不能，請說明理由；

若是以PD為腰的等腰三角形，求t的值.25.本小題12分

【探究】如圖①，在矩形ABCD中，點E在邊DC上，連結(jié)AE，過點D作于點G，交邊BC于點若，，求的值.

【應用】如圖②，在中，，點F為邊BC的中點，連結(jié)AF，過點B作于點E，交邊AC于點若，的值為______.

如圖③，在中，，點D為AC的中點，連結(jié)BD，過點A作于點E，交邊BC于點若，的值為______.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：只含有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以是一元二次方程，故該選項符合題意；

B.，含有兩個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

C.為分式方程，故該選項不符合題意；

D.是一元一次方程，故該選項不符合題意．

故選：

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程．據(jù)此解答即可．

此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程．2.【答案】A

【解析】解：A選項，，故沒有實數(shù)根，符合題意；

B選項，，，不符合題意；

C選項，，，不符合題意；

D選項，，，不符合題意．

故選：

利用根的判別式和簡單一元二次方程求解作答即可．

本題考查根的判別式，能夠快速求出一元二次方程的解是解答本題的關鍵．3.【答案】D

【解析】解：由題意得：

把代入方程中得：

，

，

解得：，

故選：

根據(jù)題意可得：把代入方程中得：，然后進行計算即可解答．

本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．4.【答案】D

【解析】解：點D，E分別為邊AB，AC的中點，

是的中位線，

，

故A、C選項不符合題意．

，

∽

故B選項不符合題意．

∽，

，

則

故D選項符合題意．

故選：

根據(jù)題中所給條件可得出與相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積及三角形中位線定理，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．5.【答案】A

【解析】【分析】

先由AD：：5，求得BD：AB的比，再由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：：AB，然后由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF：：AC，則可求得答案．

此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應關系是解此題的關鍵．

【解答】

解：：：5，

：：8，

，

：：：8，

，

：：：

故選：6.【答案】B

【解析】解：由正方形CEFG和正方形ABCD，，，

得，

得∽，

得DH：：：：1，

由，

得

故選：

由正方形CEFG和正方形ABCD，，，得，得∽，得DH：：：：1，由，即可得

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是相似三角形的性質(zhì)的應用．7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查一元二次方程的應用，通過圖形直觀得出面積之間的關系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關鍵．

根據(jù)題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關系可得出答案．

【解答】

解：方程，即的拼圖如圖所示；

中間小正方形的邊長為，其面積為25，

大正方形的面積：，其邊長為7，

因此，D選項所表示的圖形符合題意，

故選：8.【答案】B

【解析】解：兩個方程的根的判別式相等為，所以兩個方程解的情況相同，所以排除A；

兩個方程只有b的系數(shù)是相反數(shù)，其他系數(shù)相同，所以必有一根是互為相反數(shù)，

故選：

根據(jù)根的判別式和一元二次方程的解的定義即可得到結(jié)論．

本題考查了根的判別式和一元二次方程的解，正確的理解題意是解題的關鍵．9.【答案】03

【解析】解：由題意，，

，

故答案為：0，

依據(jù)題意，由，進而計算可以得解．

本題主要考查了解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的解，解題時要熟練掌握并能準確計算是關鍵．10.【答案】7

【解析】解：，

，

，

，

故答案為：7

根據(jù)配方法即可求出答案．

本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用配方法解一元二次方程，本題屬于基礎題型．11.【答案】

【解析】解：設，

則，，，

故答案為：

根據(jù)題意，設，則得，，，然后分別代入求解即可．

本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】解：關于x的方程的兩根是m和n，

，

，

，，

，

故答案為：

首先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到兩根之和，結(jié)合已知條件列出方程組求得m和n的值，然后利用兩根之積求得k值即可．

本題考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是求得方程的兩根，難度不大．13.【答案】2013

【解析】解：是方程的一個根，

，

，

原式

故答案為：

由a是方程的一個根，可得出，將其代入中，可得出原式，再次代入，即可求出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的解，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關鍵．14.【答案】3或4

【解析】解：設每箱降價x元，則每箱的銷售利潤為元，平均每天可售出箱，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，，

每箱應降價3或4元．

故答案為：3或

設每箱降價x元，則每箱的銷售利潤為元，平均每天可售出箱，利用總利潤=每箱的銷售利潤日銷售量，可列出關于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15.【答案】①③

【解析】解：圖形①的三邊為：2，，；

圖形②的三邊為：3，，；

圖形③的三邊為：2，，；

圖形④的三邊為：3，，，

，，

①與③相似，

故答案為：①③．

先求出所有三角形的邊長，由相似三角形的判定可求解．

本題考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的邊長是解題的關鍵．16.【答案】1：6

【解析】解：作交AC于H，

是的中線，

，

，

，

，

：：6，

故答案為：1：

作交AC于H，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，計算得到答案．

本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系，根據(jù)中線為切入點作出輔助線是解題的關鍵．17.【答案】

【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，，

，，

，

，，

，，，，

，

∽，

，即，

解得

故答案為

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)，，，，進而得出，故可得出∽，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論．

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∽是解答此題的關鍵．18.【答案】

【解析】解：連接CE，過E作于F，如圖：

設，則，

，E為AD中點，

，

，，

，

，

，

，

，

∽，

，，

，

平分，

，

，

，

，

∽，

，

，，

，

為AD中點，

，

，

，

，

，

解得或小于0，舍去，

故答案為：

連接CE，過E作于F，設，則，由，E為AD中點，可得，有，，證明∽，可得，，故，再證∽，得，而，即得，從而，即可解得答案．

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、解一元二次方程等知識，有一定的難度，熟練掌握三角形相關知識是解答的關鍵．19.【答案】解：，

，

則，

或，

解得，；

，

，

則，

，即，

【解析】利用因式分解法求解即可；

利用公式法求解即可．

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．20.【答案】解：，

這里，，，

，

無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

設方程的兩個實數(shù)根為，，

則，

，即，

整理，得

解得，

的值為或

【解析】先確定a、b、c，再計算根的判別式，利用根的判別式得結(jié)論；

先利用根與系數(shù)的關系求出兩根的和與積，再代入已知中得關于m的方程，求解即可．

本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式、根與系數(shù)的關系及完全平方公式的變形等知識點是解決本題的關鍵．21.【答案】證明：矩形EFGH的周長為：，

矩形ABCD的周長為：，

矩形EFGH的周長矩形ABCD的周長；

矩形EFGH的面積為：，

矩形ABCD的面積為：，

矩形EFGH的面積矩形ABCD的面積；

矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形．

解：該矩形不存在“減半”矩形，理由如下：

若矩形存在“減半”矩形，設該“減半”矩形長和寬分別為m，，

原矩形的長和寬分別為2，1，

①，②，

由①得：，

將代入②得：，

即，

，

無實數(shù)根，

該矩形不存在“減半”矩形．

【解析】分別求出矩形EFGH的周長與面積，矩形ABCD的周長與面積，即可得出結(jié)論；

若矩形存在“減半”矩形，設該“減半”矩形長和寬分別為m，，根據(jù)矩形的周長和面積得出，再由根的判別式即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應用、矩形的性質(zhì)以及根的判別式等知識，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．22.【答案】證明：在等邊三角形PBC中，，

在和中，，

，，，

，，

，

∽

【解析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，要熟練運用相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是關鍵．先證出，再得出，根據(jù)相似三角形的判定證明即可.23.【答案】證明：，

，

，

∽，

，

，

，

∽；

由知∽，∽

，，

，

【解析】由，，可得∽，有，又，有，故∽；

由∽，∽，可得，，即得，從而

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．24.【答案】證明：，

當秒時，兩點停止運動，在運動過程中，，

，，

當時，，，

又四邊形ABCD為等腰梯形，

，

四邊形APQD為平行四邊形；

解：PQ能平分對角線BD，當秒時，PQ平分對角線

理由如下：

連接BD交PQ于點E，如圖1所示：

若PQ平分對角線BD，則，

，

，，

在和中，

，

≌，

，

即四邊形DPBQ為平行四邊形，

，

解得，符合題意，

當秒時，PQ平分對角線

解：分兩種情況：

①當時，作于N，于M，與E，如圖2所示：

則，，