導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題11導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義9題型分類

彩題如工總

題型1:導(dǎo)數(shù)的定義

彩先我寶庫

一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1.概念

函數(shù)/⑺在X=X。處瞬時(shí)變化率是lim孚=lim,我們稱它為函數(shù)y=/⑺在X=X。處的導(dǎo)

.—Ax.70Ax

數(shù)，記作了'(%)或y[4花.

注：①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Arf0的意義：Ax與0之間距離要多近有

多近，即IAr-01可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當(dāng)8―0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

Z=/(%+Ax)-F(九0)

無限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的

瞬間變化率，即/U)=lim?=lim/(天+?)—/(%)

Axf0八丫Ax—>0Ax

2.幾何意義

函數(shù)y=F(x)在x=%處的導(dǎo)數(shù)/U)的幾何意義即為函數(shù)j=八月在點(diǎn)PKX0，為)處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=s⑺在點(diǎn)力處的導(dǎo)數(shù)S&)是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即V=S&)；V=V(r)在點(diǎn)t0的導(dǎo)數(shù)M&)是物

體在fo時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即a=v&).

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

〃x)=c(C為常數(shù))r(x)=o

/(x)=xa(aeQ)fr(x)=axa~l

/(x)=ax(a>。，aw1)fr(x)=axIna

f(x)=loga尤(a>0,aw1)fw=,

xlna

于(x)="f'(x)=e'

f(x)=lnxf,M=-

X

f(x)=sinxf\x)=COSX

/(x)=cosXf\x)=—sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則:"(x)土g(x)r=f\x)±g'(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]'=/'3g(x)+/(x)g'(x);

/-＞、n物由1Vl牛日什制/-n皿門/口兒-/取)gOA/(X)g(X)

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)*0,則----------J--------.

§(x)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f[gM]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(M),U=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y；=K'Q：

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)在點(diǎn)的切線方程

切線方程，-/(無。)=/'(%)。-不)的計(jì)算：函數(shù)y=/(元)在點(diǎn)4%,〃與))處的切線方程為

%=/(X°)

，寸(X。)"'(豌)(Xf),抓住關(guān)鍵

k=f\x0)'

（2）過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為p（%，％）,則斜率左=r（xo）,過切點(diǎn)的切線方程為：=r（%）（x-%）,

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A＞，"），所以然后解出/的值.（X。有幾個(gè)值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

彩健甄祕(mì)籍

導(dǎo)數(shù)的定義

對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng).拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.

題型1：導(dǎo)數(shù)的定義

1-1.（2024高二下?北京?期中）已知函數(shù),=〃》）的圖象如圖所示，函數(shù)、=/（"的導(dǎo)數(shù)為'=/'"）,貝版）

A.f,（2）＜/,（3）＜/（3）-/（2）B.r（3）〈八2）＜〃3）2）

C.八2）＜〃3）-〃2）＜八3）D.八3）＜人3）-/（2）＜八2）

1-2.（2024高三上?云南楚雄?期末）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的

高度〃（單位：cm）與時(shí)間f（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為/?=$3+/，當(dāng)公辦時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化

率為3cm/s,則當(dāng)ff+1時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

1-3.（2024高二下?天津?期中）已知函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)是「（x）,若/'（無。）=2,則〃無。+；心）一"與）_

nm-

Ax

（）

A.；B.1C.2D.4

Ax

1-4.（2024高二下?重慶?階段練習(xí)）若函數(shù)在％處可導(dǎo)，且lim+2,=1，貝|/，（%）=（）

—2Ax、'

A.1B.-1C.2D.]

1-5.(2024高三?全國(guó)?課后作業(yè))若/(x)在與處可導(dǎo)，則尸(飛)可以等于().

x

Alim/U)-/(o-MB.)-/&-詞

-Ax?一°Ax

cUm口lim

AX-OAx-Ax

彩健題海籍

(-)

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和.差.積.商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.

題型2:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2-1.(2024?湖北武漢?三模)已知函數(shù)，(x)=/'(0)e2*-eT,則/(0)=.

2-2.(2024高三下?河南,階段練習(xí))已知函數(shù)/(無)的導(dǎo)函數(shù)為/'(無)，＞/(^)=X*12/34,(1)+X+2,則

r(i)=.

2-3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

⑶〃力=23，+2

(4)f(x)=V5x+4；

2-4.(2024高三?全國(guó)?課后作業(yè))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=(3尤2+2x+l)cos尤；

，一、3尤之+%4―5&+1

(2)Y=------------T----------；

yjx

(3)y=xls+sinx-lnx；

(4))=2"cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-310g3%；

(6)y=excosx+tanx.

彩做題祕(mì)籍（=）

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=/（x）在點(diǎn)尸（天,/（無。））處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點(diǎn)

處的切線與曲線經(jīng)過某點(diǎn)的切線的區(qū)別.（1）已知/（刈在點(diǎn)（尤°,/（%））處的切線方程為

y-y0=f'Wx-x0）,（2）若求曲線y=/（x）過點(diǎn)3巖的切線方程,應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（尤°"（%））,由

〉-%=71）（》-%）過點(diǎn)（”,刀，求得與的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點(diǎn)既在曲線上又在切線上.

題型3：在某點(diǎn)處的切線方程

3-1.（2024?廣東廣州?三模）曲線y=（2x-l7在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為.

3-2.(2024?全國(guó))函數(shù)/⑺=犬-2丁的圖像在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線方程為()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

3-3.（2024高三上?陜西?階段練習(xí)）曲線>=上；在點(diǎn)（2,-2）處的切線方程為（）

x-3

A.y=-3%+4B.y=x-4C.y=3x—8D.y=3x-4

二e在點(diǎn)11總處的切線方程為（

3-4.(2024?全國(guó))曲線y=)

x+1

eeeee3e

A.y=-xB.y=-xC.y=—x+—D.y=-x-\----

424424

35（2024?全國(guó)）曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)仇，-1）處的切線方程為

A.x-y-7t-l=0B.2%—y—271—1—0

C.2%+y—2兀+1—0D.1+y一冗+1=0

題型4:過某點(diǎn)的切線方程

4-L（2024.湖南.模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)（0.18）作曲線y=Y-x+2的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，這條

切線在X軸上的截距為.

4-2.（2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）曲線/（；0=/底片0）過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程

為，.

4-3.（山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)（3,0）作曲線〃力=

的兩條切線，切點(diǎn)分別為（％，/（%）），（%2，/（%2））,則占+Z=（）

A.-3B.-V3C.73D.3

題型5：已知切線求參數(shù)問題

5-1.（2024?重慶?三模）已知直線y=or—。與曲線>=無+9相切，則實(shí)數(shù)a=（）

X

143

A.0B.-C.—D.一

252

5-2.（2024?全國(guó)）設(shè)曲線y=ax-ln（x+l）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為y=2x,則a=

A.0B.1C.2D.3

5-3.（2024?全國(guó)）曲線y=（ox+l）ex在點(diǎn)（0,1）處的切線的斜率為一2,則。=.

5-4.（2024?全國(guó)）已知曲在點(diǎn)（1,卷）處的切線方程為y=2x+6,則

A.a-e,b=-1B.a-e,b-\C.a-e~',b-iD.a=e~\b=-1

題型6：切線平行、垂直、重合問題

6-1.（2024?安徽六安?三模）若函數(shù)/（x）=lnx+x與8（幻=生二；的圖象有一條公共切線，且該公共切線與

x-1

直線y=2x+l平行，則實(shí)數(shù)加二（）

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

6-2.（2024?湖南長(zhǎng)沙,一模）已知直線x-9y-8=0與曲線C:y=?r3一px2+3x相交于A,3,且曲線C在處

的切線平行，則實(shí)數(shù)P的值為（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

6-3.（2024高三上?浙江?期中）若函數(shù)/（x）=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)。的值是

（）

A.2B.1C.0D.-1

6-4.（2024高三?江西撫州?開學(xué)考試）已知曲線〃x）=WT（x>-l）在點(diǎn)&（和/（芯））,3（程〃々））（占<%）

處的切線4,互相垂直，且切線乙4與y軸分別交于點(diǎn)。后，記點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)之差為，，則

（）

2

A.—2<Z<0B.2—2e<^<0

e

2

C.t<.—2D.%>2e—2

e

6-5.（2024高三上?河北邯鄲,階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=ln（x+a）在x=l處的切線與直線y=^+l平行，則〃=

（）

A.-2B.2C.-1D.1

6-6.（2024高二下?湖南,期中）已知曲線y=x+±（x<0）在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y+l=。垂直，則點(diǎn)P

X

的橫坐標(biāo)為（）

A.1B.-1C.2D.-2

題型7：公切線問題

7-1.（2024?山東煙臺(tái)?三模）若曲線、=丘7（左<0）與曲線y=e，有兩條公切線，則上的值為.

7-2.（2024?全國(guó)）若直線>=麻+8是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線，則6=.

7-3.（2024高二下?浙江杭州?期中）若直線。=左（了+1）-1與曲線"j相切,直線"4（%+1）—1與曲線》=如下

相切，則％1履的值為.

題型8：切線的條數(shù)問題

8-1.（2024高二下?福建廈門?期中）若曲線y=（x+l）e，過點(diǎn)尸（4,0）的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

8-2.（2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）若曲線y=xlnx有兩條過（l,a）的切線，則。的范圍是.

8-3.（2024高三上?福建漳州?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃*=—/+2尤2—x,若過點(diǎn)P0J）可作曲線y=/⑺的

三條切線，貝h的取值范圍是.

8-4.（2024高三上?河北?階段練習(xí)）若過點(diǎn)（孫〃）可以作曲線，=log?x的兩條切線，則（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log2nD.n<log2m

題型9：最值問題

一4

9-1.（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，尸是曲線y=x+—（尤>0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+v=0

x

的距離的最小值是—.

9-2.（2024?山東聊城?三模）若直線y=x+6與曲線y=e，-以相切，貝峰的最大值為（）

A.0B.1C.2D.e

9-3.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知機(jī)>0,n>0,直線y=1尤+相+1與曲線y=lnx-"+2相切，則工+工的

emn

最小值是（）

A.16B.12C.8D.4

94（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e.上，點(diǎn)。在曲線y=T+lnx上，貝力PQI最小值為（）

A.72B.2A/2

C.0（1+妨2）D.72（1-/?2）

95（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e2,上，點(diǎn)。在曲線丁=小門上，則|P0l的最小值為（）

A.^-（l-ln2）B.V2（l-In2）

C.72（1+In2）D.也（l+ln2）

2

9-6.（2024?四川?一模）若點(diǎn)P是曲線y=lnx-爐上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/：%+y—4=0距離的最小值為

（）

萬

A.芋B.V2C.2&D.472

法習(xí)與置升

一、單選題

1.（2024.云南保山.二模）若函數(shù)〃x）=41nx+l與函數(shù)g（無）=：/-2尤（°>0）的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)

〃的取值范圍為（）

1

B.—,+co

3

12一

D.

353

2.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)/（x）=（a-1卜2-3法+°々-1在點(diǎn)（1,41））處的切線方程為

x+y+l=0,則巴之=()

c-a

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024高二下?四川成都?階段練習(xí)）已知/是曲線y=lnx+；尤2+"上的任一點(diǎn)，若曲線在M點(diǎn)處的切

線的傾斜角均是不小于7T;的銳角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

4

A.[2,+oo）B.[-l,+oo）C.（-oo,2]D.

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若過點(diǎn)（凡切可以作曲線y=ln、的兩條切線，貝U（）

A.a<lnbB.b<]naC.]nb<aD.\na<b

5.（2024?湖南?二模）若經(jīng)過點(diǎn)（。力）可以且僅可以作曲線>=lnx的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.a<0B.b=lnaC.a=lnbD.a<Q^b=Ina

6.（2024高三上?上海閔行?期末）若函數(shù)>=/（%）的圖像上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)RQ,使得在這兩點(diǎn)處的切線

重合，則稱/（尤）為〃切線重合函數(shù)〃，下列函數(shù)中不是〃切線重合函數(shù)〃的為（）

A.y=x4-x2+1B.y=sinx

C.y=%+cos%D.y=x2+sinx

7.（2024高二?江蘇?專題練習(xí)）已知A,B是函數(shù)/（%）=<.~，圖象上不同的兩點(diǎn)，若函數(shù)丁=/（%）

xiwc-a,x>0

在點(diǎn)A、8處的切線重合，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

11

A.B.——,+ooC.(O,-Hx))D.—,+00

-臼22

8.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)。在曲線尸2^上,點(diǎn)。在曲線丁=1111-1112上,則|。0|的最小值為（）

A.l-ln2B.V2(l-ln2)

C.2(1+In2)D.72(1+In2)

9.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）己知實(shí)數(shù)。，b,c,/滿足|ln（a-l）-"+|c-d+2|=0,則（“-c）?的

最小值為（）

A.2A/2B.8C.4D.16

10.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=（丈-a）2+4（lnx-a）2,其中x>0,aeR.若存在正數(shù)看,使得

/（x0）V：成立，則實(shí)數(shù)。的值是（）

12

A."B.一C.1D.1

55

11.（2024?寧夏銀川?一模）已知實(shí)數(shù)工，，滿足2--51nx-y=。，〃zeR,貝」+y_2mx+2沖+2相？的最

小值為()

a9R372

22。,今D-

12.（2024?全國(guó)）若過點(diǎn)（。力）可以作曲線y=e?的兩條切線，則（）

A.e"vaB.e<b

C.0<a<ebD.0<b<ca

13.（2024?全國(guó)）若直線/與曲線y=6和x2+y2=：都相切，貝|/的方程為（）

111

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=—x+1D.y=—x+—

72722

14.（2024高二下?四川宜賓,期末）已知尸為函數(shù)/（x）=lnx+無2圖象上一點(diǎn)，則曲線y=/（元）在點(diǎn)尸處切線

斜率的最小值為（）

A.1B.72C.2挺D.4

15.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)/（元）=g尤3的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處切線的傾斜角的取值

范圍為（）

3兀B._0，加?。?/p>

A.0,—

_4_

-3兀A713兀

D-卜工

16.（2024?全國(guó)）曲線y=/-2x+4在點(diǎn)（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

17.(2024高二下?陜西西安?期中)設(shè)函數(shù)/(%)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線＞=/(X)在x=5處

的切線的斜率為()

11「

A.—B.0C.-D.5

55

18.(2024?山東)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱

y=/(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

A.y=sinxB.y=lnxC.y-exD.y=x3

19.(2024高二下洞南鄭州?期中)若曲線〉=蛆三在。,-。)處的切線與直線/：2彳7+5=0垂直,則實(shí)數(shù)。=

()

33

A.1B.—C.-D.2

22

20.(2024?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè))定義：若直線/與函數(shù)y=〃x),y=g(x)的圖象都相切，則稱直線/為函

數(shù)y=/(x)和y=g(x)的公切線.若函數(shù)〃x)=alnx(a＞0)和g(x)=f有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)a的

值為()

A.eB.C.2eD.2-Je

21.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/若1/(元)2依，則a的取值范圍是()

[ln(.r+l),x＞0

A.(-8,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多選題

22.(2024,安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè))牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如

下：設(shè)r是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取與作為廠的初始近似值，過點(diǎn)&/(%))作曲線y=/(x)的切

線乙，設(shè)《與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為毛，并稱々為〃的1次近似值；過點(diǎn)(xj(M)作曲線＞=/(力的切線4，

設(shè)/2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱巧為廠的2次近似值.一般地，過點(diǎn)鼠/(%))(〃eN*)作曲線＞="X)的

切線加，記/向與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為了用，并稱“為『的”+1次近似值.對(duì)于方程d―》+1=0,記方程的

根為『，取初始近似值為%=T，下列說法正確的是()

A.re(-2,-l)B.切線4：23x-4y+31=0

?I1—1

C.卜-龍2|>§D.無"+i=3%2_]

23.（2024高二下?江蘇宿遷?期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓

法.首先，設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)修,如圖，在X=x（，處作/（尤）圖象的切線，切線與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作4：用不

替代X。重復(fù)上面的過程可得X2；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)飛,為，巧，…，％,...在一定精確度

下，用四舍五入法取值，當(dāng)玉一，%（〃eN*）近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)〃尤）的一個(gè)零點(diǎn)若要求指的

近似值「（精確到0.1）,我們可以先構(gòu)造函數(shù)/（司=丁-6,再用“牛頓法”求得零點(diǎn)的近似值人即為充的近

22

B.若不￡Q，且%。。，則對(duì)任意〃GN*,Xn=^Xn-\+^~

JXn-1

c.當(dāng)X。=2時(shí)，需要作2條切線即可確定,的值

D.無論與在（2,3）上取任何有理數(shù)都有r=1.8

cinV

24.（2024?海南?？?一模）直線x+胡-〃=。是曲線y=——的切線，則實(shí)數(shù)，的值可以是（）

x

71兀

A.3rtB.TiC.—D.一

23

三、填空題

25.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛%｝中，4=2,函數(shù)〃元）=gx（無一蛇自一外上（尤一生），則

/'⑼）-

26.（2024?遼寧大連?一模）己知可導(dǎo)函數(shù)〃x）,g（尤）定義域均為R,對(duì)任意x滿足/⑴+2磊-1,

且"1）=1，求（⑴+g[j=.

27.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）曲線/。）=1115+2）+5在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程為.

28.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=gx3+bx2+cos[d，尸（x）為的導(dǎo)函數(shù).若尸（x）的

圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則曲線丁=/（尤）在點(diǎn)（2,〃2））處的切線方程為

29.（2024湖南?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)〃"=尢13+。一2卜2（石均是奇函數(shù)，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（九〃初處

的切線方程為.

30.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知過原點(diǎn)的直線與曲線y=ln%相切，則該直線的方程是.

31.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"無）=丁-就+1,過點(diǎn)尸（2,0）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

32.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線y=的切線，寫出一條切線方程：.

33.（2024?海南海口,模擬預(yù)測(cè)）過x軸上一點(diǎn)P&0）作曲線C:y=（x+3）e'的切線，若這樣的切線不存在,

則整數(shù)/的一個(gè)可能值為.

34.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=（x+2）e工的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

35.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)P（l,a）（?eR）有〃條直線與函數(shù)了⑺=（x-2）e'的圖象相切，則當(dāng)"

取最大值時(shí)，。的取值范圍為.

36.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=；9+-⑴￡+1,其導(dǎo)函數(shù)為尸（力，則曲線〃尤）過點(diǎn)*3,1）的

切線方程為.

37.（2024?河北邯鄲?三模）若曲線y=e，與圓（>4+^=2有三條公切線，則。的取值范圍是—.

38.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）若曲線=和曲線Cz：g（x）=21nx恰好存在兩條公切線，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為.

39.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）己知曲線G"（x）=Y與曲線：g（x）=ae'+1（a>0）有且只有一條公切線，

貝Ia=.

40.（2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線丁=。1口無和曲線y二f有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處

有相同的切線/,貝h的方程為.

41.（2024,江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線，則a的范圍是.

31

42.（2024高三上?陜西西安?階段練習(xí)）若曲線>=］無2+尤-］的某一切線與直線y=4x+3平行，則切點(diǎn)坐

標(biāo)為，切線方程為.

43.（2024?陜西）設(shè)曲線y=e工在點(diǎn)（0,：L）處的切線與曲線y=工（x>0）上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為.

X

44.（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系尤0V中，點(diǎn)A在曲線y=ln尤上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e,

-D（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是—.

45.（2024,江蘇）在平面直角坐標(biāo)系WV中，點(diǎn)P在曲線。：丁=/—10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲

線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

四、解答題

46.（2024?北京）已知函數(shù)/。）=2/一3了.

（1）求/'3在區(qū)間上的最大值;

（2）若過點(diǎn)尸（U）存在3條直線與曲線y=/（x）相切，求t的取值范圍；

（3）問過點(diǎn)A（T2）,B（2,10）,C（0,2）分別存在幾條直線與曲線y=/（%）相切？（只需寫出結(jié)論）

47.（2024?北京）設(shè)函數(shù)/（力=［依2-（4a+l）x+4a+3］e*.

（1）若曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線與X軸平行，求a；

（2）若在尤=2處取得極小值，求。的取值范圍.

48.（2024?全國(guó)）已知函數(shù)/（x）=d—x,g（x）=x2+a,曲線y=/（x）在點(diǎn)（％,〃占））處的切線也是曲線

y=g（x）的切線.

⑴若3=T,求a；

（2）求a的取值范圍.

49.（2024?福建）已知函數(shù)/（尤）=%-1+二（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

e

（1）若曲線y=在點(diǎn)。，/⑺）處的切線平行于x軸，求。的值;

(2)求函數(shù)/(x)的極值；

(3)當(dāng)。=1時(shí)，若直線/：，=狂-1與曲線y=/(x)沒有公共點(diǎn)，求女的最大值.

50.(2024,北京)己知函數(shù)/(尤)=12-/.

但)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

3)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)口/⑺)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為義力，求S⑺的最小值.

51.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/0)=/一/+依+1.

(1)討論〃尤)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=〃x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=〃x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

52.(2024高三上,黑龍江雙鴨山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃%)=丁+%一16.

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程；

(2)直線/為曲線y=/(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

專題11導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義9題型分類

彩題如工總

題型1:導(dǎo)數(shù)的定義

彩先我寶庫

一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1.概念

函數(shù)/⑺在X=X。處瞬時(shí)變化率是lim孚=lim,我們稱它為函數(shù)y=/⑺在X=X。處的導(dǎo)

.—Ax.70Ax

數(shù)，記作了'(%)或y[4花.

注：①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Arf0的意義：Ax與0之間距離要多近有

多近，即IAr-01可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當(dāng)8―0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

Z=/(%+Ax)-F(九0)

無限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的

瞬間變化率，即/U)=lim?=lim/(天+?)—/(%)

Axf0八丫Ax—>0Ax

2.幾何意義

函數(shù)y=F(x)在x=%處的導(dǎo)數(shù)/U)的幾何意義即為函數(shù)j=八月在點(diǎn)PKX0，為)處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=s⑺在點(diǎn)力處的導(dǎo)數(shù)S&)是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即V=S&)；V=V(r)在點(diǎn)t0的導(dǎo)數(shù)M&)是物

體在fo時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即a=v&).

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

〃x)=c(C為常數(shù))r(x)=o

/(x)=xa(aeQ)fr(x)=axa~l

/(x)=ax(a>。，aw1)fr(x)=axIna

f(x)=loga尤(a>0,aw1)fw=,

xlna

于(x)="f'(x)=e'

f(x)=lnxf,M=-

X

f(x)=sinxf\x)=COSX

/(x)=cosXf\x)=—sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則:"(x)土g(x)r=f\x)±g'(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]'=/'3g(x)+/(x)g'(x);

/-＞、n物由1Vl牛日什制/-n皿門/口兒-/取)gOA/(X)g(X)

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)*0,則----------J--------.

§(x)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f[gM]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(M),U=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y；=K'Q：

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)在點(diǎn)的切線方程

切線方程，-/(無。)=/'(%)。-不)的計(jì)算：函數(shù)y=/(元)在點(diǎn)4%,〃與))處的切線方程為

%=/(X°)

，寸(X。)"'(豌)(Xf),抓住關(guān)鍵

k=f\x0)'

(2)過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為p(%，％),則斜率左=r(xo),過切點(diǎn)的切線方程為：=r(%)(x-%),

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A>，")，所以然后解出/的值.(X。有幾個(gè)值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

彩健甄祕(mì)籍

(一)

導(dǎo)數(shù)的定義

對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng).拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.

題型1:導(dǎo)數(shù)的定義

1-1.(2024高二下?北京?期中)已知函數(shù),=〃"的圖象如圖所示，函數(shù)'=/(X)的導(dǎo)數(shù)為'=/'"),貝版)

A.f,(2)</,(3)</(3)-/(2)B.r(3)〈八2)<〃3)2)

C.八2)<〃3)-〃2)<八3)D.八3)<人3)-/(2)<八2)

【答案】D

【分析】結(jié)合/(x)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】由“力圖象可知/(3)<"3)二"2)<"2),

即八3)<〃3)—〃2)<〃2).

故選：D

1-2.(2024高三上?云南楚雄?期末)己知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的

高度力(單位：cm)與時(shí)間f(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為"=卜3+產(chǎn)，當(dāng)r=r0時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化

率為3cm/s,則當(dāng)f=r0+l時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為()

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)