2024學(xué)年鄂爾多斯市西四旗高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷及答案解析

學(xué)年鄂爾多斯市西四旗高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，平面向量與復(fù)數(shù)，數(shù)列．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿足，則（）A B.2 C.3 D.4.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角的終邊繞著原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.7 B. C. D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C. D.6.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A B. C. D.8.如圖，在平面四邊形中，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知a，b,m都負(fù)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.點(diǎn)為曲線的對稱中心C.若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關(guān)于不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．13.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的倍時，它的游速是______.14.在中，，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，且．（1）求；（2）求與的夾角．16.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求邊的值．18已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.19.設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．鄂爾多斯市西四旗2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考試卷高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，平面向量與復(fù)數(shù)，數(shù)列．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳解】由題意，得，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，所以.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項可得出數(shù)列為周期數(shù)列即可得解.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以，所以，所以是周期為3的周期數(shù)列，又，所以．故選：A．4.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角的終邊繞著原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.7 B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后角的大小關(guān)系，結(jié)合和角正切公式計算即可.【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為，則，，所以．故選:D．5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義由得，進(jìn)而可得.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，得，即，所以，即，解得．故選：B．6.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析必要性，由條件得恒成立，再對和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時，成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不恒成立，當(dāng)，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.7.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，求出解析式，判斷單調(diào)性，通過比較指數(shù)式與對數(shù)式的大小，由單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.【詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則有，解得，有，則在R上單調(diào)遞增.由，，則，所以，即.故選：C.8.如圖，在平面四邊形中，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解長度，進(jìn)而可得，．是等邊三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：連接，在中，由余弦定理得．所以，所以．而，所以．連接，在中，由余弦定理得．所以，所以．在中，，所以三角形是等邊三角形，所以，所以．設(shè)Px,y，令，即，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值為．故選:B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知a，b,m都是負(fù)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意利用作差法逐項判斷即可.【詳解】因為a，b都是負(fù)數(shù)，且，所以.對于A：，則，故A錯誤；對于B：，則，故B正確；對于C：，則，故C錯誤；對于D：，則，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡得到，然后根據(jù)判斷A選項；利用整體代入得方法得到的對稱軸，即可判斷B選項；根據(jù)圖象的平移變換判斷C選項；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時，，故B正確；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確．因為，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選：ABC．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.點(diǎn)為曲線的對稱中心C.若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，求導(dǎo)可得對x∈0,+∞恒成立，可求以的取值范圍判斷A；對于B，通過平移可得，令，可得?x為奇函數(shù)可判斷B；對于C，將代入得到的解析式，根據(jù)過某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法求解即可判斷C；對于D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，先分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時可得的表達(dá)式，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，若在0,+∞上單調(diào)遞增，則f′x≥0所以對x∈0,+∞所以對x∈0,+∞所以，所以的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由，可得，又，所以，令，又，所以?x關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)1,f1為曲線y=fx的對稱中心，故對于C，因為，，所以，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，化簡得，由條件可知該方程有三個實(shí)根，所以有三個實(shí)根，記，所以，令，解得或，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，因為過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項C正確；對于D，因為，所以，當(dāng)，上單調(diào)遞增；當(dāng)，由，解得或，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因為存在極值點(diǎn)，所以，得，令，所以，因為，于是，又，所以化簡得：，因為，所以，于是，.所以，故選項D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查切線方程及函數(shù)對稱性，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對稱性解決D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，只需判別式小于0，函數(shù)圖像與軸無交點(diǎn)，則不等式大于0恒成立，從而求出參數(shù)取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：13.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的倍時，它的游速是______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，計算出的值，再將代入，即可得解.【詳解】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，則，可得，將代入可得，.故答案為：.14.在中，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及基本不等式求解.【詳解】因為，設(shè)，則，顯然，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，且．（1）求；（2）求與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可得，故，即可得；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求向量的夾角.【小問1詳解】因為向量，，所以，由得，解得，所以．又，所以．【小問2詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因為，，所以．又，所以，即向量與向量的夾角是．16已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，可求出，，根據(jù)三角函數(shù)恒等式可求出，，將變形轉(zhuǎn)化為，根據(jù)兩角差余弦公式可求解；（2）將轉(zhuǎn)化根據(jù)兩角和的正弦公式分解，由，求出，將原式化簡上下同時除以，即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，又，所以，所以．【小問2詳解】由題意知，又，所以，所以，所以．17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求邊的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊．然后結(jié)合余弦定理化簡后再由正弦定理化邊為角，從而求得；（2）利用中線向量公式表示出，平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求得，然后由余弦定理求得結(jié)論．【小問1詳解】因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．【小問2詳解】因為點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，所以，解得或（舍），由余弦定理得，所以．18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分、、及進(jìn)行討論即可得；（2）可將原問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)分及計算其最小值即可得.【小問1詳解】，當(dāng)時，恒成立，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，則當(dāng)，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由題意可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，符合要求；當(dāng)時，令，解得，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，則有，令，即，令，，則，即在上單調(diào)遞減，即，即當(dāng)時，恒成立，不符合要求；綜上所述，.19.設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式