山東省德州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

高二數(shù)學(xué)試題2024.11主考學(xué)校：平原一中本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1-2頁，第Ⅱ卷3-4頁，共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測(cè)試卷上.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知直線l的方程為，則l的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】由直線方程計(jì)算直線斜率，由斜率得到傾斜角.【詳解】由題意得，直線斜率為，即，又，則.故直線的傾斜角為.故選：A.2.已知直線與直線平行，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行公式計(jì)算的值，代入驗(yàn)證排除直線重合的情況即可得到結(jié)果.【詳解】由兩直線平行得：，解得或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不合題意.當(dāng)時(shí)，，即，，兩直線平行，符合題意.故的值為.故選：A.3.已知雙曲線，若點(diǎn)到的漸近線距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件求出的值，即可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)到的漸近線距離為，即，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.4.在四面體中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，用向量，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，由題意得，.故選：D.5.已知圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與圓相切，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓相切以及不過原點(diǎn)先求解出的關(guān)系式，然后結(jié)合基本不等式求解出最大值.【詳解】因?yàn)榕c相切，所以或，所以或，因?yàn)椴唤?jīng)過原點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故選：C.6.已知菱形的邊長為2，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)時(shí)，二面角平面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由菱形的性質(zhì)得出就是二面角的平面角，求出的邊長可得答案.【詳解】設(shè)，菱形滿足，，則和都為等邊三角形，所以，，又，則，所以就是二面角的平面角，由于，所以，所以是等邊三角形，所以，即二面角平面角大小為.故選：B.7.已知橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.若橢圓離心率為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，線段的中點(diǎn)為，由已知條件可得出，利用點(diǎn)差法以及點(diǎn)在直線上，可得出關(guān)于、的值，解出這兩個(gè)量的值，即可得出線段【詳解】設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2由題意，橢圓的離心率為，可得，因?yàn)?、關(guān)于直線對(duì)稱，且直線的斜率為，則，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，即，即，即，①又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，②聯(lián)立①②可得，故線段的中點(diǎn)為.故選：C8.已知四棱錐的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)側(cè)棱與底面所成角相等推出頂點(diǎn)在底面的射影是底面外接圓的圓心，然后利用底面四邊形的條件求出底面外接圓的半徑，再結(jié)合四棱錐的棱的長度求出該幾何體外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式求出表面積即可.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，所以頂點(diǎn)在底面的射影是底面四邊形外接圓的圓心.因?yàn)椋浴鳛榈妊切?因?yàn)?，所以，故△為等邊三角形，則.設(shè)底面四邊形外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，即，解得.設(shè)線段的中點(diǎn),則，那么由勾股定理可知，所以，故是等邊三角形的中心，則.設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意可知球心在射線上，當(dāng)球心在線段上時(shí)，如圖1所示，則，即，解得，此時(shí)，不符合題意舍去.當(dāng)球心在射線上且在平面的下方時(shí)，如圖2所示，，即，解得，此時(shí)符合題意，故球的半徑，所以根據(jù)球體的表面積公式知該四棱錐外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解幾何體外接球問題的關(guān)鍵是通過找到球體球心的位置確定球體的半徑.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知空間中四點(diǎn)，，，，則（）A. B.C.在上的投影數(shù)量為 D.為銳角【答案】BCD【解析】【分析】A：表示出的坐標(biāo)，利用模長公式計(jì)算；B：表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積判斷是否垂直；C：計(jì)算出，根據(jù)可計(jì)算出投影數(shù)量；D：根據(jù)的正負(fù)并結(jié)合是否共線作判斷.【詳解】A：因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；B：因?yàn)椋?，所以，故正確；C：因?yàn)椋?，，所以在上的投影?shù)量為，故正確；D：因?yàn)?，所以，由坐?biāo)可知不共線，所以銳角，故正確；故選：BCD.10.已知直線，圓，為圓上任意一點(diǎn)，則（）A.直線過定點(diǎn)B.若圓關(guān)于直線l對(duì)稱，則C.的最大值為D.的最大值為3【答案】BC【解析】【分析】A：將直線方程化為，根據(jù)可確定出定點(diǎn)坐標(biāo)；B：考慮直線經(jīng)過圓心的情況；C：根據(jù)的幾何意義，考慮與圓相切；D：根據(jù)的幾何意義，先計(jì)算，然后可求結(jié)果.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為2,0，半徑為；A：因?yàn)?，令，可得，所以過定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B：若圓關(guān)于對(duì)稱，則過圓心2,0，所以，解得，故正確；C：表示連線的斜率，設(shè)，即，如下圖，當(dāng)與相切時(shí)，此時(shí)取最值，所以，解得，所以的最大值為，即的最大值為，故正確；D：表示，因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；故選：BC.11.在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)N使得垂直于平面C.若平面，則D.直線與平面所成角的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，即，故A正確；對(duì)于B，由A知，，設(shè)，則，即，所以，又平面，則，無解，所以不存在點(diǎn)N使得垂直于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B知，設(shè)，可得，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x則，令，得，因?yàn)槠矫妫?，則，解得，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由B知，設(shè)，可得，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即直線與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的高為________.【答案】【解析】【分析】求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.【詳解】，則直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，則邊上的高為.故答案為：.13.在三棱錐中，已知，，點(diǎn)P到，的距離均為，那么點(diǎn)P到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】如圖，取BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，過P作AD垂線，垂足為G，可證PG與平面垂直及D和G重合，即可得答案.【詳解】過P作AC，AB垂線，垂足為E，F(xiàn)，由題，則.又，則，又，，則.則，又由勾股定理，可得.取BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD.由以上分析可知.因平面PAD，則平面PAD.過P作AD垂線，垂足為G，則，又平面PAD，則.因平面ABC，則平面ABC，即PG為P到平面的距離.在中，因，，則.又在中，，則；又，則為以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則即D和G重合，則.故答案為：14.已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則________；的面積為________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、B，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，所以，，，則，直線交軸于點(diǎn)，所以，.故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C過點(diǎn)，，且圓關(guān)于x軸對(duì)稱.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心并根據(jù)圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出圓心和半徑可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用弦長公式計(jì)算求得圓心到直線的距離，即可求得直線方程.【小問1詳解】由圓關(guān)于x軸對(duì)稱可知圓心在x軸上，設(shè)圓心，半徑為；即可得，解得，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，顯然不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為；易知圓心到直線的距離又可解得或，即直線l的方程為或.16.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程及；（2）斜率為的直線與拋物線的交點(diǎn)為、（在第一象限內(nèi)），與軸的交點(diǎn)為（、不重合），若，求的周長.【答案】（1）拋物線方程為，（2）【解析】【分析】（1）由拋物線的定義結(jié)合可求得的值，可得出拋物線的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，即可求得的值；（2）設(shè)點(diǎn)，則，可得直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，則，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求出、、的值，進(jìn)而可求得的周長.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，可得，所以，拋物線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，解得.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1由，可得，則，可得，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，可得，，所以，，可得，所以，，，所以，的周長為.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）通過線面垂直的判定定理證明平面即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可【小問1詳解】在中，由余弦定理得，解得，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，故，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知雙曲線C:x2a2?（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，求的最小值；（3）過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可求得答案；（2）設(shè)，表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論即可得答案；（3）討論直線斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，求出的表達(dá)式，化簡即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意知雙曲線C:x2a2?則，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，，則，當(dāng)，即時(shí)，最小值為，當(dāng)，即時(shí)，最小值為；【小問3詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)不妨取,則；當(dāng)當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，不妨令，聯(lián)立，得，由于直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，必有，直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，需滿足或，則，則，綜合以上可知為定值.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，難點(diǎn)在于證明定值問題，解答時(shí)要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，需要十分細(xì)心.19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方），當(dāng)過時(shí)，的周長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將平面沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）垂直.①當(dāng)B為橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)，求折疊后直線與平面所成角的正弦值；②求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意列出方程組，解得的值，直接寫出橢圓方程；（2）①求出平面中坐標(biāo)，再建立空間直角坐標(biāo)系得到坐標(biāo)，利用空間向量求得線面角的正弦值；②在平面內(nèi)求出坐標(biāo)的關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系得到坐標(biāo)，從而列出三棱錐的體積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求得最大值.【小問1詳解】由題