數(shù)學課堂導學：向量數(shù)量積的物理背景與定義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、平面向量的數(shù)量積關于向量的數(shù)量積，注意：(1)我們不說兩個向量的積,而說是它們的數(shù)量積或者內(nèi)積;(2）規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0；(3)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，向量a、b的數(shù)量積的大小與兩個向量的長度及其夾角有關；(4）向量的數(shù)量積的結果是一個數(shù)量,可以等于正數(shù)、負數(shù)、零，而向量的加法和減法的結果還是一個向量；(5)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法，與以前學過的數(shù)的乘法是有區(qū)別的,在書寫時一定要把它們嚴格區(qū)分開來,當中的“·”不能省略;(6)當〈a,b〉為銳角時，a·b〉0;當〈a，b〉為直角時,a·b=0；當〈a,b〉為鈍角時,a·b<0；（7）有些向量的數(shù)量積有一定的含義,如向量F、s的數(shù)量積,就是力F移動位移s所做的功?！纠?】已知|a｜=4，｜b|=5,且a與b的夾角為60°.求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）(a—b）2；(4)a2-b2。思路分析：利用兩向量數(shù)量積公式a·b=｜a｜|b|cosθ、|a|2=a2及運算律計算.解析：（1）a·b=｜a｜|b｜cosθ=4×5×cos60°=10。（2）(a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52(3）(a—b）2=a2-2a·b+b2=|a|2-2｜a｜｜b｜cosθ+｜b|2=42—20+52(4）a2-b2=|a｜2—｜b|2=42—52=—9.類題演練1已知｜a｜=4,|b｜=5。當（1）a∥b；（2)a⊥b;（3）a與b的夾角為30°時,分別求a與b的數(shù)量積.思路分析：確定夾角θ運用數(shù)量積的公式列式求解。解：（1）a∥b.若a與b同向，則θ=0，a·b=|a｜|b|cos0°=4×5=20。若a與b反向，則θ=180°，a·b=|a｜｜b|cos180°=4×5×(—1)=-20.(2)當a⊥b時,θ=90°,a·b=|a||b｜cos90°=0。（3)當a與b的夾角為30°時,a·b=｜a｜|b|cos30°=。變式提升1在等腰直角三角形ABC中,斜邊AC=,求·。思路分析:要求、，關鍵是確定與的夾角。解：如圖（1），在等腰直角三角形ABC中,斜邊AC=，所以直角邊AB==2.∴||=2,｜|=。如圖(2)，與的夾角∠BAC=45°,∴·=·（—)=-(·)=—|｜||cos∠BAC=—2×cos45°=-2××=—4。二、兩向量的夾角關于兩向量的夾角，注意：（1)已知兩個非零向量a、b（如圖所示）,作=a,=b，則∠AOB稱為向量a與向量b的夾角，記作〈a,b〉。(2)兩向量夾角的范圍是［0,π],且<a，b〉=〈b，a〉。(3)當〈a，b〉=時,稱向量a與向量b互相垂直,記作a⊥b。規(guī)定零向量與任一向量垂直。(4）當〈a，b>=0時,a與b同向；當〈a，b〉=π時，a與b反向。【例2】已知單位向量e1、e2的夾角為60°，求向量a=2e1+e2與b=2e2—3e1的夾角θ。思路分析:注意單位向量的模是1這個隱含條件.解：∵e1·e2=|e1|｜e2｜cos60°=cos60°=,∴a·b=(2e1+e2）·（2e2-3e1)=—6e12+e1·e2+2e22=.又a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,b2=（2e2-3e1）2=4e22-12e1·e2+9e12=7.∴｜a｜=|b｜=,則cosθ==-,又∵0≤θ≤π，∴θ=π。類題演練2已知|a｜=5,|b|=4，且a·b=—10，求a與b的夾角θ.思路分析：用夾角公式,即數(shù)量積公式變形.解：cosθ==—,又θ∈[0，π］，∴θ=.變式提升2在△ABC中,=a，=b，且a·b>0,則△ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定解析:由兩向量夾角的概念,a與b的夾角應為180°—∠B。因為a·b=|a|｜b｜cos(180°-B)=-｜a｜｜b｜cosB>0,所以cosB<0.又因為B∈（0°,180°）,所以角B為鈍角.所以△ABC為鈍角三角形.答案:C溫馨提示此題主要考查兩向量夾角的概念,應避免a·b=｜a|｜b｜cosB〉0得cosB>0，進而得角B為銳角,從而無法確定，錯選D.三、向量在軸上的投影這部分內(nèi)容要注意：(1）已知向量a和軸l（如圖所示)，作=a,過點O、A分別作軸l的垂線,垂足分別為O1、A1，則向量叫做向量a在軸l上的正射影(簡稱射影)。（2）a在軸l上的正射影,稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量，記作a，a=|a｜cosα。（3)射影的坐標是數(shù)量，當α為銳角時，a為正值；當α為鈍角時,a為負值；當α=0時,a=｜a|；當α=π時,a=—｜a｜。【例3】已知軸l,如圖：(1）向量|｜=5，〈，l〉=60°，求在l上的正射影OAl；（2）向量||=5，〈,l>=120°，求在l上的正射影OBl.思路分析：向量a在軸l上的正射影為al=|a|cosθ.解:(1）OAl=5cos60°=5×=，(2)OBl=5cos120°=5×(-)=。類題演練3設a，b是兩非零向量，λ是a在b方向上的投影，μ是b在a方向上的投影，若a與b的夾角為鈍角,則（）A.λ=μ＞0B。λ=μ＜0C.λ、μ∈（—∞,0)D。λ、μ∈（0，+∞）解析：λ=｜a｜cosθ,μ=|b|cosθ，θ為鈍角，∴λ＜0,μ＜0。而｜a|與|b｜不一定相等，故選C.答案：C變式提升3已知|a|=3,｜b|=5,且a·b=12，則向量a在向量b上的投影為(）A。B.3C。4