高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：平面及其方程_第1頁(yè)
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向量代數(shù)與

空間解析幾何平面及其方程一、平面的方程二、兩平面的夾角三、小結(jié)一、平面的方程1.平面的點(diǎn)法式方程①設(shè)一平面

通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故例1已知一平面以

為法向量，且該平面過(guò)

點(diǎn)

，寫出該平面的方程.解由平面的點(diǎn)法式方程，我們可得該平面的方程為化簡(jiǎn)得2、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.例2求過(guò)點(diǎn)

的平面方程解設(shè)平面的方程為得解得代回方程化簡(jiǎn)得到平面方程為由題意，將三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入所設(shè)方程中例3設(shè)空間坐標(biāo)系內(nèi)一平面與三坐標(biāo)軸都相交，其交點(diǎn)

坐標(biāo)分別為

求滿足條件的平面方程.解設(shè)平面方程為解得代入方程并整理得稱為平面的截距式方程，將三點(diǎn)代入方程，得其中

稱為平面在軸，軸和軸上的截距.特殊情形?當(dāng)

D=0時(shí),

Ax+By+Cz=0表示通過(guò)原點(diǎn)的平面；?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量；平面平行于x

軸；?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于y

軸的平面；平行于z

軸的平面；平行于xoy

面的平面；平行于

yoz

面的平面；平行于xoz

面的平面.例4

求過(guò)

軸及點(diǎn)的平面方程.解故假設(shè)所求平面方程為又該平面過(guò)點(diǎn)代入方程得化簡(jiǎn)得平面方程為由題意知平面過(guò)軸，二、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：例5求平面

與各坐標(biāo)平面的夾角的余弦.解面的法向量可以取作平面

與坐標(biāo)面

的夾角

的余弦為同理可得該平面與另外兩個(gè)坐標(biāo)面夾角的余弦都是例6一平面過(guò)點(diǎn)

，且平行于向量

和

，求該平面的方程.解由題意可知，所求平面的法向量與都垂直所以該平面又過(guò)點(diǎn)由點(diǎn)法式得平面方程為即例7

求平面

外一點(diǎn)

到平面的距離.解

過(guò)點(diǎn)

做平面的法向量在平面內(nèi)取一點(diǎn)所求距離得到點(diǎn)到平面的距離公式代入例8

求點(diǎn)到平面的距離.解由

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