空間向量練習(xí)及答案解析

第第頁空間向量練習(xí)一、選擇題(共15小題，每小題4.0分,共60分)1.已知平面α的一個(gè)法向量是(2，－1,1)，α∥β，則下列向量可作為平面β的一個(gè)法向量的是()A．(4,2，－2)B．(2,0,4)C．(2，－1，－5)D．(4，－2,2)2.如圖，過邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段EA⊥平面AC，若EA＝1，則平面ADE與平面BCE所成的二面角的大小是()A．120°B．45°C．150°D．60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)·取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A．B．C．D．4.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°.其中錯(cuò)誤的結(jié)論是()A．①B．②C．③D．④5.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1的夾角是()A．45°B．60°C．90°D．120°6.已知在空間四面體O－ABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且OM＝2MA，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，則等于()A．a(chǎn)＋b－cB．－a＋b＋cC．a(chǎn)－b＋cD．a(chǎn)＋b－c7.已知在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB1與D1E所成角的余弦值為()A．B．C．－D．－8.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點(diǎn)，若∠B1MN＝90°，則∠PMN的大小()A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不確定9.如圖，S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB和SC的中點(diǎn)，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，則異面直線SM與BN所成角的余弦值為()A．－B．C．－D．10.已知平面α內(nèi)兩向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c為平面α的法向量，則m，n的值分別為()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－211.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，則A1B與平面ABD所成角的正弦值為()A．23B．73C．3212.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為()A．2B．3C．2D．213.三棱錐A－BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，則二面角A－BD－CA．π3B．2π3C．π3或2π14.已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則BP等于()A．407,157,-3B．337,15.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長均相等．給出下列結(jié)論：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.這四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4二、填空題(共6小題，每小題4.0分,共24分)16.如圖所示，已知正四面體A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，則直線DE和BF所成角的余弦值為________．17.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是________．18.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為________．19.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為________．20.如下圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈DP，AE〉＝33，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．21.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正確的是____________．三、解答題(共6小題，每小題11.0分,共66分)22.如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中點(diǎn)．(1)證明：面PAD⊥面PCD；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值．23.如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．24.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)是棱BC，CD的中點(diǎn)，求：(1)直線DF與B1F所成角的余弦值；(2)二面角C1－EF－A的余弦值．25.如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA與CD所成的角；(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．26.如下圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)．(1)求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空間向量練習(xí)答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量與α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故選D.2.【答案】B【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，則即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量為＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE與平面BCE所成的二面角為45°.3.【答案】C【解析】設(shè)Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，設(shè)＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，則Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故當(dāng)λ＝時(shí)，·取最小值，此時(shí)Q.4.【答案】C【解析】如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)正方形ABCD邊長為，則D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正確．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD為等邊三角形．②正確．對(duì)于③，為面BCD的一個(gè)法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB與OA所在直線所成的角為45°，所以AB與平面BCD所成角為45°.故③錯(cuò)誤．又cos〈，〉＝＝＝－.因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以AB與CD所成角為60°.故④正確．5.【答案】B【解析】不妨設(shè)AB＝BC＝AA1＝1，則＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即異面直線EF與BC1的夾角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又異面直線所成角的范圍是，∴AB1與ED1所成角的余弦值為.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨設(shè)SA＝SB＝SC＝1，以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因?yàn)椋剑?，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為.10.【答案】A【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c為平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵側(cè)棱與底面垂直，∠ACB＝90°，所以分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA＝CB＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴Ea2,a2,1，Ga3,a3∵點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2，∴GE＝13,1∵GE⊥平面ABD，∴GE為平面ABD的一個(gè)法向量，又cos〈GE，BA1〉＝GE·BA1GEBA1＝4363×212.【答案】A【解析】如下圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，則m·CB1=0,m·得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n＝(0,1,0)，則由cos60°＝m·nmn，得1a2+1＝12，即a＝13.【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)二面角A－BD－C為銳角時(shí)，它就等于〈n1，n2〉＝π3；當(dāng)二面角A－BD－C為鈍角時(shí)，它應(yīng)等于π－〈n1，n2〉＝π－π3＝14.【答案】D【解析】因?yàn)锳B⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，因?yàn)锽P⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝407，y＝－157，于是BP＝15.【答案】C【解析】因?yàn)锳1M＝A1A＋AM＝A1A＋12AB，D1所以A1M∥D1P，從而A1M∥又B1Q與D1P不平行，故②不正確．故選C.16.【答案】【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】B【解析】若兩向量的夾角為鈍角，則a·b＜0，且a與b不共線，故3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故選B.18.【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos〈，〉＝＝.19.【答案】21【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A32,12,0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則C1A＝32,12,-1，C則有C1A·n=32則所求距離為C1B1·n20.【答案】(1,1,1)【解析】設(shè)PD＝a(a＞0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1,1,a2.∴DP＝(0,0，a)，AE∵cos〈DP，AE〉＝33，∴a22＝a2+a24·21.【答案】①②③【解析】由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正確．22.【答案】因?yàn)镻A⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M0,1,(1)∵AP＝(0,0,1)，DC＝(0,1,0)，故AP·DC＝0，∴AP⊥DC，∴AP⊥又由題設(shè)知：AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD，又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD；(2)∵AC＝(1,1,0)，PB＝(0,2，－1)，∴|AC|＝2，|PB|＝5，AC·PB＝2，∴cos〈AC，PB〉＝105由此得AC與PB所成角的余弦值為105(3)在MC上取一點(diǎn)N(x，y，z)，則存在λ∈R，使NC＝λMC，NC＝(1－x,1－y，－z)，MC＝1,0,-∴x＝1－λ，y＝1，z＝12λ要使AN⊥MC，只需AN·MC＝0，即x－12z＝0，解得λ＝4可知當(dāng)λ＝45時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為15,1,此時(shí)，AN＝15,1,25，由AN·MC＝0，BN·MC＝0，得AN⊥MC，BN⊥∴∠ANB為所求二面角的平面角，∵|AN|＝305，|BN|＝305，AN·BN＝－45，∴cos〈AN故所求的二面角的余弦值為－23.23.【答案】以A為原點(diǎn)，AB，AP分別為y軸、z軸的正方向，過A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C34a,34a,0(1)AP＝(0,0，a)，BC＝34a,-a4,0，∴BC·AP＝0，∴BC又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴E為PC的中點(diǎn)，∴D0,a2,a∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵AD＝0,a2,a2，AE＝38a,∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為24(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)∠AEP＝90°，故存在點(diǎn)E，使得二面角A－DE－P是直二面角．24.【答案】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則D(0,2,0)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，(1)因?yàn)镈E＝(2，－1,0)，B1所以cos〈DE，B1F〉＝DE·B1所以直線DE與B1F所成角的余弦值為45(2)因?yàn)镃1E＝(0，－1，－2)，設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，則由n·C1解得x＝y(tǒng)＝－2，所以n＝(－2，－2,1)，又AA1＝(0,0,2)是平面AEF所以cos〈AA1，n〉＝n·AA1n觀察圖形，可知二面角C1－EF－A為鈍角，所以二面角C1－EF－A的余弦值為－1325.【答案】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0