數(shù)學(xué)學(xué)案：學(xué)習(xí)導(dǎo)航一次函數(shù)和二次函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2一次函數(shù)和二次函數(shù)自主整理1。一次函數(shù)(1）定義:函數(shù)y=kx+b（k≠0)叫做一次函數(shù)，又叫線性函數(shù)；它的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.(2)性質(zhì)：①函數(shù)的改變量y2—y1與自變量的改變量x2-x1的比值等于常數(shù)k；k的大小表示直線與x軸的傾斜程度;②當(dāng)k>0時(shí)，一次函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)k<0時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)；③當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)為正比例函數(shù)，是奇函數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí),一次函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);④直線y=kx+b（k≠0）與x軸的交點(diǎn)為（，0）,與y軸的交點(diǎn)為(0，b)。2.二次函數(shù)(1)定義:函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0）叫做二次函數(shù)，它的定義域?yàn)镽。(2)性質(zhì):①函數(shù)的圖象是一條拋物線,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，它的對稱軸為x=.②當(dāng)a〉0時(shí),拋物線開口向上，函數(shù)在x=處取得最小值,在區(qū)間（—∞,]上是減函數(shù)，在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù)。③當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在x=處取得最大值，在區(qū)間[，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間(-∞，］上是增函數(shù).④當(dāng)二次函數(shù)圖象的對稱軸與y軸重合即b=0時(shí)二次函數(shù)為偶函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).⑤在y=ax2(a≠0)中,若a〉0，a越大，拋物線的開口越小，a越小，拋物線的開口越大;反之,若a<0,a越大，拋物線的開口越大，a越小，拋物線的開口越小.總之，y=ax2（a≠0)中，若｜a｜越大，拋物線的開口越小，|a|越小,拋物線的開口越大.（3）三種形式:①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0),其中a是開口方向與大小，c是y軸上的截距,而是對稱軸.②頂點(diǎn)式（配方式)：f(x)=a（x—h）2+k(a≠0）,其中(h，k）是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).h=,k=.③兩根式(因式分解）：f（x)=a（x-x1）(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3。待定系數(shù)法如果知道一個(gè)函數(shù)的一般形式,可先把所求函數(shù)寫為一般形式,其中系數(shù)待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)，這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間關(guān)系式的方法稱為待定系數(shù)法。高手筆記1。常數(shù)函數(shù)是較為特殊的函數(shù)，原因在于在函數(shù)解析式y(tǒng)=b中沒有出現(xiàn)自變量x。其實(shí)常數(shù)函數(shù)就是一個(gè)多對一的映射.注意:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)y=ax2=0是一個(gè)常數(shù)函數(shù),其圖象即為x軸.2。式子x=a（a是一固定常數(shù)）雖然含有x，但不能稱其為函數(shù)，原因在于一個(gè)x對應(yīng)無窮多個(gè)y，不符合函數(shù)的定義,應(yīng)將其與y=b區(qū)別開來。3.二次函數(shù)是重要的基礎(chǔ)函數(shù),必須作為重點(diǎn)內(nèi)容來掌握。應(yīng)從解析式、定義域、值域、圖象、單調(diào)性、奇偶性幾個(gè)方面的內(nèi)容進(jìn)行把握.4。解決二次函數(shù)的問題一定要牢牢樹立數(shù)形結(jié)合的思想，通過對函數(shù)圖象的分析尋找解決問題的思路和分類討論的依據(jù)。名師解惑1。如何認(rèn)識與理解常數(shù)函數(shù)？剖析：要全面認(rèn)識一個(gè)函數(shù),主要從解析式、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等五個(gè)方面來認(rèn)識,對于常數(shù)函數(shù)：解析式：當(dāng)k=0時(shí),y=kx+b就變成了y=b，這就是常數(shù)函數(shù)的解析式,其中b是某一固定常數(shù)。這個(gè)解析式的特點(diǎn)在于沒有出現(xiàn)自變量x,這也是許多同學(xué)對常數(shù)函數(shù)感到難于理解的原因.定義域：自變量x可以取任意實(shí)數(shù).解析式中沒有出現(xiàn)x，說明解析式對x沒有要求,可以取任意實(shí)數(shù)。值域：常數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋鸼}。常數(shù)函數(shù)只有一個(gè)函數(shù)值b,就是說不論自變量怎么取值，都對應(yīng)同一個(gè)函數(shù)值b.圖象:因?yàn)椴徽撟宰兞縳取什么值都對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值b，所以函數(shù)圖象是平行于x軸的水平直線(特殊情況是x軸）。單調(diào)性:因?yàn)楹瘮?shù)值是固定的常數(shù)b，沒有增減變化,函數(shù)圖象也是一條水平的直線，沒有起伏變化，所以常數(shù)函數(shù)在定義域上沒有單調(diào)性.奇偶性:定義域?yàn)镽，并且f(—x)=f(x）=b,所以一定是偶函數(shù).如果b=0則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2.如何由函數(shù)y=x2的圖象變化得到函數(shù)y=a·x2(a≠0）的圖象？又如何由函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象變化得到y(tǒng)=a（x+h)2+k（a≠0)的圖象？再如何由函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象得到函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象？剖析：（1）二次函數(shù)y=a·x2（a≠0)的圖象可由y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到，而橫坐標(biāo)保持不變。（2）二次函數(shù)y=a(x+h）2+k（a≠0)可由y=ax2(a≠0）的圖象向左（或向右)平移｜h｜個(gè)單位，再向上（或下)平移|k|個(gè)單位得到.（3）要得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0）的圖象，先將其化為y=a（x+h）2+k(a≠0)的形式,再通過y=ax2（a≠0）的圖象上下左右平移得到.3.二次函數(shù)的性質(zhì)常見有哪些綜合應(yīng)用？剖析:（1）關(guān)于對稱軸問題:若二次函數(shù)f(x)滿足f(t+x)=f（t-x),則f（x)關(guān)于直線x=t對稱,這一性質(zhì)對于一般函數(shù)也適用.(2）關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題:當(dāng)a>0時(shí),f(x）在區(qū)間[p，q］上的最大值為M,最小值為m，令x0=（p+q)。若<p，則f（p)=m，f(q）=M；若p≤〈x0,則f（)=m,f（q）=M;若x0≤〈q,則f(p）=M，f()=m；若≥q，則f(p）=M，f（q）=m。(3)關(guān)于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布問題：①方程f（x）=0的兩根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0.②二次方程f(x）=0的兩根都大于r③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根講練互動【例題1】方程ax—by+c=0(ab≠0)所對應(yīng)的一次函數(shù)，當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)函數(shù)為減函數(shù)？分析：首先將直線的方程化為一次函數(shù)y=kx+b的形式，然后根據(jù)k>0時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，k〈0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，進(jìn)而求得a、b所滿足的條件，即ab<0。解：把a(bǔ)x-by+c=0整理,得y=x+,要使得一次函數(shù)為減函數(shù)，則<0，即只要a、b異號就可以了。綠色通道處理一次函數(shù)問題常把解析式整理成標(biāo)準(zhǔn)形式,然后再求解.變式訓(xùn)練1.直線mx+（m-2)y=3(m≠2,m≠0）所對應(yīng)的一次函數(shù),當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)m滿足的條件是(）A。0<mB。m<2C.0<m〈2解析：把mx+（m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函數(shù)為增函數(shù)，則>0，即只要-m、m-2同號就可以了,所以易得0<m〈2.答案：C【例題2】已知二次函數(shù)f（x)=ax2+(2a—1）x+1在區(qū)間［,2］上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值.分析：這是一個(gè)逆向最值問題，若從求最值入手，需分a>0與a〈0兩大類五種情形討論，過程煩瑣不堪.若注意到f（x)的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假,過程簡明。解：(1）令f（）=3,得a=.此時(shí)拋物線開口向下，對稱軸為x=-2，且-2[,2］，故a=不合題意。(2)令f（2）=3,得a=，此時(shí)拋物線開口向上，對稱軸為x=0,閉區(qū)間的右端點(diǎn)2距離對稱軸遠(yuǎn)些,故a=符合題意.(3）若f()=3,得a=，此時(shí)拋物線開口向下,對稱軸為x=，閉區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間，所以a=-符合題意。綜上，a=或a=.綠色通道本題利用特殊值檢驗(yàn)法，先計(jì)算特殊點(diǎn)(閉區(qū)間的端點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)）的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，思路明了、過程簡潔，是解決逆向型閉區(qū)間二次函數(shù)最值問題的一種有效方法。變式訓(xùn)練2.二次函數(shù)y=x2+2ax-3,x∈［1,2］,試求函數(shù)的最小值.分析：首先觀察到函數(shù)圖象過（0，—3），再考慮對稱軸的位置,由于對稱軸在不同的位置會出現(xiàn)不同的結(jié)果，所以需要分三種情況討論。解：y=x2+2ax-3=(x+a）2—a2—3，當(dāng)—a∈（2，+∞），即a<—2時(shí)，此時(shí)函數(shù)在[1，2］上為減函數(shù)，故此時(shí)的最小值為f(2）=4a+1；當(dāng)—a∈（—∞，1)，即a〉-1時(shí),函數(shù)的最小值為f(1)=2a-2；當(dāng)-a∈[1,2]，即—2≤a≤—1時(shí),函數(shù)的最小值為f(-a）=—a2-3.【例題3】已知二次函數(shù)的圖象過(0,1）、（2,4）、(3，10）三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.分析:已知是二次函數(shù),且知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),所以可以先設(shè)出二次函數(shù)的解析式,用待定系數(shù)法求得.解：根據(jù)題意設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0),然后將圖象所經(jīng)過的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別帶入方程，聯(lián)立三個(gè)方程,得解得故f（x）=x2x+1。綠色通道使用待定系數(shù)法解題的基本步驟是第一步,設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式;第二步，根據(jù)恒等的條件,列出含待定系數(shù)的方程或方程組；第三步，解方程或方程組解出待定系數(shù),使問題得到解決。變式訓(xùn)練3.若f（x)為一次函數(shù),且滿足f［f(x)]=1+2x，則f（x）的解析式為______.解析：已知f（x）為一次函數(shù)，可以使用待定系數(shù)法。設(shè)f（x）=kx+b,則f［f（x）］=f（kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，利用對應(yīng)系數(shù)相等即可求得k=,b=-1或k=2,b=-1。答案：f(x)=x-1或f（x）=x+—14.（2007黃岡第一次高三診斷試卷,17）已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0)=1，及f(x+1）—f（x)=2x.（1)求f（x)的解析式;(2）求f（x）在[-1,1]上的最值。分析：本題求函數(shù)解析式的基本方法仍然是待定系數(shù)法,但確定待定系數(shù)的方法是根據(jù)代數(shù)式恒等對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等來確定的。求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時(shí)，要注意對稱軸的位置。解：(1）由f(0)=1，可設(shè)f(x)=ax2+bx+1。則由f（x+1）-f（x）=2x,可得2ax+a+b=2x。∴a=1,a+b=0，即b=-1?！鄁（x）=x2-x+1。（2)∵f（x）=x2—x+1=(x）2+,又x∈［—1，1］，∴當(dāng)x=時(shí)有最小值，x=—1時(shí)有最大值3?！纠}4】二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c,a∈N＊,c≥1,a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)小于1的不等正根,則a的最小值為(）A.2B。3C。4解析：由題意有由于方程有兩個(gè)小于1的不等正根，畫圖可知0〈〈1，即b2<4a2.∴4ac〈b2<4a2,即a（a-c)〉0。又a∈N*，且c≥1，∴a的最小值為2。答案：A綠色通道一般地，一元二次方程根的分布情況問題往往從三個(gè)角度加以考慮:Δ的符號,對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)。變式訓(xùn)練5.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1，0）內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的范圍。分析：二次方程根的問題實(shí)質(zhì)上是討論二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置關(guān)系的問題,因此,理解交點(diǎn)及二次函數(shù)系數(shù)(a——開口方向，a、b—-對稱軸,c——圖象與y軸的交點(diǎn))的幾何意義，掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn),是解決此類問題的關(guān)鍵。解：條件說明拋物線f（x）=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（—1,0)和(1,2)內(nèi),畫出示意圖，得∴<m<.教材鏈接1.[探索與研究]設(shè)一次函數(shù)y=5x—3，取一系列的x值,使得每一個(gè)x值總是比前一個(gè)大2,然后計(jì)算對應(yīng)的y值，這一系列的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？對任意一個(gè)一次函數(shù)都有類似的性質(zhì)嗎？答:對于一次函數(shù)y=5x—3,取一系列的x的值總是比前一個(gè)大2時(shí)，則有與之對應(yīng)的每一個(gè)y的值總是比前一個(gè)大10；對任意一個(gè)一次函數(shù)y=kx+b(k〉0）,若取一系列的x的值總是比前一個(gè)大m時(shí)(m為正整數(shù))，則有與之對應(yīng)的每一個(gè)y的值總是比前一個(gè)大mk。2.［探索與研究］結(jié)合課件1207,對一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探索。答：注意強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)定義中的一次項(xiàng)系數(shù)k≠0這一條件，當(dāng)k=0時(shí),函數(shù)為y=b，它不再是一次函數(shù),它的圖象是一條與x軸平行的直線,通常稱為常值函數(shù)。函數(shù)值的改變量y2—y1與自變量的改變量x2-x1的比值,稱作函數(shù)x1到x2之間的平均變化率,對一次函數(shù)來說它是一個(gè)常數(shù)，等于這條直線的斜率.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0)的單調(diào)性與一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān),當(dāng)k〉0時(shí),函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)k〈0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).理由如下：設(shè)x1、x2是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且x1〈x2，則Δx=x2—x1>0，所以Δy=f(x2)-f(x1）=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2—x1)=kΔx.當(dāng)k>0時(shí)，kΔx〉0，所以Δy〉0，所以f(x)在R上是增函數(shù);當(dāng)k〈0時(shí),同理可證f（x）在R上是減函數(shù).要準(zhǔn)確地作出一次函數(shù)的圖象，只要找準(zhǔn)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)即可，這兩個(gè)點(diǎn)通常是找圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).3.［探索與研究］在同一坐標(biāo)系中,作函數(shù)y=x2,y=（x+1）2，y=(x-1）2,y=x2+1,y=x2—1的圖象,研究它們的圖象之間的關(guān)系。答：列表:x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=(x+1)2…41014916…y=(x—1）2…16941014…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830—1038…在同一坐標(biāo)系中畫出這五個(gè)圖，如圖2—2-1所示：圖2-2-1通過圖象,可知后四個(gè)圖象都可以由y=x2通過左右上下平移得到,y=（x+1)2由y=x2向左平移一個(gè)單位得到；y=（x-1）2由y=x2向右平移一個(gè)單位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一個(gè)單位得到，y=x2—1由y=x2向下平移一個(gè)單位得到。4.［探索與研究］二次函數(shù)y=ax2+bx