專項03“將軍飲馬”模型（2個模型）

專項03兩個重要的“將軍飲馬”模型模型一兩點一線問題：如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最?。?圖1 圖2方法：如圖2，作點A關于l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點P，此時的點P即為所求．1.如圖，正方形網(wǎng)格中，A，B兩點均在直線a上方，要在直線a上找一點P，使PA+PB的值最小，則點P應選在（）A．C點 B．D點 C．E點 D．F點2.已知點A（1，1），B（3，5），x軸上的點C，使得AC+BC的值最小，則點C的橫坐標為（）A.43 B.53 C.2 3.如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD的值最小時，∠PCD=°．4.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是．5.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∠ADC的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則△PEF的周長的最小值為．6.已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD，AB=4.（1）在AB邊上求作點P，使PC+PD的值最??；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．7.如圖，拋物線y=ax2+2x—3a經過A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三點．（1）求b，c的值；（2）在拋物線對稱軸上找一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標．模型二兩線一點問題：如圖1，點P是∠MON內的一點，分別在OM，ON上找點A，B，使△PAB的周長最小． 圖1 圖2方法：如圖2，分別作點P關于OM，ON的對稱點P1，P2，連接P1P2，與OM，ON分別交于點A，B，點A，B即為所求．8.如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB=40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為（）A.140° B.100° C.50° D.40°9.如圖所示，∠ABC=30°，∠ABC內有一點P，點P到點B的距離為10cm，在BA、BC邊上各取一點P1、P2，使△PP1P2的周長最小，并求出這個最小值．（保留作圖痕跡，并說明結果）

專項03兩個重要的“將軍飲馬”模型答案全解全析1.C如圖，作點A關于直線a的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線a的交點，即為點P，此時PA+PB的值最小，∵A'B與直線a交于點E，∴點P應選在E點的位置．故選C．2.A如圖所示，作點A關于x軸的對稱點A'，連接A'B，與x軸的交點即為點C，連接AC，則AC+BC的最小值等于A'B的長，∵A（1，1），∴A'（1，—1），設直線A'B的解析式為y=kx+b（k≠0），把A'（1，—1），B（3，5）代入，得?1=k+b,5=3k+b,解得k=3,b=?4,∴y=3x—43.45解析由題可知，A、D兩點關于直線MN對稱，如圖，連接AC，當點P為AC與MN的交點時，PC+PD的值最小，根據(jù)正方形的性質得出∠PCD=45°．4.4.8解析如圖所示：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N，易知此時CM+MN的值最小，為CE的長，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴S△ABC=12AB·CE=12∴CE=6×810∴CM+MN的最小值為4.8.5.5+37解析如圖，在DC上截取DT，使得DT=DE，連接FT，過點T作TH⊥AB于點H，連接PT．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADT=90°，AD=BC=6，∵∠AHT=90°，∴四邊形AHTD是矩形，∴HT=AD=6，∵E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點，∴AE=DE=12AD=3，AF=FB=12∴AH=DT=DE=3，∴HF=AF—AH=4—3=1，∴FT=FH2+TH∵DG平分∠ADC，DE=DT，∴E、T關于DG對稱，∴PE=PT，∴PE+PF=PF+PT≥FT=37，∵EF=AE2+AF2=6.解析（1）如圖，作點D關于直線AB的對稱點D'，連接CD'，交AB于P，此時PC+PD=PC+PD'=CD'，根據(jù)兩點之間，線段最短可知，此時PC+PD的值最小．（2）如圖，作D'E⊥BC，交CB的延長線于E，∵CD=2AD，AD=AD'，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴∠E=∠D'AB=∠ABE=90°，∴四邊形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'，∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值為8.7.解析（1）把A（1，0）代入y=ax2+2x—3a，得a+2—3a=0，解得a=1，∴拋物線的解析式為y=x2+2x—3.把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x—3，得b=1或b=—3，c=—3，∵A（1，0），∴b=—3.（2）∵拋物線的解析式為y=x2+2x—3，∴其對稱軸為直線x=—22=—1連接BC，交拋物線對稱軸于P，此時PA+PC的值最小，如圖所示：設直線BC的解析式為y=kx+m（k≠0），∵B（—3，0），C（0，—3），∴m=?3,?3∴直線BC的解析式為y=—x—3，當x=—1時，y=1—3=—2，∴P（—1，—2）．8.B如圖，分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，連接OP1、OP2、OP，此時△PMN的周長最小，易得OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴在等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故選B．9.解析如圖，作點P關于BC的對稱點M，作點P關于BA的對稱點N，連接MN，分別交BA、BC于點P1、P2，則△PP1P2即為所求作的三角形．連接BM，BN，BP，由對稱可知，∠PBP1=∠NBP1，∠PBP2=∠MBP2，BM=BN=BP=10cm，PP1=NP1，PP2=MP2，∵∠ABC=30°，∴∠MBN=∠NB