上海市延安中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

延安中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2024.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．設(shè)集合，，則________．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則＝________．3．已知向量，滿足：，，與的夾角為，則＝________．4．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍是________．5．袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是________．6．展開式中的系數(shù)為________．（答案用數(shù)字作答）7．已知，若，則＝________．8．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，．則邊的長(zhǎng)度為________．9．某同學(xué)6次測(cè)評(píng)成績(jī)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，且總體的中位數(shù)為88，若從中任取兩次成績(jī)，則這兩次成績(jī)均不低于93分的概率為________．10．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．11．已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．12．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）．A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則14．已知，，．則的最大值是（）．A． B． C．5 D．215．設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)椋舸嬖诜橇銓?shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和再上具有性質(zhì)．現(xiàn)有四組函數(shù)：①，；②，；③，；④，．其中具有性質(zhì)的組數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．416．一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是（）．A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2個(gè)小題滿分8分．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)20303020（1）現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這100位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性30女性7總計(jì)1000.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．（2）從這100名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．19．（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知數(shù)列和滿足，（為常數(shù)且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得取到最大值時(shí)的值．20．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（2,0）．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．21．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】原不等式可化為:,令

顯然時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,所以,且時(shí),,，

同一坐標(biāo)系中,作出與(過定點(diǎn)的圖象,

據(jù)圖可知，滿足題意的整數(shù)解為-3,此時(shí)應(yīng)滿足,解得.故答案為:.12．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】因?yàn)閯t,又因?yàn)?所以,即,

設(shè),則直線與橢圓有交點(diǎn)，聯(lián)立,得,則,

解得,所以的最大值為.故答案為:.二、選擇題13.D14.B15.B16.C15．設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)?，若存在非零?shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和再上具有性質(zhì)．現(xiàn)有四組函數(shù)：①，；②，；③，；④，．其中具有性質(zhì)的組數(shù)為（）．A．1B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①令解得：(舍去)或,存在非零實(shí)數(shù),使得;

②,令

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,,故無其他零點(diǎn),不存在非零實(shí)數(shù),使得;

③,令存在,使得;

④,,單調(diào)遞增,又,故無其他零點(diǎn)，不存在非零實(shí)數(shù),使得.故答案為:B.16．一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是（）．A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④【答案】C【解析】對(duì)于①,若為:,,滿足題意,但是數(shù)列不是周期數(shù)列,故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,由可知,,...,即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)都相等,奇數(shù)項(xiàng)都相等,所以當(dāng)時(shí),能使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí),都有,故數(shù)列為周期數(shù)列，故②正確;

對(duì)于③,若為周期數(shù)列，則一個(gè)周期能必存在最大值,它是有界的,

故存在正整數(shù),使得恒成立,故③正確;

對(duì)于④,首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列:,,可任取一個(gè)符合題意的數(shù),不妨取，滿足題意，

但很明顯數(shù)列：不是周期數(shù)列，故④錯(cuò)誤.故答案為：C.三．解答題17.（1）證明略（2）18.（1）有關(guān)（2）19.（1）證明略（2）20．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（2,0）．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】(1)由已知得,,解得,則橢圓的方程為；（2）（i）證明:依題意可設(shè)點(diǎn),且,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,作差得,直線的斜率為,直線的斜率為,,即為定值;

（ii）設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為的重心的坐標(biāo)為,,

由,得,,且,的重心在軸上,

則

在上的投影向量相等,,且,

則直線的方程為,

得點(diǎn),

又點(diǎn)在上,,即

又,則直線的方程為21．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且