數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航第三講二平面與圓柱面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．通過圓柱形水杯中水面的傾斜，感受平面截圓柱的形式，并能證明定理1。2．通過Dandelin雙球探求橢圓的性質(zhì)，體會這種證明問題的方法.1．定理1文字語言圓柱形物體的斜截口是橢圓符號語言平面α與圓柱OO′的軸斜交，則截口是橢圓圖形語言作用判斷截口形狀是橢圓2．橢圓（1)定義:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．(2)組成元素：如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，B1B2是F1F2的中垂線．我們把A1A2叫做橢圓的長軸，B1B2叫做橢圓的短軸,F1F2叫做橢圓的焦距．如果長軸為2a,短軸為2b，那么焦距2c＝2eq\r(a2－b2).(3)Dandelin雙球探究橢圓性質(zhì)：如圖所示，設(shè)球O1，O2與圓柱的交線(圓)所在的平面分別為α,γ，橢圓所在的斜截面β與它們的交線分別為l1，l2，α,γ與β所成的二面角為θ，母線與平面β的交角為φ.由于α，β，γ都是確定的，因此交線l1,l2也是確定的．①當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的任意位置時(shí)，過P作l1的垂線，垂足為Q，過P作平面α的垂線,垂足為K1，連接K1Q，得Rt△PK1Q，則∠QPK1＝φ.從而有eq\f（PF1,PQ）＝eq\f（PK1,PQ)＝cos_φ＝定值．②橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的距離與到直線l1的距離之比為定值cos_φ.我們把直線l1叫做橢圓的一條準(zhǔn)線．③橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F2的距離與到直線l2的距離之比也為定值cosφ,所以l2是橢圓的另一條準(zhǔn)線．④記e＝cosφ，我們把e叫做橢圓的離心率．名師點(diǎn)撥e的幾何意義是，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離的比．當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，從而b越接近于a，橢圓越接近于圓．當(dāng)e＝0時(shí),c＝0，a＝b，兩個(gè)焦點(diǎn)重合,圖形就是圓了．可見離心率是刻畫橢圓圓扁程度的量．思考Dandelin雙球探求橢圓性質(zhì)的過程是怎樣的？提示：通過一條直線與相離的兩個(gè)等圓的內(nèi)公切線的情形，類比為兩個(gè)半徑相等的球在一個(gè)平面的兩側(cè)均與球相切的情形，從而得到定理1及有關(guān)結(jié)論，因而對于平面內(nèi)直線與兩個(gè)相離的等圓的內(nèi)公切的情形要注意研究,這有助于理解橢圓和下一節(jié)的知識．圓柱內(nèi)嵌入兩個(gè)球，使它們分別位于斜截面的上方和下方，并且與圓柱和斜截面均相切，這是證明定理的關(guān)鍵．這種方法是