專題03-7.5解直角三角形培優(yōu)訓練(解析版)九下數學專題培優(yōu)訓練

第=page22頁，共=sectionpages22頁專題037.5解直角三角形培優(yōu)訓練班級：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+55BDA.25 B.45 C.53【答案】B【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，設AE=a，BE=2a，利用勾股定理構建方程求出a，再證明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．

本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

【解答】解：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠ABE=90°，

∵tanA=BEAE=2，設AE=a，BE=2a，

則有：100=a2+4a2，

∴a2=20，

∴a=25或?25(舍棄)，

∴BE=2a=45，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，

∴CM=BE=45(等腰三角形兩腰上的高相等))

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，

將一副學生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個四邊形ABCD，連接AC，則tan∠ACD的值為(

)A.3 B.3+1 C.3-【答案】B【解析】

本題考查了銳角三角函數，解直角三角形，解此題的關鍵是能構造直角三角形，并進一步求出各個線段的長，有一定難度．

作AH⊥CB交CB的延長線于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各邊長，并證明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由銳角三角函數定義即可解決問題．

【解答】

解：如圖，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB=30°，

作AH⊥CB交CB的延長線于H．

∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，

∴∠ABH=45°，

∵∠AHB=90°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∴AH=BH，

設AH=BH=a，則AB=2a，BD=6a，BC=CD=3a，CH=a+3a，

∵∠AHB=∠DCB=90°，

∴AH//DC，

∴∠ACD=∠CAH，

∴如圖，在正方形ABCD中，以BC為邊向正方形內部作等邊△BCE連接AE，DE，連接BD交CE于點F，有下列結論：①∠AED=150°；②△DEF∽△BAE；③DFFB=3A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】

此題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質及三角形的內角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性質．

①利用正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質及三角形的內角和，周角求得判定即可

②由①可得到∠ADE的度數，再利用正方形的性質即可得∠DEF=∠ABE，即可判定

③可利用含30°的直角三角形的性質即可分別求出DFBF，再與tan∠ECD=tan30°作比較即可

④兩個三角形的底相同，由高的比進行判定即可

【解答】

解：∵△BEC為等邊三角形

∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠ABE=∠ECD=90°?60°=30°

∴在△ABE和△DCE中，

AB=DC

∠ABE=∠ECD

BE=EC

∴△ABE≌△DCE(SAS)

∴∠AEB=∠DEC=180°?30°2=75°

∴∠AED=360°?60°?75°×2=150°

故①正確

由①知AE=ED

∴∠EAD=∠EDA=15°

∴∠EDF=45°?15°=30°

∴∠EDF=∠ABE

由①知∠AEB=∠DEC，

∴△DEF～△BAE

故②正確

過點F作FM⊥DC交于M，如圖

設DM=x，則FM=x，DF=2x

∵∠FCD=30°

∴MC=3x

則在Rt△DBC中，BD=2?(3+1)x

∴BF=BD?DF=2?(3+1)x?2x

則DFBF=2x2(3+1?1)x=33

故③正確

如圖過點E作EH⊥BC交于H，過F作FG⊥BC交于G，得

由③知MC=3x，MC=FG在如圖所示8×8的網格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則∠AED的正切值是(????)A.2

B.12

C.23

【答案】B【解析】如圖，取格點K，連接AK，BK.觀察圖象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．

本題考查解直角三角形，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．

【解答】解：如圖，取格點K，連接AK，BK．

觀察圖象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，

∴∠AED=∠ABK，

∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB的中點，AC=3，cosA=13，將△DAC沿著CD折疊后，點A落在點E處，則BE的長為(

)

A.42 B.4 C.7 D.【答案】C【解析】

本題考查的是翻轉變換的性質、勾股定理、直角三角形的性質，翻轉變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．連接AE，根據余弦的定義求出AB，根據勾股定理求出BC，根據直角三角形的性質求出CD，根據面積公式出去AE，根據翻轉變換的性質求出AF，根據勾股定理、三角形中位線定理計算即可．

【解答】解：連接AE交CD于點F，

∵AC=3，cos∠CAB=13，

∴AB=3AC=9，

由勾股定理得，BC=AB2?AC2=62，

∠ACB=90°，點D為AB的中點，

∴CD=12AB=92，

S△ABC=12×3×62=92，

∵點D為AB的中點，

∴S△ACD=12S△ABC=922

在長和寬分別是19和15矩形內，如圖所示放置5個大小相同的正方形，且A、B、C、D四個頂點分別在矩形的四條邊上，則每個小正方形的邊長是(????)

A.29 B.5.5 C.1812 D.【答案】A【解析】

本題考查了矩形的性質、正方形的性質、解直角三角形以及同角三角函數的關系．

設正方形邊長為x，EF與OD邊成的角為θ，則GH與OA、OC邊成的角為θ，AB與AJ邊成的角為θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的長和寬，進一步利用同角三角函數的關系，求得結論即可．

【解答】解：如圖，作EF平行于長方形的長，GH平行于長方形的寬，交于O，

設正方形邊長為x，EF與OD邊成的角為θ，

則GH與OA、OC邊成的角為θ，AB與AJ邊成的角為θ，

在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5

將xcosθ=5代入②

解②得xsinθ=2，

兩邊平方相加得x2所以正方形的邊長x=29故選A．

二、填空題如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=12BD，連接AC，若tanB=53，則tan【答案】1【解析】延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB=53，即ADAB=53，設AD=5x，則AB=3x，然后可證明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的對應邊成比例可得：CEAB=DEAD=CDBD=12，進而可得CE=32x，DE=52x，從而可求tan∠CAD=ECAE=15．

本題考查了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．

【解答】解：如圖，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，

∵tanB=53，即ADAB=53，

∴設AD=5x，則AB=3x已知在菱形ABCD中，∠A=60°，DE//BF，sinE=45，DE=6，EF=BF=5，則菱形ABCD的邊長=______．【答案】4【解析】連接BD，過B作BG//EF交DE的延長線于G，根據菱形的判定和性質以及解直角三角形求得BD，判斷△ABD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得出菱形ABCD的長．

本題考查了菱形的性質及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形．

【解答】解：連接BD，過B作BG//EF交DE的延長線于G，

∵∠DEF=∠F，

∴EG//BF，

∴四邊形BFEG是平行四邊形，

∵EF=BF，

∴四邊形BFEG是菱形，

∴EG=BG=EF=BF=5，

∴DG=6+5=11，

∵EF//BG，

∴∠G=∠DEF，

過D作DH⊥GB交GB的延長線于H，

∴∠DHG=90°，

∵sin∠DEF=sinG=DHDG=45，

∴DH=445，

∴GH=335，

∴BH=GH?BG=85，

∴BD=BH2+DH2=(如圖，△AOB為等腰三角形，頂點A的坐標為2,5，底邊OB在x軸上．將△AOB繞點B按順時針方向旋轉一定角度后得到△A′O′B，點A的對應點A′在x軸上，則點O′的坐標為________【答案】(【解析】

本題考查了坐標與圖形變化?旋轉，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性質，解直角三角形，熟記性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．過點A作AC⊥OB于C，過點O′作O′D⊥A′B于D，根據點A的坐標求出OC、AC，再利用勾股定理列式計算求出OA，根據等腰三角形三線合一的性質求出OB，根據旋轉的性質可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后寫出點O′的坐標即可．

【解答】

解：如圖，過點A作AC⊥OB于C，過點O′作O′D⊥A′B于D，

∵A(2,5)，

∴OC=2，AC=5，

由勾股定理得，OA=OC2+AC2=22+52=3，

∵△AOB為等腰三角形，OB是底邊，

∴OB=2OC=2×2=4，

由旋轉的性質得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，

∴O′D=4×53三角板是我們學習數學的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，則CD的長度是______．【答案】15?5【解析】過點B作BM⊥FD于點M，根據題意可求出BC的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，進而可得出答案．

本題考查了解直角三角形的性質及平行線的性質，難度較大，解答此類題目的關鍵根據題意建立三角形利用所學的三角函數的關系進行解答．

【解答】解：過點B作BM⊥FD于點M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，

∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=103，

∵AB//CF，

∴BM=BC×sin30°=103×12=53，

CM=BC×cos30°=15，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，

∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=53，

∴CD=CM?MD=15?5如下圖，正方形ABCD中，AB=3，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且DH=23CD連接GH，則GH的最小值為________．【答案】2【解析】

此題考查正方形的性質，關鍵是根據正方形的性質和三角形中位線定理解答.連接CG.證明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出點G的運動軌跡是射線CG，根據垂線段最短可知，當GH⊥CG時，GH的值最?。?/p>

【解答】

解：連接CG．

∵四邊形ABCD是正方形，

四邊形DECG是正方形，

∴DA=DC=AB=3，

DE=DG，

∠ADC=∠EDG=90°，

∠DAC=45°，

∴∠ADE=∠CDG，

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴∠DCG=∠DAE=45°，

∴點G的運動軌跡是射線，

根據垂線段最短可知，當GH⊥CG時，GH的值最小，

∵DH=23CD=2，

∴CH=CD?DH=3?2=1，

∴如圖，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，則點F的坐標是_________．

【答案】(8,12)【解析】

本題考查坐標與圖形性質，解直角三角形，勾股定理的運用，過點F作直線FA//OG，交y軸于點A，過點G作GH⊥AH于點H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分別求出AF和HG的長即可．

【解答】

解：過點F作直線FA//OG，交y軸于點A，過點G作GH⊥AH于點H，

∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，

∴四邊形AOGH為矩形，

∴OG=AH=17，

∵∠EFG=90°，

∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，

∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，

在Rt△AEF中，EF=10，則AE=10·cos∠FEA=10×35=6，

∴AF=EF2?AE2=8，FH=AH?AF=17?8=9，

在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=9三、解答題如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，垂足為O，直線l為⊙O的切線，A是切點，D是OA上一點，CD的延長線交直線l于點E，F是OB上一點，CF的延長線交⊙O于點G，連接AC，AG，已知⊙O的半徑為3，CE=34，5BF?5AD=4．

(I)求AE的長；

(2)求cos∠CAG的值及CG的長．【解析】(1)延長CO交⊙O于T，過點E作EH⊥CT于H.首先證明四邊形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．

(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性質求出FG，證明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解決問題．

本題考查切線的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型．

【答案】解：(1)延長CO交⊙O于T，過點E作EH⊥CT于H．

∵直線l是⊙O的切線，

∴AE⊥OD，

∵OC⊥AB，

∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，

∴四邊形AEHO是矩形，

∴EH=OA=3，AE=OH，

∵CH=EC2?EH2=(34)2?32=5，

∴AE=OH=CH?CO=5?3=2．

(2)∵AE//OC，

∴AEOC=ADDO=23，

∴AD=25OA=65，

∵5BF?5AD=4，

∴BF=2，

∴OF=OB?BF=1，AF=AO+OF=4，CF=OC2+OF2=32+12=在矩形ABCD中，AB=8，點H是直線AB邊上的一個點，連接DH交直線CB的干點E，交直線AC于點F，連接BF．

(1)如圖①，點H在AB邊上，若四邊形ABCD是正方形，求證：△ADF≌△ABF；

(2)在(1)的條件下，若△BHF為等腰三角形，求HF的長；

(3)如圖②，若tan∠ADH=43，是否存在點H，使得△BHF為等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由．【解析】(1)根據SAS證明三角形全等即可．

(2)想辦法證明∠ADH=30°，求出AH即可解決問題．

(3)如圖②中，可以假設AH=4k，AD=3k，DH=5k，因為△BHF是等腰三角形，∠BHF是鈍角，推出HF=BH，設BH=HF=x，構建方程組解決問題即可．

本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．

【答案】(1)證明：如圖①中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，

∵AF=AF，

∴△ADF≌△ABF(SAS)．

(2)解：如圖①中，

∵∠BHF>∠HAD，

∴∠BHF是鈍角，

∵△BHF是等腰三角形，

∴BH=FH，

∴∠HBF=∠BFH，

∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF=∠ABF，

∵∠AHD=∠HBF+∠BFH，

∴∠AHD=2∠ADH，

∵∠AHD+∠ADH=90°，

∴∠ADH=30°，

∴AH=AD?tan30°=833，

∴BH=HF=8?833．

(3)解：如圖②中，存在．理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=8，AB//CD，∠DAH=90°，

∵tan∠ADH=AHAD=43，

∴可以假設AH=4k，AD=3k，則DH=5k，

∵△BHF是等腰三角形，∠BHF是鈍角，

∴HF=BH，設BH=HF=x，

∵AH//CD，

∴AHCD=HFDF，

∴4k8=x5k?x

①，如圖，在銳角△ABC中，小明進行了如下的尺規(guī)作圖：

①分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點P、Q；

②作直線PQ分別交邊AB、BC于點E、D．

(1)小明所求作的直線DE是線段AB的______；

(2)聯結AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9【答案】(1)線段AB的垂直平分線(或中垂線)；

(2)過點D作DF⊥AC，垂足為點F，如圖，

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD=7

∴CD=BC?BD=2，

在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD=17，

∴DF=1，

在Rt△ADF中，AF=72?1【解析】

本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).也考查了解直角三角形．

【解答】】(1)利用基本作法進行判斷；

(2)過點D作DF⊥AC，垂足為點F，如圖，根據線段垂直平分線的性質得到AD=BD=7，則CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定義可計算出DF，再利用勾股定理可計算出AF，接著在Rt△CDF中利用勾股定理可計算出CF，然后計算AF+CF．

解：(1)小明所求作的直線DE是線段AB的垂直平分線(或中垂線)；

故答案為線段AB的垂直平分線(或中垂線)；

(2)見答案．

如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，點E在AB邊上，與點A、B不重合，過點D作DE的垂線與BC的延長線相交于點F，連結EF，交CD于點G．

(Ⅰ)當G為EF的中點時，求AE的長；

(Ⅱ)當△DEG是以DE為腰的等腰三角形時，求tan∠ADE．【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、矩形的性質、解直角三角形等知識，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．

(Ⅰ)根據∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°證明△DAE∽△DCF，對應邊成比例，再根據三角形中位線定理即可求解；

(Ⅱ)①當DE=DG時，先證明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根據勾股定理求得AE的長，即可求得結果；②當ED=EG時，證明△DAE∽△FBE得DAFB=AEBE，求得AE的長，即可求得結果．

【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE

∴∠EDG+∠CDF=90°

又∵∠EDG+∠ADE=90°

∴∠ADE=∠CDF

又∵∠A=∠DCF=90°

∴△DAE∽△DCF

∴ADCD=AECF

∴CF=16×AE8=2AE

又∵CD//AB，點G為EF的中點

∴點C為BF的中點

∴CF=BC=8

∴2AE=8∴AE=4

(Ⅱ)①當DE=DG時，則∠DEG=∠DGE

又∵CD//AB，

∴∠DGE=∠BEG

∴∠DEG=∠BEG

又∵∠EDF=∠EBF=90°

EF=EF

∴△EDF≌△EBF(AAS)

∴DE=BE

設AE=x，則BE=16?x，

在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2

∴82+x2=(16?x)2

解得x=6，即AE=6

∴tan∠ADE=AEAD=68=34

②當ED=EG時，則∠EDG=∠EGD

又∵CD//AB

∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED

∴∠AED=∠BEG

又∠A=∠B=90°

∴△DAE∽△FBE

∴在△ABC中，∠ACB=90°．

(1)如