第六章 圖形的相似（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第六章圖形的相似（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單選題（每題3分，共24分）1．已知矩形的長(zhǎng)與寬分別為4和3，下列矩形與它相似的是（

）A．

B．

C． D．

2．如圖，直線，分別交直線m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)．已知，則的長(zhǎng)為（）A．9.6 B．15 C．13.6 D．7.53．下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm4．在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個(gè)條件，與仍不一定相似，那么這個(gè)條件是（

）A． B．C． D．5．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，連接，將沿翻折，得到，與交于點(diǎn)F．若，的面積分別為1和16，則（）

A． B．3 C． D．6．如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，則的長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C． D．7．如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長(zhǎng)的，邊長(zhǎng)的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長(zhǎng)的，長(zhǎng)的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長(zhǎng)寬比為（

）A． B． C． D．8．我們把寬與長(zhǎng)的比等于黃金比()的矩形稱為黃金矩形.如圖,在黃金矩形中,的平分線交邊于點(diǎn),于點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．二、填空題(共10小題，每題4分，共40分）9．在一張比例尺為的地圖上，量得兩地的距離是，則兩地的實(shí)際距離為_(kāi)____________．10．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若線段的長(zhǎng)為4厘米，那么線段的長(zhǎng)為厘米．11．如圖，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立（只添一種即可）．12．如圖，在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，，則．

13．已知，則14．如圖，沿方向開(kāi)山修路，為了預(yù)算的需要，設(shè)計(jì)人員打算測(cè)量之間的距離，設(shè)計(jì)圖如圖所示，，量得，，，，則的長(zhǎng)為．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，點(diǎn)，，在，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

16．已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為，面積之差為，則這兩個(gè)菱形的面積分別是．17．如圖，已知A，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，OB交AC于點(diǎn)D，若△OCD的面積是△BCD的面積的2倍，則△AOD的面積是．18．已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，且兩直線的夾角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題(共9小題，共76分）19．（本題6分）如圖，．直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)．20．（本題6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫(huà)出的一個(gè)位似，使它與的相似比為，并分別寫(xiě)出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)．(2)將向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后的，判斷與，能否是關(guān)于某一點(diǎn)M為位似中心的位似圖形？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．（本題6分）如圖，在和中，已知，．

(1)求證：．(2)若S，求的長(zhǎng)．22．（本題8分）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，，求線段的長(zhǎng)度．

（本題8分）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備去測(cè)量大雁塔的高度，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小明站在B處，位于點(diǎn)B正前方3米點(diǎn)C處有一平面鏡，通過(guò)平面鏡小明剛好看到大雁塔的頂端M的像，此時(shí)測(cè)得小明的眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小剛在F處豎立了一根高2米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和塔頂M在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為6米，為58米，已知，，，點(diǎn)N、C、B、F、D在一條直線上，請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度（平面鏡大小忽略不計(jì)）．24、（本題8分）如圖1，中，，，，在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,連接．

(1)若點(diǎn)恰好落在線段上，請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，并證明；(2)如圖2，若點(diǎn)不在線段上，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．25、（本題10分）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．26．（本題10分）已知中，，，．是上的動(dòng)點(diǎn)，為上的點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中保持．試寫(xiě)出面積與的長(zhǎng)度之間的關(guān)系式．

27．（本題12分）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．作，與邊相交于點(diǎn)．找出圖中的一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；求動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)．

第六章圖形的相似（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單選題（每題3分，共24分）1．已知矩形的長(zhǎng)與寬分別為4和3，下列矩形與它相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義：所有的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，所有的對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)榫匦蔚乃袃?nèi)角均為90°，∴所有矩形的對(duì)應(yīng)角均相等，∴當(dāng)兩個(gè)矩形相似時(shí)，長(zhǎng)比長(zhǎng)等于寬比寬，∴滿足題意的只有C選項(xiàng)，故選C．2．如圖，直線，分別交直線m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)．已知，則的長(zhǎng)為（）A．9.6 B．15 C．13.6 D．7.5【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】解：，，，，故選：C．3．下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵，∴選項(xiàng)A不成比例；B、∵，∴選項(xiàng)B不成比例；C、∵，∴選項(xiàng)C不成比例；D、∵，∴選項(xiàng)D成比例．故選：D．4．在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個(gè)條件，與仍不一定相似，那么這個(gè)條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】?jī)蛇厡?duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A.由，可以根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等，證明，該選項(xiàng)不符合題意；B.由，可推導(dǎo)出，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，證明，該選項(xiàng)不符合題意；C.由，不能判定兩個(gè)三角形相似，符合題意；D.由，可推導(dǎo)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，證明，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．5．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，連接，將沿翻折，得到，與交于點(diǎn)F．若，的面積分別為1和16，則（）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知易證，從而求出對(duì)應(yīng)邊的比，然后設(shè)，表示出與的長(zhǎng)，再根據(jù)，求出，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，由折疊得：，，，，的面積分別為1和16，，，∴設(shè)，，，設(shè)，則，，，，，，，，故選：C．6．如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，則的長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C． D．【答案】C【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵矩形中，，∴．故選：C．7．如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長(zhǎng)的，邊長(zhǎng)的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長(zhǎng)的，長(zhǎng)的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長(zhǎng)寬比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，以此類推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【詳解】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第二次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第三次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第四次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，，．故選：A．8．我們把寬與長(zhǎng)的比等于黃金比()的矩形稱為黃金矩形.如圖,在黃金矩形中,的平分線交邊于點(diǎn),于點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定可得四邊形ABFE是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)黃金矩形的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】四邊形ABCD是矩形，，，即，四邊形ABFE是矩形，是的平分線，且，，四邊形ABFE是正方形，，又四邊形ABCD是黃金矩形，且，，設(shè)，則，，，，則，，即，選項(xiàng)A正確；，，即，選項(xiàng)B正確；，，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)D正確；故選：C．二、填空題(共10小題，每題4分，共40分）9．在一張比例尺為的地圖上，量得兩地的距離是，則兩地的實(shí)際距離為_(kāi)________．【答案】【分析】圖上距離和比例尺已知,依據(jù)“圖上距離比實(shí)際距離等于比例尺”即可求出A、B兩地的實(shí)際距離．【詳解】解:∵比例尺為，A，兩地的距離是，設(shè)A，B兩地的實(shí)際距離為，∴∴，∵，∴，兩地的實(shí)際距離為米．故答案為：．10．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若線段的長(zhǎng)為4厘米，那么線段的長(zhǎng)為厘米．【答案】/【分析】根據(jù)黃金比值是，列式計(jì)算即可．【詳解】∵點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，線段的長(zhǎng)為4厘米，∴，故答案為：．11．如圖，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立（只添一種即可）．【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理解答即可．【詳解】解：根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．12．如圖，在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，，則．

【答案】8【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)求得的長(zhǎng)度，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得，由勾股定理求得．【詳解】解：∵點(diǎn)G為的重心，，，，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，，，，故答案為：8．13．已知，則【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，故，故答案為：．14．如圖，沿方向開(kāi)山修路，為了預(yù)算的需要，設(shè)計(jì)人員打算測(cè)量之間的距離，設(shè)計(jì)圖如圖所示，，量得，，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】已知，可得，可求得的長(zhǎng)度，即可得的長(zhǎng)度．【詳解】解：已知，∴，∵，，，，，，故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，點(diǎn)，，在，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先把點(diǎn)和點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到，，則，接著證明，所以，然后把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，而點(diǎn)，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，故答案為：．16．已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為，面積之差為，則這兩個(gè)菱形的面積分別是．【答案】，【分析】分別設(shè)兩個(gè)菱形的面積為、，然后根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方列式求解即可．【詳解】解：設(shè)兩個(gè)菱形的面積為、，∵兩個(gè)相似的菱形的相似比為，∴，整理得：，解得：，，∴這兩個(gè)菱形的面積分別是，．故答案為：，．17．如圖，已知A，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，OB交AC于點(diǎn)D，若△OCD的面積是△BCD的面積的2倍，則△AOD的面積是．【答案】2.5【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S△AOC=S△OEB=4.5，根據(jù)△OCD的面積是△BCD的面積的2倍可得OD=2BD，可得，根據(jù)AC⊥x軸可得AC//BE，可得△OCD∽△OEB，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得，即可得出△OCD的面積，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，∵已知A，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，∴S△AOC=S△BOE=×9=4.5，∵△OCD的面積是△BCD的面積的2倍，∴OD=2BD，∴，∵AC⊥x軸，∴AC//BE，∴△OCD∽△OEB，∴，∴S△OCD=S△OEB=×4.5=2，∴S△AOD=S△AOC-S△OCD=4.5-2=2.5．故答案為：2.5．18．已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，且兩直線的夾角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】根據(jù)直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分類討論，結(jié)合一次函數(shù)的圖象，構(gòu)建直角三角形，等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求值即可求解．【詳解】解：∵直線，即恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵兩直線的夾角為，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵點(diǎn)到軸的距離為1，故點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為2，故點(diǎn)到軸的距離為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵兩直線的夾角為，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵點(diǎn)到軸的距離為1，故點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為2，故點(diǎn)到軸的距離為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．三、解答題(共9小題，共76分）19．（本題6分）如圖，．直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得．20．（本題6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫(huà)出的一個(gè)位似，使它與的相似比為，并分別寫(xiě)出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)．(2)將向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后的，判斷與，能否是關(guān)于某一點(diǎn)M為位似中心的位似圖形？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)，，作圖見(jiàn)解析(2)能，點(diǎn)M，作圖見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)畫(huà)出圖形，再根據(jù)位似中心的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所作圖形；其中，，；

（2）如圖所示，與是關(guān)于點(diǎn)M為位似中心的位似圖形．21．（本題6分）如圖，在和中，已知，．

(1)求證：．(2)若S，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似的判定方法證明即可；（2）由相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例，即可求出答案．【詳解】（1）解：，，即．又，．（2）解：，，，又，．22．（本題8分）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，，求線段的長(zhǎng)度．

【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)及，可證得，，進(jìn)而可得，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，則∵四邊形是矩形，∴，則，∴，∴，∴，即：，∴．23、（本題8分）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備去測(cè)量大雁塔的高度，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小明站在B處，位于點(diǎn)B正前方3米點(diǎn)C處有一平面鏡，通過(guò)平面鏡小明剛好看到大雁塔的頂端M的像，此時(shí)測(cè)得小明的眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小剛在F處豎立了一根高2米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和塔頂M在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為6米，為58米，已知，，，點(diǎn)N、C、B、F、D在一條直線上，請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度（平面鏡大小忽略不計(jì)）．【答案】大雁塔的高度為64米【分析】設(shè)米，證明，推出，可得，再證明，推出，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：設(shè)米．∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，答：大雁塔的高度為64米．24、（本題8分）如圖1，中，，，，在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,連接．

(1)若點(diǎn)恰好落在線段上，請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，并證明；(2)如圖2，若點(diǎn)不在線段上，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證即可求證；（2）結(jié)合（1）仍然可證，進(jìn)一步證可推出，即可利用勾股定理求解．【詳解】（1）證明：如圖：

∵，，∴∴在圖1中：∵∴∵∴∴∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得∴∵∴∵∴∴即：（2）解：∵∴∵∴

∴∵∴∴∴∵,∴∴∴∴∴25、（本題10分）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，可得進(jìn)而證明，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，