2024年新高考藝體生沖刺復(fù)習(xí)考點(diǎn)11 等差數(shù)列（解析版）

考點(diǎn)11等差數(shù)列

知識點(diǎn)一等差數(shù)列定義

知識點(diǎn)二等差數(shù)列的有關(guān)公式

一知識點(diǎn)三等差中項(xiàng)

知識點(diǎn)

一知識點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

知識點(diǎn)五求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法

知識點(diǎn)六判定數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列的常用方法

等

差

數(shù)考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

列

考點(diǎn)二等差中項(xiàng)

考點(diǎn)三前n項(xiàng)和與等差中項(xiàng)

考點(diǎn)四前n項(xiàng)和片段性

一考點(diǎn)五前n項(xiàng)和與n的比值

考點(diǎn)一

一考點(diǎn)六等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之和

考點(diǎn)七等差數(shù)列的最值問題

考點(diǎn)八含有絕對值的等差數(shù)列求和

考點(diǎn)九等差數(shù)列的證明與判斷

考點(diǎn)十等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

T知:識，講:解

一.等差數(shù)列定義

如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符

號表示為an+i—an=d(nN\d為常數(shù)).

二.等差數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項(xiàng)公式：?！?4]+(〃-1)4通項(xiàng)公式的推廣：4“=?”+(〃一〃?)"(〃，

“八-ix,n(/?-1)n

2.刖〃項(xiàng)和公式：S”=na\+--2----〃=-----2-----

三.等差中項(xiàng)

1.等差中項(xiàng)：數(shù)列小人，力成等差數(shù)列的充要條件是人=與，其中人叫做小力的等差中項(xiàng).

2.等差中項(xiàng)推廣

（項(xiàng)數(shù)相同

d^a.<=><<=>Fwin+n=p+q=2t<=>3,,+a,=a+a=2a

［下標(biāo)和同P°t

［項(xiàng)數(shù)可同可異.

d=a/0下標(biāo)mgp+q=2t=am+an=ap+aq=2￡t=am+n

卜標(biāo)和同

*

四.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

1.前n項(xiàng)和與等差中項(xiàng)

數(shù)列項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時（S。、T”分別是等差數(shù)列a。、,的前n項(xiàng)和）

S2n.i=（2n-1）an

SHI_Qn_Da”。例、_%

T3（2m-l）b,nT2n_,bn

2.前n項(xiàng)和片段性：Sm,S.—Sm，S3HLS?”，…構(gòu)成等差數(shù)列.

3.?｝是等差數(shù)列，則用是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為a,公差為gd

4.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時，SLS奇=〃由項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃一1時，S濟(jì)一S粥=。中，S奇：5我=〃：（〃-1）.

五.求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和Sn最值的兩種方法

1.函數(shù)法：利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Si/+版,通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方

法求解.

2.鄰項(xiàng)變號法：

?之0，

（1）當(dāng)0>0,dVO時，滿足A的項(xiàng)數(shù)也使得S〃取得最大值為S”；

跖+￡0

a,SO,

（2）當(dāng)0<0,d>0時，滿足八的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S,取得最小值為S”.

3.等差數(shù)列的增減性與最值

（1）公差冷0時為遞增數(shù)列，且當(dāng)時，前〃項(xiàng)和S”有最個值；

（2）公差d<0時為遞減數(shù)列，且當(dāng)m>0時，前〃項(xiàng)和5〃有最大值.

六.判定數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列的常用方法

1.定義法：對任意〃￡N*,。”+|一%是同一個常數(shù).

選下標(biāo)-列定義式-換一項(xiàng)-化簡…寫結(jié)論

2.等差中項(xiàng)法:對任意應(yīng)2,〃￡N“，滿足2詼=%+i+a“T.

3.通項(xiàng)公式法：數(shù)列的通項(xiàng)公式m是〃的一次函數(shù).

4.前〃項(xiàng)和公式法；數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S〃是〃的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.

典N例：剖N析|-------------------------

考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

【例1】（2023廣東潮州）等差數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛叫的前八項(xiàng)和為S”.

31

⑴已知4=不，~=一萬,Sm=-15,求加及q”；

⑵已知4=1,=-512,Sn=-1022,求d；

(3)已知§5=24,求4+%.

(4)若q=7,6t5O=1()1,求S50；

⑸若q=2,a2=1,求￡0；

⑹若4=:，"=一:，S“=-5，求〃.

26

⑺若。?+%=19,$5=40,求q；

⑻若S'?=84,520=640,求S?8；

(9)若?|0=3。，?20=5。，5”=242,求〃.

【答案】⑴加=12,凡,=-4(2)4=-171⑶一⑷2700⑸,⑹〃=12⑺2⑻1596(9)11

52

【解析】⑴因?yàn)槭?，陷+如二b=3〃,x業(yè)二工-15.

2222

所以整理得病-76-60=0,解得m=12或相=-5(負(fù)值舍去)，

所以品=%=%+114=]3+1吁(15、卜-4

(2)因?yàn)?=3(4+/)=白(1-512)=-1022,所以〃=4,

又因?yàn)間=%=4+3d=l+3d=-512,所以"=一171

5x424

（3）方法一：由S5=5q+-4--=-24,即4+21=彳

2

48

所以q+a4=q+d+q+3d=2q+4d———

方法二：由SS=5(4；%)=24,得%+%=￡

「皿48

所以。2+。4=%+a5=—

（4）因?yàn)?=7,須=101,根據(jù)公式5“=〃（"；％）,可得S5°=迎笥也1=2700.

（5）因?yàn)?=2,?2=|,所以d=；.根據(jù)公式S“=〃4+^^d,可得品二］OxZ+lOx'F小券

⑹把q=:，d=-；,S”=-5代入S”="4+”（:-d,得-5=A、-十

26222

整理,n~-7/2-60=0.解得〃=12,或〃=-5（舍去）.所以〃=12.

（7）由題意知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，勾+%=19,55=40,

2q+5d=19

設(shè)｛〃"｝公差為d，故，5x（5-l），解得4=2；

5%+—―^=40

（8）數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,1=84,$20=640,

302"=84219

12“+

設(shè)應(yīng)｝公差為d，故<2,解得?T

孫”ai25

20q+

2T

28x（28-1）2191

貝IJS貨=284+d=28q+378d=28x+378x—=1596；

24

（9）由題意知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，%=30,%）=3。，

4+9d=301二；2,由S“=242,得12〃+^^X2=242,

設(shè)也｝公差為d，則，|；+陽=5。,解得I

?=22

解得〃=11或〃=—22（舍去），故〃=11.

【變式】（2023?北京）已知數(shù)列幾｝是等差數(shù)列.

（1）若4=7,%=101,求S”；

⑵若4=2,a2=|,求品）；

⑶若4=!，4=一!，S〃=—5,求〃.

2o

⑷若4+%=19,55=40,求q；

⑸若3=84,S20=640,求S”;

（6）若%=30,a20=5（）,Sn=242,求〃.

85

【答案】（1）2700（2）彳⑶1=12.（4）2（5）1596（6）11

【解析】（1）因?yàn)閝=7,a5o=10I,根據(jù)公式S'=可得S5o=5Ox（丁01）=2700.

（2）因?yàn)?=2,%所以d=J.根據(jù)公式5“=〃6+嗎$4,可得§。=10><2+電粵3'：=弓.

（3）把q=J,4=一；，S"=-5代入Sn=+/d,得-5=：〃+“（；%-^1.

26222v

整理，得/一7〃-60=0.解得〃=12,或〃=-5（舍去）.所以八=12.

（4）由題意知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，4+%=19,怎=40,

2q+5d=19

設(shè)乩｝公差為d.故《5x(57)解得4=2；

5a.+———-6/=40

,'2

（5）數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，兀=84,§20=640,

史3=84219

12?,+

設(shè)｛4｝公差為d,故?2,解得，

期士〃=64。：心交

20%+

24

則S=28?,+28X(：T)=28《+=28x219)

2Md378f/+378x—=1596；

v;4

（6）由題意知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，%=30,?二50,

設(shè)小,｝、公差為乩則f需a+9皿J==35U。'解得｛faa=12'

由，=242,得⑵2+〃（,」2=242,解得〃=11或〃=一22（舍去），故〃=11.

考點(diǎn)二等差中項(xiàng)

【例2-1］（2023?黑龍江哈爾濱）己知a=6+&，〃=百-亞，則。、。的等差中項(xiàng)為（）

r-11

A?亞B.萬C.耳D.正

【答案】B

【解析】。、〃的等差中項(xiàng)為土吆」“卜二）'（4-6）=6.故選:B.

22

【例2-2］（2023?福建）在等差數(shù)列｛4｝中，4+%=10,則%=（）

A.5B.6C.8D.9

【答案】A

【解析】由｛4｝是等差數(shù)列，則應(yīng)是為和〃9的等差中項(xiàng)，所以雙=4+%,則2%=10,6=5.故選：A

【例2-3］（2023?湖南長沙）已知｛4｝為等差數(shù)列，且外嗎4是方程f-4x-15=0的兩根，則均等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】C

【解析】由《，陽是方程丁一4X-15=0的兩根，可得4+44=4,

乂由數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，可得%+如=2為，所以佝=2.故選：C.

【例2-4】（2023湖南）在等差數(shù)列｛〃“｝中，4+〃+%=96,則2%-0=（）

A.24B.48

C.20D.16

【答案】A

【解析［因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，因?yàn)閝+2《+%=96,得46=96,所以勾二24,

所以2%一%=%+4—40=6=24,故A項(xiàng)正確.故選:A.

【變式】

1.（2023?山東青島）已知在等差數(shù)列也｝中，4+%=20,%=12,則%=（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列｛q｝中，因?yàn)?+4=20,可得2緣=4+4=20,所以4=10,

又由。7=12,且&="、；"，可得見=2%-％=20-12=8.

故選：C.

2.（2023?新疆）若x,3x—2,3刀+2成等差數(shù)列，則x的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因?yàn)?,31-2,3/2成等差數(shù)列,所以根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得2x（3x-2）=x+（3x+2）.解得工二3,

故選：C.

3.（2023?四川成都）在等差數(shù)列也”｝中，^+67,,=40,則％-4+的值為（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】A

【解析】在等差數(shù)列｛4｝中，因?yàn)椤?+42=%+%=。6+4=2%=40,所以％=20,

所以《一4+%-4+%=（4+%）-（％+■）+%=%=20.故選：A

371n.n

4.（2023?云南曲靖）在等差數(shù)列中,叼+。6=彳，則sm)

3>

A.BC..直

BD.

2-422

【答案】D

【解析】等差數(shù)列中，生+4=段，則回

則0故選：D

考點(diǎn)三前n項(xiàng)和與等差中項(xiàng)

【例3-1]（2023?全國?模擬預(yù)測）已知S”是等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和,%+%+%=12,則S||二(

A.22B.33C.40D.44

【答案】B

【解析】解法一：因?yàn)椋玻堑炔顢?shù)列.

所以回

則|岡9所以0

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為

則由%+%+。7+旬=12得，,得I岡……―1；

所以0

故選：B.

S

[ft3-2]（2023?河北張家口）等差數(shù)列｛q｝、也｝中的前〃項(xiàng)和分別為S”,卻廣-噴=（）

1n7

40B,史1732

A.—C.—D.—

93874281

【答案】B

s4〃

【解析】???等差數(shù)列｛叫、也｝中的前〃項(xiàng)和分別為S“，卻廣=

9/7+3

叵

故選：B.

【例3-3]（2023?廣東）已知等差數(shù)列｛見｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S”，T”,若率="￡二，則八？；”[

?！ㄊ皇?十必

).

A.上c26D,上

D.------

1113737

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：制啜=1號,0

則回

,10,故選：C.

【變式】

〃

V,都有率=42+3V%的

1.（2023?陜西咸陽）設(shè)等差數(shù)列河｝,色｝的前〃項(xiàng)和分別為T.,nE

Tn4〃-3

值為（)

A."c19

B.—D

6529-I?

【答案】D

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列也｝，他」的前〃項(xiàng)和分別為邑，I,且^S^二2三〃+33,

*7

0-

所以.故選：D.

S2〃一3

2.（2023?安徽蚌埠）兩個等差數(shù)列｛〃.｝,出｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T且聲，咤=（）

nt3n-2

9

A.3D

二1-1

【答案】C

〃

【解析】由兩個等差數(shù)列｛qj,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“Z，且S廣=2茫3^，

0

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得.故選：C.

3.（2023?湖北荊州）等差數(shù)列｛《｝、也｝的前〃項(xiàng)和分別為S”與r"，且率="獸，則今咚=（）

14127

A.—B.—D.-

974

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得,S

等差數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和滿足|區(qū)------則舊一I，

等差數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和滿足回^一----則［區(qū)|?

所以S

故選：B.

S?5〃一2a..

4.（2023?黑龍江鶴崗）已知等差數(shù)列｛q｝和｛"｝的前〃項(xiàng)和為分別為S”和7；,若或"==7,則/的值為

Tn3/1+1%

（）

A.吧c103193193

B.-----D.

641186?T78

【答案】B

［解析］回，令|岡］，則|岡］,

所以|國------|，|臼|，所以岡，故選：B

考點(diǎn)四前n項(xiàng)和片段性

【例4-1］（2023?甘肅武威）等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，5=3,§6=9,則§9=（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】B

【解析】等差數(shù)列｛%｝中，S3，S6-S3，SLS6成等差數(shù)列，

所以|區(qū)I即I岡.

故迄B

【例4-2】（2023?江蘇）已知等差數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為40,前3〃項(xiàng)和為420,則前2〃項(xiàng)和為（）

A.140B.180C.220D.380

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為s”，則回二----怫等差數(shù)列,所以舊------

乂|回-------|所以同解得|區(qū)|.所以等差數(shù)列｛a,,｝的前2〃項(xiàng)和為后|

故選:B.

【例4-3】（2023?甘肅金昌）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，若^^=7,則興=（

)

【答案】A

【脩析】在等差數(shù)列｛g｝中，|國|岡|成等差數(shù)列,即|岡------卜

設(shè)|岡|，則|岡于是|岡|，解得[岡-一]，所以[因]

故選：A

【變式】

1.(2023?湖南長沙)已知｛&｝為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若3=14￡=邑+22,則56=()

A.26B.27C.28D.29

【答案】B

【解析】由題意得§2,￡-邑,§6-，成等差數(shù)列，

ffl2(54-S2)=S2+(56-S4),又S4=14￡=邑+22,

02[14-(56-22)]=56-22+(56-14),解得§6=27.

故選:B.

2.(2023?四川樂山?統(tǒng)考一模)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和鼠，若另=9,S6=36,則%+%+%=()

A.18B.27C.45D.63

【答案】C

【解析】由題意得S3，S?-邑,59-$6成等差數(shù)列，

即9,36—9,%+%+%成等差數(shù)歹。，

即2x(36-9)=9+%+%+為，解得。了+%+4=45.

故選:C

3(2023?湖北省)己知｛〃“｝為等差數(shù)列，若邑=3~6=24,則()

A.73B.120C.121D.122

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，

則0

所以且.故選：B

考點(diǎn)五前n項(xiàng)和與n的比值

【例5-1］（2023上?四川眉山?高三?？奸_學(xué)考試）在等差數(shù)列｛%｝中，=-2024,其前〃項(xiàng)和為S”,若

親一券=2,則S”()

10o

A.2023B.-2023C.-2024D.2024

【答案】C

CC

【例5?2］（2023?河南）己知等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s”，且半_5=4,則%-緣=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

0

則

???數(shù)列｛｝｝是公差為即等差數(shù)列，s，解得:

-----

故選:D.

【變式】

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知S〃是等差數(shù)列｛刖｝的前〃項(xiàng)和，若〃/=-2018,黑-黑=6,則S2020

等于（）

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【解析】四是等差數(shù)列｛,，〃｝的前〃項(xiàng)和，回?cái)?shù)列管｝是等差數(shù)列.

回。/=-2018,

20192013

團(tuán)數(shù)列｛｝｝的公差叵,首項(xiàng)為-2018,

02018+2019x1=1,

團(tuán)5'2。2。=2020.

故選：C.

2.（2023?湖北武漢）在等差數(shù)列&｝中，?,=!,其前〃項(xiàng)和為%若今-多=2,則％等于（）

86

A.10B.100C.110D.120

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛?,｝是等差數(shù)列，則數(shù)列卜乜為等差數(shù)列.設(shè)其公差為心

則區(qū)］,則殍又因?yàn)镠\

所以0,所以S,,=〃2,所以［百一一1

故選：B.

3.（2023北京）在等差數(shù)列｛%｝中，4=-2021,其前〃項(xiàng)和為若要一今=2,則S曲等于（）

10o

A.2021B.-2021C.-2020D,2020

【答案】B

【解析】?數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

又&_務(wù)=24=2,解得：d=l,又務(wù)=q=-2021,

1081

/.當(dāng)包=-2021+2020=-1,/.S9=-2021.

2021

故選：B.

4（2023湖北）已知5〃是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，若〃尸?2018,黑-黑=6,則§2⑼等于（）

工U1J/U1D

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【解析】as〃是等差數(shù)列｛.〃｝的前〃項(xiàng)和，團(tuán)數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列.

的=-2018,

20192013

§｝的公差向,首項(xiàng)為-2018,

團(tuán)數(shù)列｛

R02018+2019x1=1,

團(tuán)S2D20=2020.

故選：C.

考點(diǎn)六等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之和

【例6-1］（2023?河南周口）一個等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80,奇數(shù)項(xiàng)和為30,則該數(shù)列的公差為（）

【答案】D

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為"，則由條件可知:

數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為向

偶數(shù)項(xiàng)之和為叵，②

由②-①，得I臼I，所以回，即該數(shù)列的公差為

故選：D.

【例6-2］（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列｛《,｝的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A,偶數(shù)項(xiàng)的和為8,且

3-A=45,2A=8+615,則牝=（）

A.3〃一2B.3〃-1C.3〃+1D.3/?+2

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為"，首項(xiàng)為6,

則至,所以4=3,

因?yàn)?A=4+615,即同］，則I臼I，

等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以卬為首項(xiàng)，0為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列｛4｝的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以

,得q=2,

所以區(qū)|

故選:B

【例6-3］（2023?陜西榆林）已知等差數(shù)列｛凡｝的項(xiàng)數(shù)為2〃?+1（〃?€用）,其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140,偶數(shù)項(xiàng)之和

為120,則，〃=（）

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【解析】項(xiàng)數(shù)為百」的｛%｝中奇數(shù)項(xiàng)共有叵二|項(xiàng)，

其和為回

項(xiàng)數(shù)為可D的｛為｝中偶數(shù)項(xiàng)共不增員，其和為0

所以0解得回~1

故選:A.

【例6-4】（2023?上海徐匯）設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)〃為奇數(shù)，則其奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（）

nnInn-1

【答案】D

故選：D

【變式】

1.（2023廣西）已知等差數(shù)列｛4｝共有10項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和為20,奇數(shù)項(xiàng)之和為5,則該數(shù)列的公差為（）.

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】6+/+&+/+/=5,?2+?4+?s4-6/10=20,54=15,d=3.故選：D.

2.（2023?江蘇無錫）等差數(shù)列共有2〃+1項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為132,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為120,則〃等于（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】SS◎皎=^+。3+一，+42"1=132,54行32+。4+?+。2“=120,

05rS的貧=。2”+1-〃d=。”+|=12,

(2〃+1)(4+%)

回S2C+*S方舒S內(nèi)折252==(2n+1)an+l=12(2n+1)n=10.故選：C.

2

3.（20223?安徽宣城）己知等差數(shù)列｛q｝共有2〃（〃cN*）項(xiàng)，若數(shù)列｛4｝中奇數(shù)項(xiàng)的和為190,偶數(shù)項(xiàng)的和

為210,%=1,則公差d的值為（）

55

A.2B.4D.-

.42

【答案】A

【解析】由題意s，0

所以，回

叵

所以，I臼HI臼I：

故選:A.

4.（2023?浙江寧波）已知等差數(shù)列共有99項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為300,則偶數(shù)項(xiàng)之和為（）

A.300B.298C.296D.294

【答案】D

【解析】由題意得：國

乂囪.故選：D.

5.（2023?陜西西安）等差數(shù)列｛4｝共2〃+1個項(xiàng)，且奇數(shù)項(xiàng)和為165,偶數(shù)項(xiàng)和為150,則〃=（）

A.10B.13C.11D.22

【答案】A

【解析】等差數(shù)列｛/｝共2〃+1個項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)仃目個，偶數(shù)項(xiàng)有〃個,

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為小

奇數(shù)項(xiàng)和

偶數(shù)項(xiàng)和

①-②，則國.故選：A

考點(diǎn)七等差數(shù)列的最值問題

【例7?1】（2023?安徽）（多選）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“=〃2-9〃，則下列說法正確的是（）

A.%=-8B.數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛￡｝的最小項(xiàng)為Sg和兀D.滿足S“<0的最大正整數(shù)〃=8

【答案】ABD

【解析】<S.=，，-9〃/.當(dāng)〃=1時，應(yīng)

當(dāng)引時，0

TH一卜?「岡1?

囚1.數(shù)列｛&｝是遞增數(shù)歹U,故選項(xiàng)A、B正確;

.??當(dāng)〃=4或〃=5時S”最小，即數(shù)列｛，｝的最小項(xiàng)為邑和故選項(xiàng)C錯誤，

令臬<0,得0<"9,〃eN,，卻滿足S.<（）的最大正整數(shù)〃=8,故選項(xiàng)D正確.

故選:ABD

【例7?2】（2023?河北石家莊）（多選〉設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，S”是其間〃項(xiàng)的和，.且55<邑，56-%>58則下

列結(jié)論正確的是（）

A.，<0B.%=0C.59>S5D.S（,與S?均為S”的最大值

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為"，

因?yàn)镾5VsQEaS?,可得4=S6-S5>0M=S7—S6=0,4=S8-S7<0,

對于A中，由d=%-《<0，所以A正確；

對于B中，由弓=S7-S6=。，所以B正確：

對于C中，由§9一邑=。6+。7+/+?9=2（。7+。8）<0，所以SgVSs，所以C不正確：

對于D中，由d<0,可得數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，且％=0,所以I區(qū)T，

所以$6和邑均為S”的最大值，所以D正確.

故選：ABD.

【變式】

1.（2023秋?安徽黃山）（多選）數(shù)列口｝的通項(xiàng)公式為?！?22-2〃，其前〃項(xiàng)和為S”，則使S“最大的〃的

取值可以是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】BC

【解析】令晌|，則字;旦|因M故?臼、附回"I恒成立,

所以使s“最大的〃的取值為10或11.

故選:BC

?江蘇揚(yáng)州）（多選）設(shè)｛如是公差為的等差數(shù)列，是其前〃項(xiàng)的和，且％則（）

2.（2023dS”<0,54=58,

A.d<0B.Sn>S6C.4=°D.SJ2=0

由回，開口向上且對稱軸為兇

所以S,NS6,岡BsD對.

故選:BD

3.（2023?四川達(dá)州）（多選）已知等差數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，且滿足%=36,｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，下列選

項(xiàng)中正確的是（）

A.q>0B.當(dāng)〃=5時，S”最大

C.S5>S6D.Sx>0

【答案】AC

【解析】由題意等差數(shù)列｛叫是遞減數(shù)列，且滿足向一卜所以國，

從而因，故A正確；而岡所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=4或?3時，S“最大，故

B錯誤；

由B選項(xiàng)分析可知|因故C正確：因?yàn)閮矗蔇錯誤.

故選：AC.

4.（2023?陜西西安）（多選）已知等差數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為5,,,若幾>0,4+%<。，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.%<0

B.當(dāng)"=8時，■最大

C.使5”>。時，〃的最大值為16

D.使5“>0時，〃的最大值為15

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A,等差數(shù)列｛q｝中，若幾>°，

即區(qū)，即|臼:，

又由。8+%<°，則％<0，A正確；

對于B,由于叵三]而為<。，則當(dāng)〃=8時，S”最大，B正確；

對于C和D,1>0,而H,

故使工>。時，〃的最大值為15,D正確.

故選:ABD.

考點(diǎn)八含有絕對值的等差數(shù)列求和

【例8】（2023春?湖南衡陽）數(shù)列｛q｝中，4=31,'*=4-2,

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S.；

（2）求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】⑴為=33—2"，工=32〃-/

『32〃一〃2n<\6

⑵7=4

"[512-32〃+〃2,〃>16

【解析】（1）因?yàn)?+I=勺-2,即〃向一/=-2,所以數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，

所以4=31+（〃-1）x（—2）=33-2〃，S“=31+33_2〃X〃=32/"

(2)令/>。得〃KI6,(=同+同++㈤；

2

當(dāng)“K16時，￡=同+同++同=4+%++all=Slt=32n-n；

當(dāng)”>16時，Tn=?14--?+t716-^7-一q=S]6-(S〃一S16)

=2S|6-Sa=512-32〃+"2.

32〃-憂/:<16

綜上可得，

512-32〃+后〃>16

【變式】

1.12023?天津和平）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且$=35,〃必=45.

⑴求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)記。=|4|,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和T?.

【答案】⑴，”=13-2〃

\2n-n2,n<6

"一一⑵+72,〃>6

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為"，由57=35,%%=45,

7<7.+2U=35[a,=11,.

得(+d)(q+3d)=45,解得日=_2,?.4="+(〃—x)《z2)—

(2)由=13-2/?>0,得n<—當(dāng)n<6時，>0,

此時Tfl=同+同++㈤=q+/+,+4="(11+；2")=]2/i-

當(dāng)n>6時，4“<。，

此時(=同+同++同=4+%++/_(勺+4+??+4)

=2(4+%+?,+4)-(％+%+…+4+%+-+%)

=2x(12x6-62)-(12/?-/72)=n2-12?+72,

所以小八⑵+72,〃>6

2.（2023?江蘇常州）已知等差數(shù)列｛4），%=4,%=1。

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式句;

⑵設(shè)2=|9-q|,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和小

【答案】⑴/=2〃

（2）囚

【解析】（1）設(shè)公差為"，則0,

故I區(qū)］

⑵向….…一一，

當(dāng)I回一-1時,I區(qū)I回十

當(dāng)目時，I岡過，

故當(dāng)I臼I時,s，

當(dāng)尋時，|0,

綜L區(qū)

3.（2023上?遼寧丹東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛《,｝的公差為整數(shù)，%=9,設(shè)其前〃項(xiàng)和為S“,

且島是公差為3勺等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若勿=*-60,求數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和卻

［答案］（"岡……|

2

55n-4ntn<7

-4〃2-55〃+378,〃N8

【解析】（i）設(shè)｛《J的公差為"，依題意得H

所以0，即I區(qū)］

，解得同或回（舍去），

化簡得S

所以因經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

（2）依題意得，回，La

其前〃項(xiàng)和a

當(dāng)B],1岡I，

■0

當(dāng)〃28時，|可二8〃-59,

故]=一佃+4+.......+4)+4+4+.......a

=-2(偽+力,++Z?7+Zz,++b“)

22

=-2H7+=-2(4x7-55x7)+4/2-55〃

=4n2-55/z+378

55〃-4〃2,〃47

所以（=

4/J-55〃+378,>8

考點(diǎn)九等差數(shù)列的證明與判斷

【例9-1］（2023?黑龍江哈爾濱）已知數(shù)列｛q｝中，4=3,%=2--—（/?>2.?eN,）,求證：數(shù)歹?卜