內(nèi)蒙古包頭市昆都侖區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市昆都侖區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)若，則OC的長(zhǎng)為(

)A.2

B.3

C.

D.42.如圖，在菱形ABCD中，若，，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為(

)A.2

B.3

C.

D.

3.若關(guān)于x的一元二次方程配方后得到，則c的值為(

)A.0 B.3 C.6 D.94.若，則關(guān)于x的一元二次方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè)或2個(gè) D.0個(gè)5.如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是根據(jù)題意，設(shè)小路的寬度為xm，則可列方程為(

)

A. B.

C. D.6.如圖，直線，直線AC和DF被，，所截，，，，則DE的長(zhǎng)為(

)

A.2

B.3

C.4

D.7.如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若的面積為4，則的面積為

A.8 B.12 C.14 D.168.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是(

)A. B. C. D.9.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若，，則DE的長(zhǎng)為(

)A.18

B.

C.

D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。10.已知實(shí)數(shù)，是方程的兩根，則______.11.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)是______.

12.如圖，∽，若AC：：3，，則DE的長(zhǎng)度是______.

13.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺即圖中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度.如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，和均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)測(cè)得，，，則樹高_(dá)_____14.出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形ABCD中，，，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)F，G，則______.三、解答題：本題共7小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題6分

解方程：

；

16.本小題6分

揚(yáng)州是個(gè)好地方，有著豐富的旅游資源.某天甲、乙兩人來?yè)P(yáng)州旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽.

甲選擇A景點(diǎn)的概率為______；

請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率.17.本小題6分

為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛閱讀的習(xí)慣，某學(xué)校用于購(gòu)買圖書的資金逐年遞增.已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用是7200元，求2020年到2022年該學(xué)校購(gòu)買圖書費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率.18.本小題10分

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，

求證：四邊形AOBE是菱形；

若，，求菱形AOBE的面積．19.本小題10分

如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄.再借助房屋的外墻外墻足夠長(zhǎng)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門建在EF處，另用其他材料

設(shè)矩形ABCD的邊，則邊BC的長(zhǎng)度是多少？用含有x的代數(shù)式表示

當(dāng)羊圈的面積為時(shí)，該羊圈的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)為多少？20.本小題10分

如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，，

求證：四邊形OEFG是矩形；

若，，求OE和BG的長(zhǎng)．

21.本小題10分

在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)

求證：；

若，，求EC的長(zhǎng).

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：四邊形ABCD是矩形，且對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，

，

，

故選：

根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等即可得出答案．

此題主要考查了矩形的性質(zhì)，理解矩形的對(duì)角線互相平分且相等是解決問題的關(guān)鍵．2.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD是菱形，

，

，

為等邊三角形，

故選：

根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知可得為等邊三角形，從而得到

本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等的性質(zhì)．3.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，

故選：

利用配方法可得結(jié)論．

本題考查解一元二次方程-配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的步驟．4.【答案】B

【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程，

，

又，

，

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

故選：

利用判別式的值判斷即可．

本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程的根與有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．5.【答案】D

【解析】解：設(shè)小路的寬為xm，

由題意可得：，

故選：

設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為，寬為的矩形，根據(jù)花圃的面積是，可列出關(guān)于x的一元二次方程．

本題考查從實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．

【解答】

解：直線，

，

，，，

，

，

故選：7.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出∽是解題關(guān)鍵．

直接利用三角形中位線定理得出，，得到∽，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

【解答】

解：在中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，，，

∽，

，

，

的面積為4，

的面積為16，

故選8.【答案】A

【解析】【分析】

列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的情況數(shù)，即可確定出所求的概率．

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

【解答】

解：列表如下：紅綠紅紅，紅綠，紅綠紅，綠綠，綠所有等可能的情況有4種，其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的有1種情況，

所以第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率為，

故選：9.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，，，

，

，

，

，，

∽，

=，即=，解得，

=.

，

，，

∽，

=，即=，解得.

故選：

先根據(jù)題意得出∽，故可得出CG的長(zhǎng)，再求出DG的長(zhǎng)，根據(jù)∽即可得出結(jié)論．

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．10.【答案】

【解析】解：實(shí)數(shù)，是方程的兩根，

，

故答案為：

直接根據(jù)計(jì)算即可．

本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握“”是解本題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：四邊形OBCD是正方形，且邊長(zhǎng)為3，

，軸，軸，

點(diǎn)C的坐標(biāo)是

故答案為：

根據(jù)正方形的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)的意義是解決問題的關(guān)鍵．

此題主要考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形是解決問題的關(guān)鍵．12.【答案】9

【解析】解：∽，A

C：E

：3，

，

當(dāng)時(shí)，，

故答案為：

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求解．

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)的邊成比例是解題的關(guān)鍵．13.【答案】6

【解析】解：由題意可得，

，，，，

∽，

，

即，

解得，

樹高，

故答案為：

根據(jù)題意可知：∽，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到PQ的長(zhǎng)．

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14.【答案】

【解析】解：連接OE，

四邊形ABCD是矩形，

，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案為：

連接OE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15.【答案】解：，

，，，

，

，

，；

，

，

或，

，

【解析】利用公式法解方程；

利用因式分解法解方程．

本題考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解方程，公式法解方程．16.【答案】；

根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的情況有5種，

甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率是

【解析】解：甲選擇A景點(diǎn)的概率為，

故答案為：；

見答案.

由概率公式直接可得答案；

先畫出樹狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計(jì)算即可得出結(jié)果．

本題考查了用樹狀圖求概率，解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)樹狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17.【答案】解：設(shè)2020年到2022年該學(xué)校購(gòu)買圖書費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為x，

由題意得：，

解得：，不符合題意，舍去，

答：2020年到2022年該學(xué)校購(gòu)買圖書費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為

【解析】設(shè)2020年到2022年該學(xué)校購(gòu)買圖書費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用是7200元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18.【答案】證明：，，

四邊形AOBE是平行四邊形，

四邊形ABCD是矩形，

，，，

，

四邊形AOBE是菱形；

解：作于點(diǎn)F，

四邊形ABCD是矩形，，

，，，

，

，

是等邊三角形

，

，

菱形AOBE的面積是：

【解析】根據(jù)，，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；

根據(jù)，，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積=底高或者是對(duì)角線乘積的一半．19.【答案】解：設(shè)矩形ABCD的邊AB為xm，則邊BC的長(zhǎng)為，即，

答：邊BC的長(zhǎng)度是；

設(shè)矩形ABCD的邊AB為xm，則邊BC的長(zhǎng)為，即，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

答：當(dāng)羊圈的面積為時(shí)，羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為

【解析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；

設(shè)矩形ABCD的邊AB為xm，則邊BC的長(zhǎng)為，根據(jù)羊圈的面積為，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：四邊形ABCD是菱形，，

是AD的中點(diǎn)，

是的中位線，

，

，

四邊形OEFG是平行四邊形，

，

，

平行四邊形OEFG是矩形；

四邊形ABCD是菱形，

，，

，

是AD的中點(diǎn)，

；

由知，四邊形OEFG是矩形，

，

，，

，

【解析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)E是的中位線，推出，求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得到；由知，四邊形OEFG是矩形，求得，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．21.【答案】證明：四邊形ABCD是矩形，