人教版九年級下冊數(shù)學(xué)第二十七章培優(yōu)試題含答案

人教版九年級下冊數(shù)學(xué)第二十七章培優(yōu)試題一、單選題1．如圖，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B． C． D．2．如圖，l1∥l2∥l3，AB＝a，BC＝b，，則的值為（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點，DE∥BC，點F為BC邊上一點，連接AF交DE于點G，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A． B． C． D．4．下列圖形中，形狀一定相同的兩個圖形是（）A．兩個直角三角形 B．兩個正三角形C．兩個矩形 D．兩個梯形5．如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且它們的底分別是BC＝5，DE＝3，則△ABC與△ADE的面積比為（）A．： B．25：9 C．5：3 D．5：36．如圖，△A′B′C′是△ABC以點O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若△A′B′C′的面積與△ABC的面積比是4：9，則OB′：OB為（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：97．如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點，CF的延長線交AB于點G，若△CEF的面積為18cm2，則S△DGF的值為()A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm28．如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝1：2，CF＝6，那么BF等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，當(dāng)∠B＝∠DAC，AC＝4時，BC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．810．如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，AE的垂直平分線分別交AD，BC及AB的延長線于點F，G，H，連接HE，HC，OD，連接CO并延長交AD于點M．則下列結(jié)論中：①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH?DE；⑤GO+BH=HC正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題11．若，則的值是_____．12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面積為2cm2，△DEF的面積為8cm2，那么△ABC與△DEF相似比為_____．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則點C的坐標(biāo)為________.14．如圖，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在邊BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝_____．15．如圖將△ABC沿BC平移得△DCE，連AD,R是DE上的一點，且DR：RE＝1：2,BR分別與AC,CD相交于點P,Q，則BP：PQ：QR＝__．16．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2）延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進行下去，第2018個正方形的面積為_____．三、解答題17．如圖，△ABC的面積為12，BC與BC邊上的高AD之比為3：2，矩形EFGH的邊EF在BC上，點H，G分別在邊AB、AC上，且HG＝2GF．(1)求AD的長；(2)求矩形EFGH的面積．18．如圖，已知平行四邊形，過點的直線交的延長線于，交、于、．（1）若，，，求的長；（2）證明：．19．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點P從點A沿AC向C以2cm/s的速度移動，到C即停，點Q從點C沿CB向B以1cm/s的速度移動，到B就停．（1）若P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘S△PCQ＝2cm2；（2）若點Q從C點出發(fā)2s后點P從點A出發(fā)，再經(jīng)過幾秒△PCQ與△ACB相似．20．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，點P從點C出發(fā)沿線段CA以每秒2cm的速度運動，同時點Q從點B出發(fā)沿線段BC以每秒1cm的速度運動．設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜5）．（1）填空：AB＝cm；（2）t為何值時，△PCQ與△ACB相似；（3）如圖2，以PQ為斜邊在異于點C的一側(cè)作Rt△PEQ，且，連結(jié)CE，求CE．（用t的代數(shù)式表示）．21．如圖①，在△ABC中，AC＝BC，點D是線段AB上一動點，∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠A＝∠EDF，射線DE與邊AC交于點M，射線DE與邊BC交于點N，連接MN．（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結(jié)論；（2）如圖②，在上述條件下，當(dāng)點D運動到AB的中點時，求證：在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中，點D到線段MN的距離為定值．22．如圖，AM是△ABC的中線，點D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作KD∥AB，交BC于點K，過點C作CE∥AM，交KD的延長線于點E，連接AE、BD．（1）求證：△ABM∽△EKC；（2）求證：AB?CK＝EK?CM；（3）判斷線段BD、AE的關(guān)系，并說明理由．23．如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在CD邊的延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN、AC，N與邊AD交于點E．（1）求證；AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝AC?AE．參考答案1．D【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理得到比例式，判斷即可．【詳解】∵DE∥BC，∴，A正確，不符合題意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，B正確，不符合題意；∵EF∥AB，∴=，∵=，∴，C正確，不符合題意；∵EF∥AB，∴，D錯誤，符合題意，故選D．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，根據(jù)比例的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】∵l1∥l2∥l3，∴=，即=，∴=，故選：A．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，比例的性質(zhì)，靈活運用平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．C【詳解】試題解析：A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A錯誤；B、∵DE∥BC，∴，故B錯誤；C、∵DE∥BC，∴，故C正確；D、∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴，故D錯誤；故選C點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方，用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．4．B【解析】【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、兩個直角三角形，對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，所以不一定相似，故本選項錯誤；B、兩個正三角形，對應(yīng)角都是60°，相等，對應(yīng)邊一定成比例，所以一定相似，故本選項正確；C、兩個矩形，對應(yīng)角對應(yīng)相等，對應(yīng)邊不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤；D、兩個梯形，對應(yīng)角不一定對應(yīng)相等，對應(yīng)邊也不一定成比例，所以不一定相似，故本選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查相似圖形的定義，注意從對應(yīng)角與對應(yīng)邊兩方面考慮．5．B【解析】【分析】過A

作AG⊥BC于G，AH⊥DE于H,利用角平分線的性質(zhì)得到∠GAH=90°,進而結(jié)合平行線的性質(zhì)得出△AGC∽△EHA，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到結(jié)論【詳解】解：過A

作AG⊥BC于G，AH⊥DE于H，∴AG平分∠BAC,AH平分∠DAE,∴∠EAH=∠DAE,∠GAC=∠BAC,∵∠DAE+∠BAC=180°,∴∠EAH+∠DAE=90°,即∠GAH=90°,∴∠GAH=∠AHE=90°,∴AG∥DE,∴∠GAC=∠AEH,∵∠AGC=∠AHE=90°,∴△AGC∽△EHA,∴∶=CG2∶EH2=25∶9,∵,∴∶=25∶9故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件得出△AGC∽△EHA．6．A【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得△ABC∽△A′B′C′，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可得.【詳解】由位似變換的性質(zhì)可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'與△ABC的面積的比4：9，∴△A'B'C'與△ABC的相似比為2：3，∴，故選A．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．7．C【解析】【分析】作GH⊥BC于H交DE于M，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，DE＝BC，證明△GDF∽△GBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算．【詳解】解：作GH⊥BC于H交DE于M，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∵F是DE的中點，∴DF＝BC，∵DF∥BC，∴△GDF∽△GBC，∴＝＝，∴＝，∵DF＝FE，∴S△DGF＝×△CEF的面積＝6cm2，故選C．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，得到AE：EC＝AD：DB＝1：2，BF：FC＝AE：EC＝1：2，計算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB＝1：2，∵EF∥AB，∴BF：FC＝AE：EC＝1：2，∵CF＝6，∴BF＝3，故選C．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．D【解析】【分析】由已知條件判定△ABC∽△DAC，結(jié)合該相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．【詳解】∵∠B=∠DAC，∠ACB=DCA，∴△ABC∽△DAC，∴，又AD是△ABC中BC邊上的中線，∴DC=BC，即：，∴AC2=BC2=（4）2，∴BC=8．故選：D．【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意利用相似三角形的知識解題時，一定要找準(zhǔn)對應(yīng)邊（角）．10．B【分析】建立以B點位坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系，分別求出相應(yīng)直線的解析式和點的坐標(biāo)，求出各線段的距離，可得出結(jié)論.【詳解】解：如圖，建立以B點為坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2，可分別得各點坐標(biāo)，A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2),E為CD的中點,可得E點坐標(biāo)（2，1），可得AE的直線方程，，由OF為直線AE的中垂線可得O點為，設(shè)直線OF的斜率為K，得，可得k=2,同時經(jīng)過點O(),可得OF的直線方程：，可得OF與x軸、y軸的交點坐標(biāo)G(,0),H(0,),及F(,2),同理可得：直線CO的方程為：，可得M點坐標(biāo)（，2），可得：①FG=,AO==,故FG=2AO，故①正確；②：由O點坐標(biāo)，D點坐標(biāo)（2，2），可得OD的方程：，由H點坐標(biāo)(0,)，E點坐標(biāo)（2，1），可得HE方程：，由兩方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，故②錯誤；③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,故=，故③正確；④：由O點坐標(biāo)，E（2，1），H(0,)，D(2,2),可得：,AH=,DE=1,有2OE2=AH?DE，故④正確；⑤：由G(,0)，O點坐標(biāo)，H(0,)，C(2,0),可得：,BH=,HC=,可得：GO≠BH+HC,故正確的有①③④，故選B.【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與矩形的綜合，及點與點之間的距離公式，難度較大，靈活建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.11．【分析】根據(jù)合比定理解答問題．【詳解】解：∵=∴==故答案為.【點睛】本題考查比例的性質(zhì)．合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．12．1:2【解析】【分析】根據(jù)相似三角形比例性質(zhì)，三角形相似比與三角形面積相似比相等進行求解.【詳解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC的面積為2cm2，△DEF的面積為8cm2，∴S△ABC：S△DEF=1:4根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得△ABC與△DEF相似比=1:2,故答案為1:2.【點睛】本題考查的是相似三角形比例性質(zhì)，熟練掌握相似三角形比例性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵.13．【解析】【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出AB的長，進而得出△OAD∽△OBG，進而得出AO的長，即可得出答案.【詳解】.∵正方形BEFG的邊長是6，∴.∵兩個正方形的相似比為，∴.∴，.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴，即.∴.∴點C的坐標(biāo)為.【點睛】本題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出AO的長是解題關(guān)鍵.14．【分析】根據(jù)三角形的角性質(zhì)定理、相似三角形的性質(zhì)進行求解.【詳解】∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠B=∠ADE=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC,∴∠BAD=∠FDC,∴△ABD∽△FDC，∴,∵BD4,CD2，且△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=BD+DC=6,∴，∴FC=,AF=AC-FC=.【點睛】本題主要考查的是三角形的角性質(zhì)定理、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握是本題的解題關(guān)鍵.15．2：1：1【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到AC∥DE，BC=CE，得到△BPC∽△BRE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PC=DR，根據(jù)△PQC∽△RQD，得到PQ=QR，即可求解．【詳解】由平移的性質(zhì)可知，AC∥DE，BC=CE，

∴△BPC∽△BRE，

∴，

∴PC=RE，BP=PR，

∵DR：RE=1：2，

∴PC=DR，

∵AC∥DE，

∴△PQC∽△RQD，

∴=1，

∴PQ=QR，

∴BP：PQ：QR=2：1：1，

故答案為2：1：1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．5×（）2017．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，證明△ABA1∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出A1B，計算求出A1C，根據(jù)正方形的面積公式求出正方形A1B1C1C的面積，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計算即可．【詳解】∵點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=1，OD=2，∵∠AOD=90°，∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=5，∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，∴∠ODA=∠BAA1，∴Rt△ABA1∽Rt△DOA，∴，即，解得，A1B=，∴A1C=，則正方形A1B1C1C的面積=（）2=5×，同理，正方形A2B2C2C1的面積=5×（）2，…則第2018個正方形的面積為5×（）2017，故答案為：5×（）2017．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面積，得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．17．(1)AD＝4；(2)矩形EFGH的面積．【分析】（1）設(shè)BC=3x，根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可；（2）設(shè)GF=y，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HG∥BC，得到△AHG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】(1)設(shè)BC＝3x，則AD＝2x，∵△ABC的面積為12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2(舍去)，則AD的長＝2x＝4；(2)設(shè)GF＝y(tǒng)，則HG＝2y，∵四邊形EFGH為矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴，即，解得，y＝，HG＝2y＝，則矩形EFGH的面積＝×＝．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（1）CG=1；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，證明△EGC∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可；

（2）分別證明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴△EGC∽△EAB，∴，即，解得，CG=1；

（2）證明：∴AB∥CD，

∴△DFG∽△BFA，∴，∴AD∥CB，

∴△AFD∽△EFB，∴，∴，即．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（1）則P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過（2±）秒鐘S△PCQ=2cm2；（2）點Q從C點出發(fā)2s后點P從點A出發(fā)，再經(jīng)過1.6秒或秒秒△PCQ與△ACB相似．【分析】（1）根據(jù)題意用t表示出CQ，PC，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB，△PCQ∽△BCA兩種情況列出比例式，計算即可．【詳解】（1）由題意得：AP=2t，CQ=t，則PC=8﹣2t，由題意得：×（8﹣2t）×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，解得：t=2±，則P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過（2±）秒鐘S△PCQ=2cm2；（2）由題意得：AP=2t，CQ=2+t，則PC=8﹣2t，分兩種情況討論：①當(dāng)△PCQ∽△ACB時，=，即=，解得：t=1.6；②當(dāng)△PCQ∽△BCA時，=，即=，解得：t=．綜上所述：點Q從C點出發(fā)2s后點P從點A出發(fā)，再經(jīng)過1.6秒或秒秒△PCQ與△ACB相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，一元二次方程的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）cm；（2）當(dāng)t=1或秒時，△PCQ與△ACB相似；（3）CE=3+t；【分析】(1)利用勾股定理可求得AB.(2)分和兩種情況討論.(3)過點作交于,先說明△∽△，得到，用含t的代數(shù)式表示HE、CH,最后用勾股定理求出CE.【詳解】（1）AB=cm；（2）由題意可知：,,QC=5-t∵∠PCQ=∠ACB∴當(dāng)或時，△PCQ與△ACB相似當(dāng)時，，解得t=1;當(dāng)時，，解得t=，當(dāng)t=1或秒時，△PCQ與△ACB相似；（3）如圖，過點作交于，則即∴∵∴△∽△∴∴，∴在中，,即∴∴故答案為（1）cm；（2）當(dāng)t=1或秒時，△PCQ與△ACB相似；（3）CE=3+t.【點睛】本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.21．（1）△ADM∽△BND，理由見解析；（2）在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中，點D到線段MN的距離為定值．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）作DG⊥MN，DH⊥AM，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）△ADM∽△BND，理由如下：∵AC=BC，∴∠A