第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第10題,6分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求已知函數(shù)的極值點2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的對稱性利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用不等式求取值范圍2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對稱性的應(yīng)用極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點判斷零點所在的區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第16題,15分利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性求在曲線上一點處的切線方程根據(jù)極值求參數(shù)2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新I卷，第7題,5分用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)寡的大小比較對數(shù)式的大小2022年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題裂項相消法求和2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2021年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。知識講解導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.[常用結(jié)論]1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系1．（浙江·高考真題）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小可得答案.【詳解】因為，的導(dǎo)數(shù)大于零，因此，，單調(diào)遞增，又，的導(dǎo)數(shù)表示曲線與的曲線上任一點切線的斜率，是單調(diào)遞減的，故增的慢，是單調(diào)遞增的，故增的快，排除A、C，又，即與在的切線是平行的，排除B．故選：D.1．（浙江·高考真題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解析：檢驗易知A、B、C均適合，不存在選項D的圖象所對應(yīng)的函數(shù)，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f（x）和y=f′（x）在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù)，故選D．2．（浙江·高考真題）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象進行判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項C符合，故選：C3．（江西·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到正確選項.【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項C符合要求.故選：C考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.1．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個零點，得方程有且僅有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點．顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和(2).【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負求出單調(diào)區(qū)間；（2）先化簡不等式參數(shù)分離，再根據(jù)最值得出最小值即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）當(dāng)時，，等價于，即，即等價于當(dāng)時，.令，所以所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)2個.【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號，當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號；（2）當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號，當(dāng)時，記，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)與的圖象交點個數(shù)判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，則，所以，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，記，則，因為，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，則，

記，則，當(dāng)時，，所以，在單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上無零點.當(dāng)時，因為，所以，此時無零點.當(dāng)時，記，則，因為當(dāng)趨近于0時，趨近于0，所以的變化越來越慢，圖象下凹，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖可知，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，即有一個零點.易知是的一個零點.綜上，函數(shù)共有2個零點.考點三、利用導(dǎo)數(shù)求可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，即可.【詳解】（1）定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．1．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.【詳解】（1）的定義域為，求導(dǎo)數(shù)，得，若，則，此時在上單調(diào)遞增，若，則由得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間，若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，由，得，若時，函數(shù)的最大值為，若時，函數(shù)的最大值為，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為.2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且．當(dāng)時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，因為，所以要證，只要證明即可，即要證，等價于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．3．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，分，，，四種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知當(dāng)時，可能有三個不同的零點，然后分和兩種情況結(jié)合零點存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性討論零點的個數(shù).【詳解】（1）因為的定義域為，且，當(dāng)時，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，當(dāng)時，至多有兩個零點，不符題意；當(dāng)時，至多有一個零點，不符題意；當(dāng)時，的極大值，至多有一個零點，不符題意；當(dāng)時，的極小值，的極大值，至多有兩個零點，不符題意；當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞增，且，，所以在上有且只有一個零點，因為在上單調(diào)遞減，，且，所以在上有且只有一個零點，因為在上單調(diào)遞增，，令，則，令，則，因為當(dāng)時，，所以在上遞增，即在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，所以在上恒成立，所以，所以，故在上有且只有一個零點，所以有三個零點，綜上，當(dāng)時，有三個不同的零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是當(dāng)時，結(jié)合（1）當(dāng)時，的單調(diào)區(qū)間和零點存在性定理分析判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，數(shù)列滿足，且①比較，，1的大?、谧C明：.【答案】(1)答案見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分和，，四種情況，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）①求導(dǎo)，得到，故，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，從而確定，證明出結(jié)論；②要證，即證，由于，故成立.【詳解】（1）由題意知的單調(diào)性為，.當(dāng)時，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)時，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，，，，令，，所以在上單調(diào)遞減，且，因為，又，所以，所以，則.②要證，即證，又，，即證.所以，即，所以成立，故.【點睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.5．（2024·廣西桂林·三模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若且有2個極值點，，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分、、和四種情況討論，結(jié)合的正負，進而得單調(diào)性；（2）把原不等式轉(zhuǎn)化為，進而構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性求出最值進行比較大小即可【詳解】（1）的定義域為，由題可得，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，若，則，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞增；若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由（1）知時，恒有2個極值點，，且，，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值，證得命題成立.考點四、利用導(dǎo)數(shù)求不可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一的極值點，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，分，，三種情況討論，綜合可得；（2）由（1）得，表示出得的范圍，并代入所證不等式，消去a得關(guān)于的不等式，構(gòu)造函數(shù)判單調(diào)性得最值即可證明.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，此時在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上有零點，當(dāng)和時，，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意可知，若存在唯一的極值點，由（1）可知且．因為，要證，只需證①．因為，所以．將代入①整理可得，只需證．令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即原不等式成立．2．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，定義域為.(1)討論的單調(diào)性；(2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分和，根據(jù)二次方程根的個數(shù)以及韋達定理分析判斷的符號，進而可得的單調(diào)性；（2）參變分離可得，構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，（?。┊?dāng)，即時，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)，即或時，可知有兩個不相等的根，不妨令，可知，①若，因為，可知，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②若，因為，可知，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）若，可知在內(nèi)無零點，不合題意，可知令，整理得，構(gòu)建，原題意等價于與的圖象有且僅有一個交點，因為，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于0時，趨近于；當(dāng)趨近于時，趨近于0且；的大致圖象如圖所示，

可得，即，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．1．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論可求單調(diào)區(qū)間；（2）由已知可得，令，可得，進而由單調(diào)性可得，求得函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）的定義域為.關(guān)于的方程，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，此時，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，則是方程的兩根.又，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，可得，即.令，易知單調(diào)遞增.由，可得，則，即.設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以，則的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是，轉(zhuǎn)化得，從而利用同構(gòu)法即可得解.2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論判斷正負，得解；（2）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性極值情況得解；（3）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為，對恒成立．當(dāng)時，上式顯然成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為，令利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.【詳解】（1），，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，令，則．

若，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．若，即時，方程的根為，當(dāng)時，或，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）令，則．令，則．

所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時，，且；當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，先減后增，且在處有最小值，此時直線與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為．（3）因為，即，即，對恒成立．當(dāng)時，上式顯然成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值，進而確定參數(shù)范圍.考點五、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內(nèi)，且，得出關(guān)于的不等式組，求解即可．【分析】函數(shù)的定義域為，且，令，得，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究最值即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即的最大值為，故選：B2．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用換元法將題目條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立；再構(gòu)造函數(shù)，判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可解答.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以在上恒成立.又因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，故.故選：D.3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件得即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，，所以.故選：A．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】因為函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，即在上有解，令，則，且，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：恒成立問題有解問題①恒成立；恒成立．②恒成立；恒成立．③恒成立；恒成立．④．①有解；有解．②有解；有解．③有解；有解．④，使得．一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)給定區(qū)間上為增函數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒為非負數(shù)，利用參變分離法即可通過求相應(yīng)函數(shù)的最值求得參數(shù)范圍.【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：C．2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使在上單調(diào)遞增的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)為增函數(shù)的等價條件，再由幾何概型公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得在上恒成立，則在上恒成立，即，則所求概率為.故選：D二、解答題3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，在條件下，判斷的符號，得到得證.【詳解】（1）的定義域,若則在上單調(diào)遞增；若當(dāng)時，則單調(diào)遞減，時，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因，設(shè)則，則在上單調(diào)遞減，故.4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實數(shù)解問題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問題，計算即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實數(shù)解．化為在上存在實數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數(shù)解．5．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）易判斷在時單增，在時單減，進而求出.【詳解】（1），令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.6．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，.(1)討論的單調(diào)性.(2)若使得，求參數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)【分析】（1）對求導(dǎo)數(shù)，然后分類討論即可；（2）直接對和分類討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由，知.當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，對有，對有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，由（1）的結(jié)論，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對任意的都有，故恒成立，這表明此時條件不滿足；當(dāng)時，設(shè)，由于，，故由零點存在定理，知一定存在，使得，故，從而，這表明此時條件滿足.綜上，的取值范圍是.7．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【詳解】（1）因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域為，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．8．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．(2)或．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析得出結(jié)論.【詳解】（1）易知定義域為R，，所以，，，．故單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．（2）因為，，所以曲線在點處的切線為把切線方程代入二次曲線方程，得有唯一解，即且，即解得或．9．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）求出，切點為，直接寫出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為對于恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為：.（2），若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對于恒成立，即對于恒成立，令，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故.10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出，從而得到，求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，和三種情況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由已知，∴得又∴曲線在點處的切線方程為化簡得：（2）定義域為R，，令得或①當(dāng)即時，令得或，令得，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)即時，令得或，令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；一、單選題1．（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)遞減，得到，得出，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：D．2．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．-1【答案】C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，求得上的一點的切線方程為，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，又由，可得，則，可得在點的切線為，即，令，所以，令，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故選：C.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、解答題3．（2024·四川涼山·三模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍，【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的范圍求解單調(diào)性；（2）由（1）單調(diào)性進行判斷具有三個零點，進行求解的取值范圍.【詳解】（1）求導(dǎo)當(dāng)時所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，或.若即時，或,所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；若時，

函數(shù)在單調(diào)遞增若即時，或．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（2）由（1）知當(dāng)時函數(shù)至多兩個零點，不滿足條件．當(dāng)時，函數(shù)至多一個零點，不滿足條件；當(dāng)時函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，函數(shù)至多一個零點，不滿足當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．，令，在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即綜上：的取值范圍是4．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值集合.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，分類討論和，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)時，不合題意，則，將恒成立等價于，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即最值，即可求解.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，令，解得：，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述：時，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，由（1）知，則，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，實數(shù)的取值集合為.5．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實數(shù)a的值(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)可得，由代入計算，即可求解；（2）求導(dǎo)可得，然后分討論，即可求解；（3）根據(jù)題意，由分離參數(shù)可得，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得最值即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，由可得，解得.（2）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，令，可得或，①當(dāng)，即時，對任意的，，的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)，即時，，得或，，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為③當(dāng)，即時，得或；，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（3）由，可得，即，其中，令，，若存在，不等式成立，則，，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在端點或處取得最小值．因為，，所以，所以，所以，因此，實數(shù)的取值范圍是．6．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．【答案】(1)答案見解析；(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。┯桑?）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點存在性定理證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，即，解得，，因為，所以，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時，所以時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時在單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（?。┯桑?）可知．（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒有零點，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個零點，綜上可得函數(shù)有且只有一個零點．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為恒成立問題，令，然后求導(dǎo)研究的單調(diào)性，求出其最小值，根據(jù)最小值大于等于，求得實數(shù)的值；（2）由（1）中的分析可得到，然后構(gòu)造函數(shù)證得，再進行放縮，利用裂項相消法證明即可.【詳解】（1）由題意，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，令，則，當(dāng)時，因為，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒大于等于0不成立.當(dāng)時，由得，所以當(dāng)，當(dāng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，若恒成立，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，.綜上，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.（2）由（1）得，當(dāng)時，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，則，所以令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即，所以，所以，故得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在第二問的證明中，關(guān)鍵需要利用（1）中的結(jié)論，得出，再巧妙賦值，得出，其次，還需要聯(lián)想的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)得出，即可得出，再累加即可得證.8．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解；（2）結(jié)合（1）分，和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合零點的存在性定理即可得解.【詳解】（1）定義域為，由題意得，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），由（1）知當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以由零點存在性定理知，函數(shù)在上有1個零點；當(dāng)時，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，當(dāng)時，，此時在上有1個零點，當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，，所以此時在上有2個零點，當(dāng)時，，此時在上無零點，綜上，當(dāng)或時，在上有1個零點；當(dāng)時在上有2個零點；當(dāng)時在上無零點.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.9．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若只有一個解，則當(dāng)時，求使成立的最大整數(shù)k.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的正負性，即可求解；（2）由條件可得0是的解，可得無非零解，然后構(gòu)造函數(shù)，即可得到，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，則，因為，設(shè)，，則令得，，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若即只有一個解，因為使方程成立，所以只有0是的解，當(dāng)時，無非零解，設(shè)，則，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以最小值為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故定有零點，又因為無非零解，有零點應(yīng)還是0，所以，所以，則，，得，，，所以，得，設(shè)，則，令，則，因為時，，所以，則在單調(diào)遞增，又，所以使得，所以，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以最小值，且，得，又因為，所以，因為，所以，故整數(shù)的最大值為2.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于利用條件求得，然后結(jié)合隱零點問題解決即可.10．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按的取值分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）按分類討論，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理求解即得.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，①當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，，取且，則，因此函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞增，且，，而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，所以，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．1．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當(dāng)時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．3．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點滿足的方程進一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.【詳解】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設(shè)切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.4．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.5．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.6．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當(dāng)且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.7．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將