第02講 平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第02講平面向量的數(shù)量積（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新Ⅱ卷，第3題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律已知數(shù)量積求模垂直關(guān)系的向量表示模長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算2023年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長(zhǎng)運(yùn)算2022年新Ⅱ卷，第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計(jì)算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無(wú)2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分【備考策略】1通過(guò)物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角4會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積|a||b|cosa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個(gè)向量．2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模時(shí)，一定要先求出a2再進(jìn)行開(kāi)方．考點(diǎn)一、求平面向量的數(shù)量積1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，，．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1．（2023·全國(guó)·高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．52．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．3．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B． C．9 D．18考點(diǎn)二、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律1．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（上海·高考真題）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是三個(gè)非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與垂直 D．5．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．考點(diǎn)三、模長(zhǎng)綜合計(jì)算1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（

）A．2 B． C．2或 D．3或4．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，向量滿足，且，則（

）A． B．5 C． D．251．（2024·陜西榆林·二模）若向量，則（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則的最小值為.3．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量與的夾角為，且，，則（

）．A． B． C．4 D．24．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）平面向量滿足：，，，且，，則.考點(diǎn)四、夾角綜合計(jì)算1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．64．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．1．（2024·山東日照·三模）已知和是兩個(gè)單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）平面四邊形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，，且，則．考點(diǎn)五、垂直綜合計(jì)算1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．1．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．-1 B．-2 C．1 D．23．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．， B．，C．， D．，考點(diǎn)六、求投影向量1．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七、數(shù)量積范圍的綜合問(wèn)題1．（湖南·高考真題）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．64．（2024·山東日照·一模）過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A．28 B．29 C．30 D．32一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·北京大興·三模）已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（

）A． B．2 C． D．34．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．二、填空題8．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖是某人設(shè)計(jì)的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，則m的值為.10．（2024·重慶·三模）已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，若，則.一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若平面向量，滿足，且時(shí)，取得最小值，則（

）A．0 B． C． D．2．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).設(shè)甲：直線l與過(guò)點(diǎn)；乙：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．甲是乙的必要不充分條件 B．甲是乙的充分不必要條件

C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點(diǎn)滿足，在平面中，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為8．（2024·新疆·三模）已知點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為9．（2024·廣東江門·三模）定義兩個(gè)非零平面向量的一種新運(yùn)算，其中表示的夾角，則對(duì)于兩個(gè)非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（

）A．在上的投影向量為B．C．D．若，則三、填空題10．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為1，則的值為.若在線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，滿足，，則．5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．16．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量．若，則．7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．8．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．29．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為，若，則的最大值為10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則．11．（2021·全國(guó)·高考真題）若向量滿足，則.12．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量．若，則．13．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件14．（2021