第07講 平面向量奔馳定理與三角形四心問題（高階拓展、競賽適用）（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）平面向量問題是高中數(shù)學中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學習另一個重要的結論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學們可以將這個內(nèi)容當成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認識，加深對數(shù)學的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學習。知識講解奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關的問題轉化為向量問題，充分利用平面向量的相關知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.考點一、奔馳定理與四心問題綜合1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．設是所在平面內(nèi)的一點,若且.則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．已知點是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則直線必經(jīng)過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心1．若是內(nèi)一點，且，則為的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心2．已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心4．已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心5．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心考點二、奔馳定理與其他問題綜合1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（

）A．B．C．D．2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若為的外心，則D．若為的垂心，，則1．奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則一、單選題1．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點O，M，N依次為的（）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心3．已知O為內(nèi)一點，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點距離的平方和最小的點是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心5．若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心6．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心7．平面上有及其內(nèi)一點O，構成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心8．已知點在平面中，且，則點是的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．10．已知O是所在平面上的一點,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點），則O點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則二、多選題12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．三、填空題16．在面上有及內(nèi)一點滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.17．已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進行判斷：①若P是的重心，則有；②若成立，則P是的內(nèi)心；③若，則；④若P是的外心，，，則；⑤若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若，則的最大值為.則正確的命題有.（填序號）

19．年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標志，象征著陸上，水上和空中的機械化，而此圓環(huán)中的星形標志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世